2023高考復(fù)習(xí)練新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論總匯

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(指、對、基函數(shù))

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)(三角函數(shù))、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

系列1：由2個模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

(1)集合與簡易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件

(2)函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指

數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

(3)數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

(4)三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)

的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

(5)平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

(6)不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)

用

(7)直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用

(9)直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

(10)排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

(11)概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

(12)導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(13)復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

I

必修1

I、集合的含義與表示

一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性:

確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。

描述法格式為：（元素I元素的特征},例如{x<5.且xeN}

2、常用數(shù)集及其表示方法

（1）自然數(shù)集N（又稱非負(fù)整數(shù)集）：0、1、2、3、……

（2）正整數(shù)集N*或N+：1、2、3、……

（3）整數(shù)集Z：-2、-1、0、1、……

（4）有理數(shù)集Q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等

（5）實(shí)數(shù)集R：全體實(shí)數(shù)的集合

（6）空集中：不含任何元素的集合

3、元素與集合的關(guān)系：屬于仁，不屬于紀(jì)

例如：。是集合4的元素，就說。屬于A,記作aCA

4、集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等

（1）子集的概念

如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集（如圖1）,記

作4￡8或82A.

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，

記作PJQ

（2）真子集的概念

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的

真子集（如圖2）.A原B或B?A.

（圖2）

（3）集合相等:若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集、B,記作A=B.

AcBBGA<=>A=B

5^重要結(jié)論（1）傳遞性：若則

（2）空中集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

6、含有〃個元素的集合，它的子集個數(shù)共有2,個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個（即

不計(jì)空集）；非空的真子集有2"-2個.

7、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集

（1）一般地，由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集：

記作AAB（讀作"A交B"）,即ADB={x|xWA,且xGB}.

（2）一般地，對于給定的兩個集合A,B把它們所有的元素并在一起所組成的集合，叫做A,B的并

集.記作AUB（讀作"A并B"）,即AUB={x|xWA,或xGB}.

（3）若A是全集U的子集，由U中不屬于A的元素構(gòu)成的集合，

2

叫做A在U中的補(bǔ)集，記作C“AC^A={x|xeU,且xwA}

注：討論集合的情況時，不要發(fā)遺忘了A=中的情況。

8、映射觀點(diǎn)下的函數(shù)概念

如果A,B都是非空的數(shù)集,那么A到B的映射f：A-B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x),

其中xGA,yWB.原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域，象的集合C(C=B)叫做函數(shù)y=f(x)

的值域.函數(shù)符號y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有時簡記作函數(shù)f(x).

[2x+1x>0

9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)。如)，=<2

[一共一3x<0

10、求函數(shù)的定義域的原則：(解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域)

①分式的分母不為零；如：y=——.則X-1X0

x-I

②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零；如：y=JT二.則5-x20

③對數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1;如：y=log.(x-2),則a>0且“1

④對數(shù)的真數(shù)大于0;如：y=log“(x-2),則工-2>0

⑤指數(shù)為0的底不能為零；如：y=-1)',則,"-1H0

11、函數(shù)的奇偶性(在整個定義域內(nèi)考慮)

(1)奇函數(shù)滿足/(-x)=-/(x),奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

(2)偶函數(shù)滿足/(-X)=/(X),偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱：

注：①具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；②若奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則/(0)=o

③根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

12、函數(shù)的單調(diào)性(在定義域的某個區(qū)間內(nèi)考慮)

當(dāng)時，都有則"X)在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升；

當(dāng)A<%時，都有f(x,)>f(J),則/(x)在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。

函數(shù)f(x)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說f(x)在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間叫做

單調(diào)(增/減)區(qū)間

13、一兀一次方程ax-+bx+c=0(a*0)

—h+vh—4ac

(1)求根公式：x口=——--------(2)判別式：△=/-4ac

2a

(3)A>0時方程有兩個不等實(shí)根；△=0時方程有一個實(shí)根；△<0時方程無實(shí)根。

bc

(4)根與系數(shù)的關(guān)系---韋達(dá)定理：/+工2=一—，/,*2=—

14、二次函數(shù)：一般式.v=ax-+/?+c(a工0);兩根式y(tǒng)=a(x-

(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一上「“，二二)；(2)對稱軸方程為：X=__L.

2a4a2a

3

h4(ic—h

(3)當(dāng)〃>o時，圖象是開口向上的拋物線，在*=——處取得最小值--------

2a4a

h4cic-b

當(dāng)時，圖象是開口向下的拋物線，在*=-——處取得最大值--------

2a4a

(4)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)和判別式A的關(guān)系：

A>0時，有兩個交點(diǎn)；△=0時，有一個交點(diǎn)(即頂點(diǎn))；△<0時，無交點(diǎn)。

15、函數(shù)的零點(diǎn)

使八x)=0的實(shí)數(shù)》叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如晨=-1是函數(shù)/(x)=J-1的一個零點(diǎn)。

注：函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。函數(shù)>，=/(*)的圖象與x軸有交點(diǎn)。方程/(x)=0有實(shí)根

16、函數(shù)零點(diǎn)的判定：

如果函數(shù)>，=/(*)在區(qū)間口》］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有/(?)./(*)<()。刃

么，函數(shù)),=/(x)在區(qū)間(a.6)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a.b),使得/(c)=0。

17、分?jǐn)?shù)指數(shù)累(a>0,,”.“eN、且”>I)

m_________3m3

(1)a"="\la.如y/x3=x2;(2)a,=——=—.如一=x1;(3)(yfa)"

(4)當(dāng)"為奇數(shù)時，V=a;當(dāng)〃為偶數(shù)時，=\a|=~°.

y-aya<0

18、有理指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)(“>0,r,5eQ)

(1)4.4=4”;(2)(a)1=af;(3)(ah)=ab

19、指數(shù)函數(shù)y=a'(a>()且a工1),其中x是自變量，a叫做底數(shù)，定義域是R

20、若/=N，則與叫做以白為底N的對數(shù)。記作：log“N=b(a>0,〃工1,N>0)

其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做對數(shù)的真數(shù)。

注：指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式：logN=〃oa-N(a>0,a*1,N>0)

4

21、對數(shù)的性質(zhì)

（1）零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即10g“N中N＞（）;

（2）1的對數(shù)等于0,即log?1=0.底數(shù)的對數(shù)等于1,即log“a=l

22、常用對數(shù)lgN:以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為：loggN=lgN

自然對數(shù)inN：以e（e=2.71828…）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記為：log.N=mN

23、對數(shù)恒等式：=N

24、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(a>0,aHl,M>0,N>0)

M

(1)\oga(MN)=log^M+log“N；(2)log,---=logM-iogN；

“N

(3)logAf=n\ogaM(/ieR)(注意公式的逆用)

1ogN

25、對數(shù)的換底公式ilog=N=-------(a>0,且a.1,>0,且5H1,N>0).

log/

推論①1°八，"goa1或log,〃=—!---:②loge〃"=tlog”〃.

loga"m

26、對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且ak1):其中，x是自變量，"叫做底數(shù)，定義域是(().+<?)

a>10<a<!

卜iJ

圖像

-7^-——?

50

定義域：（0,8）

值域：R

性質(zhì)

過定點(diǎn)（1,0）

增函數(shù)減函數(shù)

0<x<1時，y<00<x<1時，y>0

取值范圍

x>1時，y>0x>1時，y<0

27、指數(shù)函數(shù).、，=a,與對數(shù)函數(shù)y=log.x互為反函數(shù)；它們圖象關(guān)于直線y=”對稱.

28、塞函數(shù)y=x"（ae/?）,其中*是自變量。要求掌握a=-1.-.1.2.3這五種情況（如下圖）

2

29、轅函數(shù).、，=”的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律：

（I）所有事函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1,1）；

（II）當(dāng)a＞。時，棄函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,2）上是增函數(shù).

（III）當(dāng)a＜。時，粒函數(shù)的圖象在區(qū)間（O,go）上是減函數(shù).

5

必修2

30、邊長為"的等邊三角形面積s,,=—?2

4

31、柱體體積：V丘=S&h,錐體體積：Y樵=LJ

球表面積公式：S球=，球體積公式：V=3萬/（上述四個公式不要求記憶

32、四個公理：

①

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

②

③過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且僅有一個平面。

④如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且僅有一條過該點(diǎn)的公共直線。

平行于同一直線的兩條直線平行（平行的傳遞性）。

33、等角定理：///

空間中如果兩個角的兩邊對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)（如圖）——-/在一△

J平行：（在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)）

34、兩條直線的位置關(guān)系：產(chǎn)皿線］相交：（在同一平面內(nèi)，有一個公共點(diǎn)）

〔異而且線：（不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，沒有公共點(diǎn)）

直線與平面的位置關(guān)系：

（1）直線在平面上；（2）直線在平面外（包括直線與平面平行，直線與平面相交）

兩個平面的位置關(guān)系：（1）兩個平面平行；（2）兩個平面相交

35、直線與平面平行：

定義一條直線與一個平面沒有公共點(diǎn)，則這條直線與這個平面平行。

判定平面外一條直線與此平面內(nèi)的一直線平行，則該直線與此平面平行。

性質(zhì)一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

36、平面與平面平行：

定義兩個平面沒有公共點(diǎn)，則這兩平面平行。

判定若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

性質(zhì)①如果兩個平面平行，則其中一個面內(nèi)的任一直線與另一個平面平行。

②如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們交線平行。

37、直線與平面垂直：

定義如果一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線都垂直，則這條直線與這個平面垂直。

判定一條直線與一個平面內(nèi)的兩相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直。

性質(zhì)①垂直于同一平面的兩條直線平行。

②兩平行直線中的一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直。

38、平面與平面垂直：

定義兩個平行相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則這兩個平面垂直。

6

判定一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

性質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

40、直線的斜率：

(1)過8(%.y,)兩點(diǎn)的直線，斜率*=-...—?(LWx,)

X2-%

(2)已知傾斜角為a的直線，斜率M=tana(a#90°)

(3)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0.y°)處的切線，其斜率火=廣(兒)

41、直線位置關(guān)系：己知兩直線/1:y=A?x+%./、：y=K2x+/),,則

/[〃/2<=>加=&2且/>]#〃2/,1/,<=>ktk,=-I

特殊情況：(1)當(dāng)儲,七都不存在時，乙〃乙；(2)當(dāng)3不存在而七=0時，乙，

42、直線的五種方程：

①點(diǎn)斜式y(tǒng)->(=/:(x-x,)(直線/過點(diǎn)(%,匕)，斜率為k).

②斜截式y(tǒng)=kx+h(直線/在y軸上的截距為〃，斜率為&).

③兩點(diǎn)式-2LS2上=士」-(直線過兩點(diǎn)(巴，匕)與(x,,y,)).

y2->>>%-工1

④截距式上+2=I(0.6分別是直線在'軸和、,軸上的截距，均不為0)

ah

⑤一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同時為0);可化為斜截式：y=-—x-—

BB

43、(1)平面上兩點(diǎn)兒),8(%,y2)間的距離公式：IAB=yj(X]-X-2+(>,1-/

2：

(2)空間兩點(diǎn)4(X1,y1.Z|).B(X,,y2,Z2)距離公式|AB,=-J(A,-X,)'+(y,-y2)+(z1-z2)

(3)點(diǎn)到直線的距離d=1AX<'+flV<'+C1(點(diǎn)P(x°,y°),直線/:Ax+8y+C=0).

dA。+B2

|c,-c2|

44、兩條平行直線Ax+8v+J=0與Ax+8、，+C,=0間的距離公式：d=J」

注：求直線Ax+與+C=0的平行線，可設(shè)平行線為Ax+5+機(jī)=0,求出切即得。

45、求兩相交直線A/+/y+C”0與A,x+"+C,=0的交點(diǎn)：解方程組，

L

--[A2x+B2y+C2=0

7

46>圓的方程：

①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(…)，(…)0其中圓心為(“⑼，半徑為『

②圓的一般方程A-2+y1+Dx+Ey+F=0.

DEVn2+F2_4F

其中圓心為(-二,-士)，半徑為/?=絲一-——,其中。尸>0

222

47、直線Av+8v+C=0與圓的(x-a):+(y-b)-=r2位置關(guān)系

(1)d>r<^>相離=A<0；?I

\Aa+Bb+C

(2)d=r。相切o△=0；其中d是圓心到直線的距離，且d=/=—

(3)d<廠o相交<=>A>0."+'

48、直線與圓相交于A(x「3),B(.7.y2)兩點(diǎn)，求弦AB長度的公式：(1)|A8|=2ylr2-d2

(2)\AB|=J1+1,(4+x"-4X,4(結(jié)合韋達(dá)定理使用)，其中k是直線的斜率

49、兩個圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的圓心分別為0”0“半徑分別為n,0,"

1)d>A+G=外離o4條公切線；2)d=。%=外切o3條公切線

3)11一/2kd<0+%=相交02條公切線；4)d='-G|=內(nèi)切。1條公切線

5)0<rf<|r(-r21o內(nèi)含u>無公切線

必修③公式表

50、算法：是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的,

而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

51、程序框圖及結(jié)構(gòu)

程序框名稱功能

表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不

起止框

k_______________)可少的。

二表示一個算法輸入和輸出的信息、,可用在算法

輸入、輸出框

中任何需要輸入、輸出的位置。

—

處理框賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

9

8

式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

判斷某一條件是否成立,成立時在出口處標(biāo)明

判斷框

“是”或“Y”；不成立時標(biāo)明“否”或“N”。

<53、三種抽>樣方法的區(qū)別勺聯(lián)系

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

簡單隨機(jī)抽

從總體中逐個抽取總體中個體數(shù)較少

樣

各層抽樣可采用

分層抽取過程將總體分成幾層總體有差異明顯的幾部

簡單隨機(jī)抽樣或

抽樣中每個個體進(jìn)行抽取分組成

系統(tǒng)抽樣

被抽取的概

將總體平均分成

率相等在起始部分抽樣

兒部分，按事先確

系統(tǒng)抽樣時采用簡單隨機(jī)總體中的個體較多

定的規(guī)則分別在各

抽樣

部分抽取

54、(1)頻率分布直方圖(注意其縱坐標(biāo)是“頻率/組距)

「極差]頻數(shù)頻率

組數(shù)=-----，頻率=--------------，小矩形面積=組距X------------------=頻率。

.組距J樣本容量組距

(2)數(shù)字特征眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。

中位數(shù)：一組數(shù)從小到大排列，最中間的那個數(shù)(若最中間有兩個數(shù)，則取其平均數(shù))。

2222

平均數(shù)：X=—+X2+???+Xn)方差：s=—[(x,-x)+(x,-x)+-x)+???+(xfl-x)J

?n

標(biāo)準(zhǔn)差：…JYU-T+K二)；..+(*二門注：通過標(biāo)準(zhǔn)差或方差可以判斷一組數(shù)

據(jù)的分散程度：其值越小，數(shù)據(jù)越集中：其值越大，數(shù)據(jù)越分散。

E-nxy

回歸直線方?程：y=hx+ar其中b=—----------,a=y-hx

Zxi~nx

55、事件的分類：

(1)必然事件：必然事件是每次試驗(yàn)都一定出現(xiàn)的事件。P(必然事件)=1

(2)不可能事件：任何一次試驗(yàn)都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件。P(不可能事件)=0

(3)隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的每一種結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機(jī)事件，簡稱為事件

基本事件：一個事件如果不能再被分解為兩個或兩個以上事件，稱作基本事件。

56、在n次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)為m,則事件A發(fā)生的頻率為m/n,當(dāng)n很大時，m

總是在某個常數(shù)值附近擺動，就把這個常數(shù)叫做事件A的概率。(概率范圍：ovP(A)VI)

57、互斥事件概念：在一次隨機(jī)事件中，不可能同時發(fā)生的兩個事件，叫做互斥事件(如圖1)。

如果事件A、B是互斥事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)

58、對立事件(如圖2)：指兩個事件不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生,

9

對立事件性質(zhì)：P(A)+P(A)=1,其中A表示事件A的對立事件。

59、古典概型是最簡單的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，古典概型有兩個特征：

(1)基本事件個數(shù)是有限的；

(2)各基本事件的出現(xiàn)是等可能的，即它們發(fā)生的概率相同.

60、設(shè)一試驗(yàn)有n個等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m個基本事件，則事件A的概

率P(A)公式為

,、A包含的基本事件的個數(shù)">

P(A)=--------------------------------------------------=—

基本事件的總數(shù)”

運(yùn)用互斥事件的概率加法公式時，首先要判斷它們是否互斥，再由隨機(jī)事件的概率公式分別求它

們的概率，然后計(jì)算。在計(jì)算某些事件的概率較復(fù)雜時，可轉(zhuǎn)而先示對立事件的概率。

,、構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

61、幾何概型的概率公式:P(A)=-------------------------------------------------------------------------------------------

試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度(而積成體積)

必修(4)

一.三角函數(shù)與三角恒等變換

1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

74\t(

圖象uJU

\(\(w\

定義域RR{x|xr/+k7c,kWZ}

值域[-1,1][-1,1]R

周期性2兀27rn

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

增區(qū)間增區(qū)間[-n+2k7r,2k7t]

增區(qū)間

[-5+21＜兀，5-*-2k7t]減區(qū)間[2k7t,jvF2k7r]

單調(diào)性(----+kjt,—+k7t)

減區(qū)間[、+節(jié)22

2kH(kez)

(kez)

4-2kn]

對稱軸x=—4-kjr(kWZ)x=kn(kEZ)無

2

對稱中心(k7t,0)(k三Z)(—+k7t,o)(kez)(ky,O)(kGZ)

2

10

sma

2.同角三角函數(shù)公式sinr+cos~a=tana=-----tanacota=1

cosa

3.二倍角的三角函數(shù)公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-l=1-2sin2a=cos2a.sin2a

c2tana

tan2a=------；—

1-tan~a

1+cos2a.1-cos2a

4.降幕公式cos2a-sirr2a=----------

22

5.升幕公式1±sin2a=(sinaicosa)2

1+cos2a=2cos2a

1-cos2a=2sin2a

6.兩角和差的三角函數(shù)公式

sin(a±P)=sinacospztcosasinP

cos(a±p)=cosacosp-f-sinasinp

tan(c±0=與nq主tan.2

1TtanatanJ3

7.兩角和差正切公式的變形：

tanaitanP=tan(a±P)(1干tanatanp)

1+tanatan45°+tana/n、

=tan(—Ha)

1—tana1-tan45°tana4

1—tanatan450-tana/兀、

=tan(—a)

1+tana1+tan45°tana4

8.兩角和差正弦公式的變形（合一變形）

asina+bcosa=y/a2+〃sin(a+。)（其中tan。=2）

a

9.半角公式:

.a1-cosaaI+cosa

sin—=±J---------cos—=±.

2\222

11

aI-cosasina1-cosa

tan—=±J--------=---------=---------

2v1+cosa1+cosasina

10.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式“奇變偶不變，符號看象限。

sin(n-a)=sina,cos(7t-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana；

sin(n+a)=-sinacos(兀+a)=-cosatan(兀+a)=tana

sin(2n—a)=-sinacos(2兀-a)=cosatan(2TI-a)=一-tana

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=--tana

/n、

sin(——a)=cosacos(——a)=sinatan(——a)=cota

2

.7T.,TC、、.,n、

sin(z—+a)=cosacos(—+a)=-sinatan(—+a)=-cota

22

11.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(<yx+”)，x?R及函數(shù)y=cos(s+s),x@R(A,s,°為常數(shù)，且A/),

s>0)的周期T=紅；函數(shù)v=tanQx+e),xw4萬+工,AeZ(A,a),0為常數(shù)，且

(D2

A#),3>0)的周期7=匹.

CD

二.平面向量

(一)向量的有關(guān)概念

1.向量的模計(jì)算公式：

(1)向量法：=7^"；

(2)坐標(biāo)法：設(shè)。=(x,y),則|。|=Jx?+y2

2.單位向量的計(jì)算公式：

(1)與向量q=(x,y)同向的單彳立向量是/'，/J，］；

(2)與向量a=(x,y)反向的單位向量是—1:,,----y;

、ylx2+y2ylx2+y2)

3.平行向量

12

規(guī)定：零向量與任一向量平行。設(shè)a=(xi,yi),6=(x2,yi),人為實(shí)數(shù)

向量法：a//b(h^O)<=>o=kb

坐標(biāo)法：?！ā?Z>HO)<=>xiy2-X2yi=0<=>—L=—(yi^0,y2/O)

必y2

4.垂直向量

規(guī)定：零向量與任一向量垂直。設(shè)。=(xi,yi),Z=(X2,y2)

向量法：aA.h<=>ab=0坐標(biāo)法：a_LZ<=>xix2+yiy2=0

5.平面兩點(diǎn)間的距離公式

=14用='JABAB="區(qū)-芭)2+(乃-必)2(A(X],乂)，B(士,8)).

(二)向量的加法

(I)向量法：三角形法則(首尾相接首尾連)，平行四邊形法則(起點(diǎn)相同連對角)

(2)坐標(biāo)法：設(shè)a=(xi,yi),7=(X2,y2),則a+由=(xi+x2,yi+yz)

(三)向量的減法

(1)向量法：三角形法則(首首相接尾尾連，差向量的方向指向被減向量)

(2)坐標(biāo)法：設(shè)，7=(xi,y1),Z=(X2,y2),則a-5=(xi-X2,yi-yz)

(3)重要結(jié)論:||o|-|S||<|o±^|<|a|+|A|

(四)兩個向量的夾角計(jì)算公式：

(1)向量法：cos。=f2

HMI

(2)坐標(biāo)法：設(shè)4=(X1,yO,取=(X2,y2),貝"cos6=/WJ產(chǎn)2.

收+w收+月

(五)平面向量的數(shù)量積計(jì)算公式：

(1)向量法：a-A=Ia11ZIcos0

(2)坐標(biāo)法：設(shè)"=(xi,yi),Z=(X2,y2),則a7=xiX2+yiyz

13

(3)ab的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。

的乘積.

(六)1.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)入、N為實(shí)數(shù)，那么

⑴結(jié)合律：X(pa)=(Xg)a;

⑵第一分配律：Q+U)a=Xa+|ia;

(3)第二分配律：Ma+b尸入a+，b

2.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(l)Gb=bs(交換律)；

⑵(7“)-b=A(?b)=A?b=?(Ab);

⑶(4+b)，c=ac+bc.

3.平面向量基本定理：如果e"2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一

平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)腦入2,使得a=入⑻+Qe2.不共線的向量ere：

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

(七)三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X[,y)、B(X2,y2)%C(x：,,丫3),則AABC的重心

的坐標(biāo)是G(演+；+，凹+,+勺

必修⑤公式表

84、數(shù)列前"項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系：

a=「'’"=1；(數(shù)歹|J{a.}的前n項(xiàng)的和為$“=%+*+???+%).

，凡-S“一,,“22.

85、等差、等比數(shù)列公式對比

14

〃wN-等差數(shù)列等比數(shù)列

-^=q(4W0)

定義式a?-a?-1.?d

通項(xiàng)公式及K-1

an="1+(”—[)〃an="l"

a=aE4(n-??)?/n-tn

推廣公式kan=a》q

中項(xiàng)公式若a.A.b成等差，則八若a、G,b成等比，則G■=ah

2

若m+n=p+cj=2rt貝l]若〃z+〃=〃+g=2r,貝lj

運(yùn)算性質(zhì)2

a”+a=ap+aq=2ara“a”,=ap。4=a,

”(%+a)naq=I,

s