廣東省惠州市博羅縣楊僑中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為(

) A．﹣3﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．﹣2+2i參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：把z=的分子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)﹣1﹣i，得到，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得，進(jìn)一步簡化為1﹣i，由此能求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．解答： 解：∵z===﹣1+i，∴復(fù)數(shù)z=﹣1+i的共軛復(fù)數(shù)﹣1﹣i．故選B．點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握共軛復(fù)數(shù)的概念．2.已知集合A=，B=，則A．AB= B．ABC．AB D．AB=R參考答案：A由得，所以，選A.3.已知?jiǎng)t關(guān)于的方程有實(shí)根的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.sin（﹣）的值是（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】原式中的角度變形【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（3π+）=﹣sin（π+）=sin=．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．5.已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，其前n項(xiàng)和為Sn，若，，成等比數(shù)列，則（）A.3 B.6 C.9 D.12參考答案：C【分析】由題意，得，利用等差數(shù)列求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，知，，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，所以，解得，所以＝，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比中項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一個(gè)對稱中心為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C7.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(>1)=p，則P(-1<<0)=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知點(diǎn)A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱錐D﹣ABC體積的最大值為，則球O的表面積為(

) A．36π B．16π C．12π D．π參考答案：B考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：確定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱錐D﹣ABC的體積的最大值為，可得D到平面ABC的最大距離，再利用勾股定理，即可求出球的半徑，即可求出球O的表面積．解答： 解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則∵AB=BC=，AC=3，∴∠BAC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱錐D﹣ABC的體積的最大值為，∴D到平面ABC的最大距離為3，設(shè)球的半徑為R，則R2=3+（3﹣R）2，∴R=2，∴球O的表面積為4πR2=16π．故選：B．點(diǎn)評：本題考查球的半徑，考查體積的計(jì)算，確定D到平面ABC的最大距離是關(guān)鍵．9.下列各式中，最小值是2的是(

)A．

B．

C．

D．2-3x-參考答案：C略10.設(shè)均為正數(shù)，且，，.則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則

．參考答案：由題意知三角形為等腰直角三角形。因?yàn)槭切边吷系囊粋€(gè)三等分點(diǎn)，所以，所以，所以，，所以。12.（5分）如圖，四邊形ABCD是正方形，以AD為直徑作半圓DEA（其中E是的中點(diǎn)），若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按如下路線運(yùn)動(dòng)：A→B→C→D→E→A→D，其中（λ、μ∈R），則下列判斷中：①不存在點(diǎn)P使λ+μ=1；②滿足λ+μ=2的點(diǎn)P有兩個(gè)；③λ+μ的最大值為3；④若滿足λ+μ=k的點(diǎn)P不少于兩個(gè)，則k∈（0，3）．正確判斷的序號是．（請寫出所有正確判斷的序號）參考答案：②③【考點(diǎn)】：向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．【專題】：綜合題；壓軸題；平面向量及應(yīng)用；直線與圓．【分析】：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)表示得出；討論點(diǎn)P在AB、BC、CD以及弧DEA和AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，λ、μ的取值范圍，對給出的命題進(jìn)行分析、判斷，從而得出正確的結(jié)論．解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；設(shè)點(diǎn)A（0，0），B（1，0），∴點(diǎn)C（1，1），D（0，1），E（﹣，），延長AE至F，使AF=2AE，∴點(diǎn)F（﹣1，1），∴=（1，0），2==（﹣1，1）；∴=λ（1，0）+μ（﹣1，1）=（λ﹣μ，μ）；當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，=λ，λ從0增大到1，μ=0，∴λ+μ∈[0，1]；當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，λ從1增大到2，μ從0增大到1，∴λ+μ∈[1，3]；當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，λ從2減小到1，μ=1，∴λ+μ∈[1，3]；當(dāng)點(diǎn)P在弧DEA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，﹣≤λ≤，0≤μ≤，∴λ+μ∈[﹣，1]；當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤λ≤1，0≤μ≤1，0≤λ+μ≤2；綜上，對于①，不妨令λ=1，μ=0，則λ+μ=1，=（1，0），P與點(diǎn)B重合，∴①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)λ=μ=1時(shí)，λ+μ=2，=（0，1），點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，當(dāng)λ=，μ=時(shí)，λ+μ=2，=（1，），點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，②正確；對于③，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，==（1，1），∴，得λ=2，μ=1，此時(shí)λ+μ取得最大值為3，③正確；對于④，當(dāng)滿足λ+μ=k的點(diǎn)P不少于兩個(gè)時(shí)，則k∈（﹣，3），∴④錯(cuò)誤；綜上，正確的命題是②③．故答案為：②③．【點(diǎn)評】：本題考查了平面向量運(yùn)算問題，也考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目．13.已知直線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則與的距離為____________.參考答案：14.若是偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋瑒ta=

b=

。參考答案：略15.如圖所示，在△ABC中，AD是高線，是中線，DC=BE,DGCE于G,

EC的長為8，則EG=__________________．

參考答案：【知識點(diǎn)】幾何證明N14解析：連接DE，在中，為斜邊的中線，所以．又，DGCE于G，∴DG平分EC，故．【思路點(diǎn)撥】由中，為斜邊的中線，可得，所以為直角三角形.16.已知平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，DC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則的最小值是．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意畫出圖形，把都用含有的式子表示，展開后化為關(guān)于λ的函數(shù)，再利用基本不等式求最值．【解答】解：如圖，，．∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，∴====．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號成立．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量加法的三角形法則，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．17.函數(shù)的最小正周期為

．參考答案：，其中為參數(shù)，所以周期。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若有極值點(diǎn)，求證：必有一個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；(2)求證：對任意，有.參考答案：(1)易知，設(shè)，若有極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴，∴或，此時(shí)，，∴有兩個(gè)零點(diǎn)，且有一個(gè)在區(qū)間內(nèi).即有一個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).(2)由，得，得，.∴只需證.令，則.∴當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，∴，即.∴只需證，即證，令則，∴當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，∴，即.∴原不等式成立.19.（本小題滿分12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中為常數(shù)，且.（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；（Ⅱ）若將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：由直線是圖象的一條對稱軸，可得，

所以，即．

又，，所以，故.

略20.已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于（）兩點(diǎn)，且．（1）求該拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．參考答案：本題考查了解析幾何拋物線的焦點(diǎn)弦的計(jì)算，通過常規(guī)的聯(lián)立化簡，借助根與系數(shù)的關(guān)系解決。第二問，立足解析幾何，通過向量關(guān)系處理待定系數(shù)問題，題目收而不張，體現(xiàn)解析幾何的特點(diǎn)，有效的降低了計(jì)算量。難度適中。（1）直線AB的方程是

所以：，由拋物線定義得：，所以p=4，拋物線方程為：（2）由p=4，化簡得，從而,從而A:(1,),B(4,)設(shè)=，又，即8（4），即，解得21.設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣7|+1．（1）求不等式f（x）≤x的解集；（2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為解不等式組問題，解出取并集即可；（2）先求出g（x）的分段函數(shù)，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍．【解答】解：（1）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集為；（2）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，則，∴g（x）min=﹣4，∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4．22.如圖，△ACB，△ADC都為等腰直角三角形，M為AB的中點(diǎn)，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2（1）求證：BC⊥平面ACD（2）求直線MD與平面ADC所成的角．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)所給邊的長度和△ACB，ADC都為等腰直角三角形即可知道∠ADC=90°，BC⊥AC，而根據(jù)平面ADC⊥平面ACB即可得到BC⊥平面ACD；（2）取AC中點(diǎn)E，連接ME，DE，便容易說明∠EDM是直線MD與平面ADC所成的角，由已知條件即知ME=DE=，從而得到∠EDM=45°．解答： 解：（1）證明：根據(jù)已知條件便知∠ADC=90°，∠AC