利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在給定的二次函數(shù)y＝x2＋2x－3，其圖像如下：問題1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？提示：方程的根為－3,1.問題2：函數(shù)的圖像與x軸的交點是什么？提示：交點為(－3,0)，(1,0)．問題3：方程的根與交點的橫坐標有什么關(guān)系？提示：相等．問題4：通過圖像觀察，在每一個交點附近，兩側(cè)函數(shù)值符號有什么特點？提示：在每一點兩側(cè)函數(shù)值符號異號．1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)的零點：函數(shù)y＝f(x)的

與

稱為這個函數(shù)的零點．(2)函數(shù)y＝f(x)的零點，就是方程

的解．2．零點存在性定理若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是

，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值

，即

，則在(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)

零點，即相應的方程f(x)＝0在(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解．圖像橫軸的交點的橫坐標f(x)＝0連續(xù)曲線符號相反f(a)·f(b)<0至少有一個1．方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．

2．f(a)·f(b)<0只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出零點的個數(shù)，如下圖中的圖(1)和圖(2)．分別有4個零點和1個零點．3．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點，卻不一定推出f(a)·f(b)<0如圖．[例1]求下列函數(shù)的零點．(1)y＝－x2－x＋20；(2)f(x)＝x4－1.[思路點撥]先因式分解，再確定函數(shù)的零點．[精解詳析]

(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的兩根為－5,4.故函數(shù)的零點－5,4；(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的實數(shù)根是－1,1.故函數(shù)的零點是－1,1.[一點通]

求函數(shù)的零點常用方法是解方程(1)一元二次方程可用求根公式求解．(2)高次方程可用因式分解法求根．1．若函數(shù)f(x)＝ax－b有一個零點是3，那么函數(shù)g(x)＝bx2＋3ax的零點是________．解析：∵函數(shù)f(x)＝ax－b的零點是3，∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函數(shù)g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－1題組訓練[例2]判斷下列函數(shù)有幾個零點？(1)y＝ex＋2x－6；(2)y＝log2x－x＋2.[思路點撥]借助函數(shù)的單調(diào)性和圖像解答．[精解詳析]

(1)由于y1＝ex在R上單調(diào)遞增，y2＝2x－6在R上單調(diào)遞增，∴y＝ex＋2x－6在R上單調(diào)遞增．又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6－6＝e3>0.∴y＝f(x)在(0,3)上有一個零點．從而知此函數(shù)只有一個零點；(2)函數(shù)對應的方程為log2x－x＋2＝0.即求函數(shù)y＝log2x與y＝x－2圖像交點個數(shù)．在同一坐標系下，畫出兩個函數(shù)的圖像，如圖，知有2個交點．從而函數(shù)y＝log2x－x＋2有兩個零點．[一點通]

判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法主要有：(1)解方程：當能直接求解零點時，就直接求出進行判斷．(2)用定理：零點存在性定理．(3)利用圖像的交點：有些題目可先畫出某兩個函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的圖像，其交點的橫坐標是f(x)－g(x)的零點．答案：C題組集訓答案：C5．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上滿足f(－6)>1，且f(6)<1，則f(x)＝1的根的個數(shù)為________．解析：設(shè)g(x)＝f(x)－1，由f(－6)>1及f(6)<1，得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0，因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)內(nèi)有零點．又當a>0時，g(x)單調(diào)遞增；當a<0時，g(x)單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x)為單調(diào)函數(shù)．故g(x)僅有一個零點．故方程f(x)＝1僅有一根．答案：1[例3]當a取何值時，方程ax2－2x＋1＝0一個根在(0,1)上，另一個根在(1,2)上？[思路點撥]當a＝0，a>0，a<0三種情況討論列出關(guān)于a的不等式，最后求得結(jié)果．[精解詳析]

(1)當a＝0時，方程即為－2x＋1＝0，只有一根，不符合題意．零點函數(shù)的應用[一點通]

解決二次方程根的分布問題應注意以下幾點：

(1)首先畫出符合題意的草圖，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．

(2)結(jié)合草圖考慮三個方面：①Δ與0的大??；②對稱軸與所給端點值的關(guān)系；③端點的函數(shù)值與零的關(guān)系．

(3)寫出由題意得到的不等式．

(4)由得到的不等式去驗證圖像是否符合題意.這類問題充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，也體現(xiàn)了方程的根就是函數(shù)的零點．在寫不等式時，就以上三個方面，要注意條件的完備性．6．若函數(shù)y＝ax2－x－1只有一個零點，求實數(shù)a的取值

范圍7．若把例題改為“方程的所有根為正數(shù)，求a的取值范圍”應如何處理？1．判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法有以下幾種：

(1)轉(zhuǎn)化為求方程的根，能直接解出．如一次、二次函數(shù)零點問題．

(2)畫出函數(shù)的圖像，由與x軸交點的個數(shù)判斷出有幾個零點．

(3)利用零點存在性定理，但要注意條件，而結(jié)論是至少存在一個零點，個數(shù)有可能不確定．

(4)利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化為兩個簡單函數(shù)的圖像的交點．方法