重難強(qiáng)化訓(xùn)練(四)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(60分鐘100分)練易錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)1|忽視導(dǎo)數(shù)為零的情況致誤[防范要訣]f′(x)>0?函數(shù)y＝f(x)為增函數(shù)，但反之，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù)時(shí)，f′(x)≥0，此處常會(huì)因漏掉導(dǎo)數(shù)等于零的情況致誤．[對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)]1．(5分)函數(shù)y＝x＋xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)B解析：y＝x＋xlnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，令y′＝2＋lnx<0，得0<x<e－2，即原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e－2)．2．(5分)若函數(shù)f(x)＝ax3－x是R上的減函數(shù)，則()A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)≤0C．a(chǎn)<eq\f(1,3) D．a(chǎn)≤eq\f(1,3)B解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)＝ax3－x在R上遞減，∴f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，故a≤0.3．(5分)若f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上遞增，則a的取值范圍是()A．[－1,0] B．[－1，＋∞)C．[0,3] D．[3，＋∞)D解析：f′(x)＝2x＋a－eq\f(1,x2)≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－2x恒成立．因?yàn)閥＝eq\f(1,x2)－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))內(nèi)遞減，所以ya≥3.易錯(cuò)點(diǎn)2|由極值求參數(shù)時(shí)因未檢驗(yàn)致誤[防范要訣]可導(dǎo)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為0是該函數(shù)在x0處取得極值的必要不充分條件，故已知極值求函數(shù)時(shí)，由f′(x)＝0求出的參數(shù)的值要進(jìn)行檢驗(yàn)，否則易出錯(cuò)．[對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)]4．(5分)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1時(shí)有極值10，那么()A．a(chǎn)＝－3，b＝3B．a(chǎn)＝4，b＝－11C．a(chǎn)＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11D．以上均不正確B解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－3，,a2＋a＋b＝9，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，x＝1不是極值點(diǎn)，故a＝4，b＝－11.5．(5分)函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C．(0，＋∞) D．(－∞，3)B解析：y′＝3x2－2a.要使函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值，必有ay′＝3x2－2a＝0，得x＝±eq\r(\f(2,3)a).當(dāng)x<－eq\r(\f(2a,3))時(shí)，y′>0；當(dāng)－eq\r(\f(2,3)a)<x<eq\r(\f(2,3)a)時(shí)，y′<0；當(dāng)x>eq\r(\f(2,3)a)時(shí)，yx＝eq\r(\f(2,3)a)時(shí)取得極小值．令0<eq\r(\f(2,3)a)<1，得0<a<eq\f(3,2).練疑難6．(5分)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是()A．f(x)在(－3,1)上單調(diào)遞增B．f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減C．f(x)在(2,4)上單調(diào)遞減D．f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增C解析：由f(x)的增減性與f′(x)的正負(fù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(2,4)上單調(diào)遞減，其他判斷均錯(cuò)．7．(5分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－3x－9的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，則x1x2＝()A．9 B．－9C．1 D．－1D解析：令f′(x)＝3x2＋2ax－3＝0，則x1，x2就是其兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2＝eq\f(－3,3)＝－1.8．(5分)已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值為eq\f(15,4)，則a等于()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)C解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得xa≤－1時(shí)，最大值為f(－1)＝4，不符合題意．當(dāng)－1<a<2時(shí)，f(x)在[a,2]上單調(diào)遞減，最大值為f(a)＝－a2－2a＋3＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．9．(5分)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a，g(x)＝x2－3x，它們的定義域均為[1，＋∞)，并且函數(shù)f(x)的圖象始終在函數(shù)g(x)圖象的上方，那么a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))A解析：設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a－x2＋3x，則h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增．當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)h(x)取得最小值．因?yàn)閒(x)的圖象始終在g(x)的圖象上方，則有h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范圍是(0，＋∞)．10．(5分)設(shè)圓柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面半徑為()A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,\f(V,π))C．eq\r(3,4V) D．eq\r(3,\f(V,2π))D解析：設(shè)底面圓半徑為r，高為h，則V＝πr2h.∴h＝eq\f(V,πr2).∴S表＝2S底＋S側(cè)＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·eq\f(V,πr2)＝2πr2＋eq\f(2V,r).∴S表′＝4πr－eq\f(2V,r2).令S表′＝0得，r＝eq\r(3,\f(V,2π)).又當(dāng)r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(3,\f(V,2π))))時(shí)，S表′<0；當(dāng)r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))，V))時(shí)，S表′>0.∴當(dāng)r＝eq\r(3,\f(V,2π))時(shí)，表面積最?。?1．(5分)設(shè)F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的函數(shù)，其中f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)<f(x)對(duì)于x∈R恒成立，則()A．f(2)>e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)C解析：∵函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)的導(dǎo)函數(shù)F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的減函數(shù)，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2016)<e2016f(0)．故選C．12.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________，單調(diào)遞減區(qū)間是________．(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)上單調(diào)遞減.13.(5分)已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示，給出以下說(shuō)法：①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)；②函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上無(wú)單調(diào)性；③函數(shù)f(x)在x＝－eq\f(1,2)處取得極大值；④函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值．其中正確的說(shuō)法是________(填序號(hào))．①④解析：從圖象上可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，①正確；當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，xf′(x)>0，于是f′(x)<0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)，②③錯(cuò)誤；由于f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值，故④正確．故填①④.14.(10分)判斷函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，則f(x)在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).15.(10分)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，求b的取值范圍．解：∵f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．∵f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)，∴－x＋eq\f(b,x＋2)≤0.∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.16.(15分)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，不等式f(x)>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)f′(x)＝xex＋eq\f(1,2)x2ex＝eq\f(ex,2)x(x＋2)．由eq\f(ex,2)x(x＋2)>0，解