第5章概率與概率分布§5.1隨機(jī)事件及其概率§5.2概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則§5.3離散型隨機(jī)變量及其分布§5.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布學(xué)習(xí)目標(biāo)定義試驗(yàn)、結(jié)果、事件、樣本空間、概率描述和使用概率的運(yùn)算法則定義和解釋隨機(jī)變量及其分布計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率和概率分布計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率(正態(tài)分布概率)§5.1隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件的幾個(gè)基本概念事件的概率概率計(jì)算的幾個(gè)例子隨機(jī)事件的幾個(gè)基本概念試驗(yàn)

(chanceexperiment)在相同條件下，對(duì)事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果樣本空間（samplespace）實(shí)驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合叫做該實(shí)驗(yàn)的樣本空間。擲一枚骰子，觀測(cè)其點(diǎn)數(shù)，樣本空間是？擲兩枚骰子，觀測(cè)其點(diǎn)數(shù)之和，樣本空間？觀測(cè)某班同學(xué)的身高，其樣本空間？舉一個(gè)實(shí)驗(yàn)的例子，說(shuō)出其樣本空間。事件的概念事件(event)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任意來(lái)自樣本空間的實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的集合)例1：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3例2：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)數(shù)例3：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于等于6隨機(jī)事件(randomevent)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果（事件）。（隨機(jī)事件首先是事件，表示某種實(shí)驗(yàn)結(jié)果在具體的一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)可能不出現(xiàn)。）必然事件(certainevent)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6基本事件(elementaryevent)一個(gè)不可能再分的隨機(jī)事件（該試驗(yàn)結(jié)果不包含其它試驗(yàn)結(jié)果）。（aneventconsistingofexactlyoneoutcome）事件的分類(lèi)事件的概念實(shí)際中，一般只考慮隨機(jī)事件，必然事件（Ω）和不可能事件（Ф）作為兩個(gè)極端。隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱(chēng)為事件，常用大寫(xiě)字母A，B，C等表示。有些時(shí)候也可以用A1，A2，A3,這樣表示第一個(gè)事件，第二事件，第三個(gè)事件。小練習(xí)抽一副撲克牌，觀測(cè)其牌面。樣本空間是？事件A：抽到的牌面是紅桃4事件B:抽到的牌面是紅桃事件C：抽到的牌面是方塊20事件D：抽到的花色是四個(gè)其中一個(gè)。事件A和B有什么關(guān)系嗎？事件的關(guān)系

(包含關(guān)系)ABBA若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱(chēng)事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，記作或AB或B

A小練習(xí)抽一副撲克牌，觀測(cè)其牌面。事件A：抽到的牌面是紅桃4事件B:抽到的牌面是紅桃事件C：抽到的牌面是方塊20事件D：抽到的花色是四個(gè)其中一個(gè)。事件E:抽到的牌面數(shù)字小于8事件A和B有包含關(guān)系嗎？A與D？A與E？事件的運(yùn)算：事件和另一個(gè)事件構(gòu)成一個(gè)新的事件

(事件的并或和)事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱(chēng)為事件A與事件B

的并。它是由屬于事件A或事件B的所有的樣本點(diǎn)組成的集合，記為A∪B或A+B并：A的“地盤(pán)”與B的“地盤(pán)”合在一起B(yǎng)AA∪B(事件的交或積運(yùn)算)ABA∩B事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件稱(chēng)為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A

或AB小練習(xí)抽一副撲克牌，觀測(cè)其牌面。事件A：抽到的牌面是紅桃4事件B:抽到的牌面是紅桃事件C：抽到的牌面是方塊20事件D：抽到的花色是四個(gè)其中一個(gè)。事件E:抽到的牌面數(shù)字小于8A∩B？A∩

C？A∩E？B∩E？A∪C？A∪B？B∪E？A∪D？C∪D？E∪D？事件的關(guān)系

(互斥或不相容關(guān)系)ABA

與B互不相容事件A與事件B中，若有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)必定不發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B是互斥的，否則稱(chēng)兩個(gè)事件是相容的。顯然，事件A與事件B互斥的充分必要條件是事件A與事件B沒(méi)有公共的樣本點(diǎn)，B∩A

為空事件的關(guān)系和運(yùn)算

(逆或?qū)α⑹录?A

A一個(gè)事件B與事件A互斥，且它與事件A的并是整個(gè)樣本空間，則稱(chēng)事件B是事件A的逆事件。它是由樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)所組成的集合，記為A事件的關(guān)系和運(yùn)算

(事件的差)A-BAB事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件稱(chēng)為事件A與事件B的差，它是由屬于事件A而不屬于事件B的那些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，記為A-B

事件的關(guān)系和運(yùn)算

(事件的性質(zhì))設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，則有交換律：A∪B=B∪A

A∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)

=(AB)C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)例如，盒中有10個(gè)編了號(hào)的零件，從中任取一個(gè)，事件A表示“抽到奇數(shù)號(hào)”；事件B表示“抽到編號(hào)小于6”；事件C表示“抽到編號(hào)小于9的偶數(shù)號(hào)”；則=A+B=AB=AC=A-B={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}{1，2，3，4，5，7，9}{1，3，5}{7，9}事件的概率事件的發(fā)生==試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)事件的概率

(probability)事件A的概率是對(duì)事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計(jì)定義和主觀概率定義概率的古典定義如果某一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有限，而且各個(gè)結(jié)果在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個(gè)數(shù)n

的比值，記為概率的古典定義

(例題分析)【例】某鋼鐵公司所屬三個(gè)工廠的職工人數(shù)如下表。從該公司中（簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）抽取1人，問(wèn)：（1）該職工為男性的概率（2）該職工為煉鋼廠職工的概率某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)工廠男職工女職工合計(jì)煉鋼廠煉鐵廠軋鋼廠4000320090018001600600620048001500合計(jì)8500400012500概率的古典定義

(例題分析)解：(1)用A表示“抽中的職工為男性”這一事件；A為全公司男職工的集合；基本空間為全公司職工的集合。則

(2)

用B表示“抽中的職工為煉鋼廠職工”；B為煉鋼廠全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動(dòng)，且波動(dòng)的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125概率的統(tǒng)計(jì)定義

(例題分析)【例】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度。按照上個(gè)月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過(guò)規(guī)定指標(biāo)，若第二個(gè)月仍沒(méi)有具體的節(jié)電措施，試問(wèn)該廠第一天用電量超過(guò)指標(biāo)的概率。

解：上個(gè)月30天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了30次試驗(yàn)，試驗(yàn)A表示用電超過(guò)指標(biāo)出現(xiàn)了12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義有主觀概率定義對(duì)一些無(wú)法重復(fù)的試驗(yàn)，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)人為確定概率是一個(gè)決策者對(duì)某事件是否發(fā)生，根據(jù)個(gè)人掌握的信息對(duì)該事件發(fā)生可能性的判斷§5.2概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則概率的性質(zhì)概率的加法法則條件概率與獨(dú)立事件概率的性質(zhì)非負(fù)性對(duì)任意事件A，有0P1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有P

(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(additiverule)法則一兩個(gè)互斥事件之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和。設(shè)A和B為兩個(gè)互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(例題分析)【例】根據(jù)鋼鐵公司職工的例子，隨機(jī)抽取一名職工，計(jì)算該職工為煉鋼廠或軋鋼廠職工的概率解：用A表示“抽中的為煉鋼廠職工”這一事件；B表示“抽中的為軋鋼廠職工”這一事件。隨機(jī)抽取一人為煉鋼廠或軋鋼廠職工的事件為互斥事件A與B的和，其發(fā)生的概率為概率的加法法則

(additiverule)法則二對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

概率的加法法則

(例題分析)【例】設(shè)某地有甲、乙兩種報(bào)紙，該地成年人中有20%讀甲報(bào)紙，16%讀乙報(bào)紙，8%兩種報(bào)紙都讀。問(wèn)成年人中有百分之幾至少讀一種報(bào)紙。

解：設(shè)A＝{讀甲報(bào)紙}，B＝{讀乙報(bào)紙}，C＝{至少讀一種報(bào)紙}。則

P(C

)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2

+

0.16

-

0.08

=

0.28條件概率與獨(dú)立事件

在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要求在有某些附加信息(條件)下事件發(fā)生的概率。通常記事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率為P(A|B)。一般情況下，P(A|B)≠P(A)

。條件概率P(A)=1/6，例：擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。于是，P(A|B)=1/3。

B中共有3個(gè)元素，每個(gè)元素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有1個(gè)(2點(diǎn))在集合A中。容易看到：P(A|B)條件概率

(conditionalprobability)在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱(chēng)這種概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為

P(B)P(AB)P(A|B)=條件概率的圖示事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生例5.6：100件產(chǎn)品中，有80件正品，20件次品，而80件正品中有50件一等品，30件二等品,現(xiàn)從中任取一件，解法1:

解法2:

設(shè)A={取到一等品}，B={取到正品}。求P(A|B)應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算概率的乘法公式

(multiplicativerule)用來(lái)計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)概率的乘法公式

(例題分析)【例】設(shè)有1000中產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？

解：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率為P(A1A2)

事件的獨(dú)立性

(independence)一個(gè)事件的發(fā)生與否并不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率，則稱(chēng)兩個(gè)事件獨(dú)立若事件A與B獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)此時(shí)概率的乘法公式可簡(jiǎn)化為

P(AB)=P(A)·P(B)推廣到n個(gè)獨(dú)立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)事件的獨(dú)立性(例題分析)【例】某工人同時(shí)看管三臺(tái)機(jī)床，每單位時(shí)間(如30分鐘)內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率：甲機(jī)床為0.9，乙機(jī)床為0.8，丙機(jī)床為0.85。若機(jī)床是自動(dòng)且獨(dú)立地工作，求（1）在30分鐘內(nèi)三臺(tái)機(jī)床都不需要看管的概率（2）在30分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī)床需要看管的概率

解：設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床不需要看管的事件，A3

為丙機(jī)床需要看管的事件，依題意有

(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.80.85=0.612

(2)

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立。反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,

則A

、B不互斥。而P(A)≠0,P(B)≠0。故A與B不獨(dú)立。我們來(lái)計(jì)算：P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B)。即*全概公式(引例分析)【例】某車(chē)間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個(gè)是次品的概率。解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來(lái)自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來(lái)自乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來(lái)自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取到次品”。我們知道事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)下列三種情形任意一種出現(xiàn)（1）是甲機(jī)床產(chǎn)品且為次品（）（2）是已機(jī)床產(chǎn)品且為次品（）（3）是丙機(jī)床產(chǎn)品且為產(chǎn)品（）從而我們知道事件且（1）（2）（3）中事件是兩兩互不相容的。*全概公式(例題分析)由加法公式和乘法公式，我們知道全概率公式圖示A1A2A3A4A5A6A7A8A9A1BA2BA3BA4BA5BA6BA7BA8BA9BB全概率公式設(shè)事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=（滿足這兩個(gè)條件的事件組稱(chēng)為一個(gè)完備事件組），且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則對(duì)任意事件B，有我們把事件A1，A2，…，An

看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B能且只能在原有A1，A2，…，An

之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B

的概率就是上面的全概公式*貝葉斯公式(例題分析)【例】某車(chē)間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，如果取到的一件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來(lái)自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來(lái)自乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來(lái)自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)貝葉斯公式有：*貝葉斯公式(逆全概率公式)與全概公式解決的問(wèn)題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，幫助我們確定引起事件發(fā)生最可能的原因設(shè)n個(gè)事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=(滿足這兩個(gè)條件的事件組稱(chēng)為一個(gè)完備事件組)，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則§5.3離散型隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的概念離散型隨機(jī)變量的概率分布條件概率與獨(dú)立事件5.3.1隨機(jī)變量的概念什么是變量？變量(variable)

說(shuō)明現(xiàn)象某種特征的概念如商品銷(xiāo)售額、受教育程度、產(chǎn)品的質(zhì)量等級(jí)等變量的具體取值稱(chēng)為變量值，即數(shù)據(jù)變量可以分為分類(lèi)變量(categoricalvariable)

：說(shuō)明事物類(lèi)別的名稱(chēng)，其取值是分類(lèi)數(shù)據(jù)順序變量(rankvariable)：說(shuō)明事物有序類(lèi)別的名稱(chēng)數(shù)值型變量(metricvariable)

：說(shuō)明事物數(shù)字特征的名稱(chēng)

離散變量：取有限個(gè)值連續(xù)變量：可以取無(wú)窮多個(gè)值變量

(其他分類(lèi))

隨機(jī)變量和非隨機(jī)變量經(jīng)驗(yàn)變量(empiricalvariables)和理論變量(theoreticalvariables)經(jīng)驗(yàn)變量所描述的是我們周?chē)梢杂^察到的事物理論變量則是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家用數(shù)學(xué)方法所構(gòu)造出來(lái)的一些變量，比如，z

統(tǒng)計(jì)量、t統(tǒng)計(jì)量、2統(tǒng)計(jì)量、F統(tǒng)計(jì)量等變量及其類(lèi)型變量基本分類(lèi)其他分類(lèi)分類(lèi)變量順序變量數(shù)字變量隨機(jī)變量非隨機(jī)變量經(jīng)驗(yàn)變量理論變量隨機(jī)變量(randomvariables)為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.

1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；七月份廣州的最高溫度；每天從廣州下火車(chē)的人數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).ω.X(ω)R這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？引例1

電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量X

來(lái)描述:引例2

拋擲一枚硬幣出現(xiàn)可能的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來(lái)描述:

由上可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量X的一個(gè)確定的取值，因此變量

X是樣本空間上的函數(shù)：隨機(jī)變量可以刻畫(huà)隨機(jī)事件例如：引例1中

表示至少接到2次電話這一事件。表示接到2次電話這一事件；而定義設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，則稱(chēng)上的單值實(shí)值函數(shù)X()為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用X,Y,Z,或小寫(xiě)希臘字母,,表示.若隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量是上的映射，這個(gè)映射具有如下的特點(diǎn)：定義域:

隨機(jī)性:隨機(jī)變量X

的可能取值不止一個(gè)，試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值概率特性

:X

以一定的概率取某個(gè)值或某些值稱(chēng)XA

為事件A

的示性變量引入隨機(jī)變量后，用隨機(jī)變量的等式或不等式表達(dá)隨機(jī)事件在同一個(gè)樣本空間可以同時(shí)定義多個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)一般也是隨機(jī)變量可以根據(jù)隨機(jī)事件定義隨機(jī)變量設(shè)

A

為隨機(jī)事件，則可定義如，若用X

表示電話總機(jī)在9:00~10:00接到的電話次數(shù)，或——表示“某天9:00~10:00接到的電話次數(shù)超過(guò)100次”這一事件則再如，用隨機(jī)變量描述拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果,則—正面向上也可以用描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個(gè)指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等={兒童的發(fā)育情況}X()—身高Y()—體重Z()—頭圍各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒(méi)有關(guān)系——即相互獨(dú)立若隨機(jī)變量X可能取值的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(chēng)X為離散隨機(jī)變量.若隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間[a,b]，則稱(chēng)X為連續(xù)隨機(jī)變量.前例中的X,Y,Z為離散隨機(jī)變量；而T為連續(xù)隨機(jī)變量.兩類(lèi)隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvariables)隨機(jī)變量X

取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái)X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)產(chǎn)品一家餐館營(yíng)業(yè)一天電腦公司一個(gè)月的銷(xiāo)售銷(xiāo)售一輛汽車(chē)取到次品的個(gè)數(shù)顧客數(shù)銷(xiāo)售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機(jī)變量

(continuousrandomvariables)隨機(jī)變量X

取無(wú)限個(gè)值所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度使用壽命(小時(shí))半年后工程完成的百分比測(cè)量誤差(cm)X00

X100X05.3.2離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來(lái)表示，該表格稱(chēng)為X的概率分布X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)

pi0離散型隨機(jī)變量的概率分布

(0—1分布)

一個(gè)離散型隨機(jī)變量X只取0，1兩個(gè)可能的值例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示列出隨機(jī)變量取這兩個(gè)值的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布

(0—1分布)

【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.05，合格率為q=1-p=1-0.5=0.95。并指定廢品用0表示，合格品用1表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi01P(X=xi)=pi0.050.95離散型隨機(jī)變量的概率分布

(均勻分布)

一個(gè)離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率相同列出隨機(jī)變量取值及其取值的概率例如，投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)及其出現(xiàn)各點(diǎn)的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布

(均勻分布)

【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/601/6P(x)1x23456總體：該牌子全部汽車(chē)的爆胎次數(shù)樣本：總體的部分所觀測(cè)了100輛汽車(chē)爆胎次數(shù)樣本空間（所有該品牌汽車(chē)爆胎次數(shù)構(gòu)成的集合）：事件：樣本空間的元素構(gòu)成的集合隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：抽檢該品牌汽車(chē)，記錄其爆胎次數(shù)隨機(jī)變量取值范圍：[0,1，…]事件：隨機(jī)變量取特定的值或特定區(qū)間上的值隨機(jī)變量（實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化）：X：所檢汽車(chē)爆胎次數(shù)P(X=5)P(1《X《5)隨機(jī)變量的概率分布概率：事件發(fā)生可能性研究某牌子汽車(chē)爆胎次數(shù)實(shí)驗(yàn)100次，觀測(cè)汽車(chē)爆胎次數(shù)落在1到5之間的頻率，從而近似得到概率。計(jì)算樣本均值，樣本方差，中位數(shù)，偏度，峰度頻率是概率的近似【例5.9】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手進(jìn)行100次射擊，有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi0123P(X=xi)pi頻率0.050.100.550.30p1p2p3p4總體：該選手所有打靶成績(jī)集合樣本：總體的部分所觀測(cè)的100次打靶分?jǐn)?shù)樣本空間（0,1,2,3）：事件：樣本空間的元素構(gòu)成的集合隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：觀測(cè)該運(yùn)動(dòng)員，記錄其每次打靶成績(jī)隨機(jī)變量取值范圍：[0,1,2,3]事件：隨機(jī)變量取特定的值或特定區(qū)間上的值隨機(jī)變量（實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化）：X：打靶分?jǐn)?shù)P(X=2)P(2《X《3)隨機(jī)變量的概率分布概率：事件發(fā)生可能性研究某選手打靶成績(jī)打靶100次，觀測(cè)得分在2到3之間的頻率，從而近似得到概率。計(jì)算樣本均值，樣本方差，中位數(shù)，偏度，峰度有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外樣本數(shù)據(jù)：30個(gè)3，55個(gè)2,10個(gè)1,5個(gè)0樣本均值：？樣本方差？頻率近似概率？樣本均值近似？樣本方差近似？離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(expectedvalue)在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度計(jì)算公式為離散型隨機(jī)變量的方差

(variance)隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為離散型隨機(jī)變量的方差

(例題分析)【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為如下。計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：數(shù)學(xué)期望為：方差為：離散系數(shù)(4)均值和方差在財(cái)務(wù)分析中的應(yīng)用例5.12離散型隨機(jī)變量的概率分布

(二項(xiàng)分布)

n重貝努里（Bernoulli）試驗(yàn)：包含了n個(gè)相同的試驗(yàn)。每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果：“成功”或“失敗”。出現(xiàn)“成功”的概率p對(duì)每一次試驗(yàn)都是相同的，失敗的概率q=1-p也不變。試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。試驗(yàn)“成功”或“失敗”可以計(jì)數(shù)，即試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)離散型隨機(jī)變量。以X表示n重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)，可知道X的取值可能為0，1，2，…，n。離散型隨機(jī)變量的概率分布

(二項(xiàng)分布)

接下來(lái)我們來(lái)考慮事件X=x（n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)）發(fā)生的概率。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)n=4，我們求p（X=2）即成功2次的概率?？梢灾酪还灿?次獨(dú)立試驗(yàn)，若成功兩次的話，有下面幾種結(jié)果A12：第1次成功，第2次成功，第3,4次失敗；A13：第1次成功，第3次成功，第2,4次失??；A14：第1次成功，第4次成功，第2,3次失敗；類(lèi)似的，還有A23，A24，A34。因?yàn)樵囼?yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，假設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率是p，失敗的概率是q=1-p，那么我們知道A12={第一次成功}∩{第二次成功}∩{第三次失敗}∩{第四次失敗}=A1∩A2∩-A3∩-A4Ai表示第i次試驗(yàn)成功，-Ai表示Ai的對(duì)立事件，第i次試驗(yàn)失敗。且A1，A2，-A3，-A4之間相互獨(dú)立。{X=2}=A12∪A13∪A14∪A23∪A24∪A34且A12，A13，A14，A23，A24，A34之間是互不相容的。離散型隨機(jī)變量的概率分布

(二項(xiàng)分布)

回到一般情形，我們來(lái)求n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功次數(shù)為x的概率，即P（X=x）。利用之前的思想，{x個(gè)試驗(yàn)是成功的}可以表示成為個(gè)事件的并且這些事件之間是互不相容的，每個(gè)事件發(fā)生的概率均為從而由不相容事件的加法法則知離散型隨機(jī)變量的概率分布

(二項(xiàng)分布)

注意到

二項(xiàng)分布n

重Bernoulli試驗(yàn)中,X是事件A

在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),P(A)=p,若則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p

的二項(xiàng)分布，記作0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8離散型隨機(jī)變量的概率分布

(二項(xiàng)分布)

例題：已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取1件，有放回地取3次，求在所取的3件中恰好有2件次品的概率。解：有放回的取3次，這3次試驗(yàn)條件完全相同，可知它是貝努里試驗(yàn)。以取到次品表示“成功”，那么每次試驗(yàn)取到次品的概率為

p=5/100=0.05.以X表示所取3件產(chǎn)品中次品數(shù)（“成功”試驗(yàn)的次數(shù)），那么X~B（3,0.05）。于是有

P（1《X《2）=？小練習(xí)某地人群中高血壓的患病率為π，由該地區(qū)隨機(jī)抽查20人。令X表示20人中患病的人數(shù)，則X~B（，）P（X=3）=？P(1=<X<5),P(1=<X<=5),P(1=<X<=18),從裝有紅、綠、藍(lán)三種顏色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中隨機(jī)取出10個(gè)球，以X代表所取出球中的紅色球數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B(,)

P（X=2）=？P(1=<X<5),P(1=<X<=5),P(1=<X<=9),記為X~h(n,N,M).超幾何分布對(duì)應(yīng)于不返回抽樣模型

：

N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)不合格品，

從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X.超幾何分布二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差求Var(X):引入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故例：某市每天交通事故次數(shù)服從參數(shù)為3的泊松分布，令X表示該市某天發(fā)生交通事故次數(shù)，則P(X=5)？P（X《5）？泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差:例5.165.4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率離散隨機(jī)變量分布情形不在適用總體：該燈泡廠全部燈泡壽命樣本：總體部分所觀測(cè)了10000只燈泡壽命樣本空間（所有燈泡壽命構(gòu)成的集合）：事件：樣本空間的元素構(gòu)成的集合隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：抽檢該廠燈泡，觀測(cè)其壽命隨機(jī)變量取值范圍：[0,+∞]事件：隨機(jī)變量取特定的值或特定區(qū)間上的值隨機(jī)變量（實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化）：X：所檢燈泡的壽命P(100《X《500)隨機(jī)變量的概率分布概率：事件發(fā)生可能性研究某廠燈泡壽命情況實(shí)驗(yàn)10000次，觀測(cè)燈泡壽命落在100到500之間的頻率，從而近似得到概率。計(jì)算樣本均值，樣本方差，直方圖根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究的需要，將原始數(shù)據(jù)按照某種標(biāo)準(zhǔn)化分成不同的組別，分組后的數(shù)據(jù)稱(chēng)為分組數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)分組原始數(shù)據(jù)例表中是某電腦公司2002年前四個(gè)月各天的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)(單位：臺(tái))。組距分組

(幾個(gè)概念)1.下限(lowlimit)

：一個(gè)組的最小值2.上限(upperlimit)

：一個(gè)組的最大值3.組距(classwidth)

：上限與下限之差4.組中值(classmidpoint）：下限與上限之間的中點(diǎn)值，反映各組數(shù)據(jù)的一般水平的代表值下限值+上限值2組中值=組距分組

(要點(diǎn))將變量值的一個(gè)區(qū)間作為一組適合于連續(xù)變量適合于變量值較多的情況需要遵循“不重不漏”的原則以及“上組限不在內(nèi)”原則可采用等距分組，也可采用不等距分組~~~~~組距分組(步驟)確定組數(shù)：組數(shù)的確定應(yīng)以能夠顯示數(shù)據(jù)的分布特征和規(guī)律為目的。在實(shí)際分組時(shí)，組數(shù)一般為5K15，經(jīng)驗(yàn)公式：確定組距：組距(classwidth)是一個(gè)組的上限與下限之差，可根據(jù)全部數(shù)據(jù)的最大值和最小值及所分的組數(shù)來(lái)確定，即

組距＝(最大值-最小值)÷組數(shù)

統(tǒng)計(jì)出各組的頻數(shù)并整理成頻數(shù)分布表頻數(shù)分布表的編制

(例題分析)例表中是某電腦公司2002年前四個(gè)月各天的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)(單位：臺(tái))。試對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組頻數(shù)分布表的編制

(步驟)確定組數(shù)，本例數(shù)據(jù)較多，分為10組確定各組的組距

組距＝(237-141)÷10=9.6103.根據(jù)分組整理成頻數(shù)分布表等距分組表離散密度頻數(shù)直方圖140150210190200180160170頻數(shù)(天)25201510530220230240銷(xiāo)售量（臺(tái)）落在i組的天數(shù)Ni我一眼就看出來(lái)了，銷(xiāo)售量在170～180之間的天數(shù)最多!頻率直方圖140150210某電腦公司銷(xiāo)售量分布的直方圖我一眼就看出來(lái)了，銷(xiāo)售量在170～180之間的天數(shù)最多!190200180160170頻率0.20.160.130.080.040.25220230240銷(xiāo)售量（臺(tái)）落在i組的頻率fi=Ni/N離散密度直方圖的繪制140150210某電腦公司銷(xiāo)售量分布的直方圖190200180160170離散密度=頻率/組距0.020.0160.0130.0080.0040.025220230240銷(xiāo)售量（臺(tái)）落在i組的離散密度pi=fi/ΔxSi=pi×Δx=fi頻率概率頻率密度=頻率/組距=單位距離上的頻率大小概率密度容易看出，曲線與橫軸構(gòu)成圖形的面積近似等于各個(gè)柱狀圖形面積之和。第i個(gè)柱狀圖形面積落在i組的頻率（概率）離散密度圖中綠色線圍成的圖形面積怎么計(jì)算？有什么含義？若將區(qū)間[a,b]分為m組，圖中綠色線圍成的圖形面積等于？由微積分知識(shí)，我們知道，當(dāng)區(qū)間[a,b]固定，m越來(lái)越大，Δxi越來(lái)越小，我們有概率密度函數(shù)

(probabilitydensityfunction)設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù)x1

<x2，P(x1<Xx2)是該曲線下從x1

到x2的面積f(x)xab分布函數(shù)

(distributionfunction)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來(lái)表示分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫(xiě)為分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)F(x0

)是曲線下小于

x0

的面積f(x)xx0F(x0

)連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為方差為計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式:

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

不同的連續(xù)性隨機(jī)變量X有不同的密度函數(shù)f（x）和分布函數(shù)，下面我們介紹常用的密度函數(shù)（分布函數(shù)）均勻分布

(uniformdistribution)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

稱(chēng)作X在區(qū)間[a,b]上均勻分布，記為數(shù)學(xué)期望和方差分別為例5.17均勻分布(Uniform)(a,b)上的均勻分布記作若X

的密度函數(shù)為，則稱(chēng)X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為一、均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)xf(x)abxF(x)ba二、均勻分布的期望和方差:例5.18指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱(chēng)X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)1xF(x)0xf(x)0對(duì)于任意的0<a<b,應(yīng)用場(chǎng)合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問(wèn)題中的通話時(shí)間無(wú)線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似二、指數(shù)分布的期望和方差:正態(tài)分布正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱(chēng)為高斯分布.德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.正態(tài)分布正態(tài)分布

(normaldistribution)1. 描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如:二項(xiàng)分布3. 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)一、正態(tài)分布的定義若r.v.X的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.(Normal)正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱(chēng)”.決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)在x

的上方，即f(x)>0正態(tài)曲線的最高點(diǎn)在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)正態(tài)分布是一個(gè)分布族，每一特定正態(tài)分布通過(guò)均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)區(qū)分。決定了圖形的中心位置,決定曲線的平緩程度，即寬度曲線f(x)相對(duì)于均值對(duì)稱(chēng)，尾端向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與橫軸相交正態(tài)曲線下的總面積等于1隨機(jī)變量的概率由曲線下的面積給出正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardnormaldistribution)一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算概率時(shí)，每一個(gè)正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無(wú)窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計(jì)算概率時(shí)只需要查一張表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過(guò)下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用將一個(gè)一般的轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算概率時(shí)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布表對(duì)于負(fù)的