整理范本整理范本高中數(shù)學(xué)常用公式大全1.元素與集合的關(guān)系xgAox電CAxgCAox電AUU2.德摩根公式C(AIB)二CAUCB;C(AUB)二CAICB.UUUUUU3?集合｛a,a,L,a｝的子集個數(shù)共有2“個；真子集有2“-1個；非空子集有2“-1個；非空12n的真子集有2“-2個.4.二次函數(shù)的解析式的三種形式⑴一般式f(x)=ax2+bx+c(a豐0)；⑵頂點式f(x)=a(x-h)2+k(a豐0)；⑶零點式f(x)=a(x-x)(x-x)(a豐0).125?方程/(x)=0在(k,k?上有且只有一個實根，與f(k)f伙2)<0不等價，前者是后者的一個必要而不是充分條件?特別地，方程ax2+bx+c二0(a豐0)有且只有一個實根在(k,k?)內(nèi),等價于2af(k)f(k)<0，或f(k)=0且k<-】<，或f(k)=0且佇當(dāng)<-】<k.2a12112a2222a26.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a豐0)在閉區(qū)間[p,q〕上的最值只能在x=-]處及區(qū)間的兩端2a點處取得，具體如下：(可畫圖解決問題)maxmax⑴當(dāng)a>0時，若x=-[g[p,q[則f(x)=f(—?),f(x)=｛f(p),f(q)｝；maxmaxTOC\o"1-5"\h\z2amin2amaxmaxminminx=-?qlf(x)={f(p),f(q)},f(x)={f(p),f(q)}.maxmaxminmin2a⑵當(dāng)a<0時，若x=-]g[p,q[則f(x)=min{f(p),f(q)}，若x=-]g[p,q],則2amin2af(x)=max{f(p),f(q)}，f(x)=min{f(p),f(q)}.maxmin7?真值表

pq非pP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假8.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有n個至多有（n-1）個小于不小于至多有n個至少有（n+1）個對所有x,成立存在某x,不成立p或q~>p且—>q對任何x,不成立存在某x,成立p且q或F四種命題的相互關(guān)系充要條件（1）充分條件：若pnq，則p是q充分條件.（2）必要條件：若qnp，則p是q必要條件.（3）充要條件：若pnq，且qnp，則p是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.函數(shù)的單調(diào)性⑴設(shè)x-xwta,b]x豐x那么1212(x一x)[f(x)一f(x)]>0of(xi)_f(“2)>0of(x)在L,b]上是增函數(shù)；1212x-x12(x一x)[f(x)一f(x)]<0of(xi)_f(x2)<0of(x)在L,b]上是減函數(shù).1212x一x12⑵設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f'(x)>0，則f(x)為增函數(shù);如果f'(x)<0，則f(x)為減函數(shù).如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)f(x)+g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)y=f(u)和u=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù).13．奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).14.兩個函數(shù)圖象的對稱性⑴函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.⑵同底的指數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對稱。15.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)f(x)=f(x+a)，則f(x)的周期15.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)16.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪m1(1)an=(a>0,m,ngN*，且n>1).n'amm1(2)a一n=——(a>0,m,ngN*，且n>1).man17．根式的性質(zhì)Ia,an0(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，nan=a；當(dāng)n為偶數(shù)時，nan=|al-a,a<018．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

⑴ar?as=ar+s(a>0,r,sgQ).⑵(ar)s=ars(a>0,r,sgQ).⑶(ab)r=arbr(a>0,b>0,rgQ).注：若a>0,p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)?上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.19.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logN=boab=N(a>0,a豐1,N>0)a20.對數(shù)的換底公式logNlogN=m(a>0，且a豐1,m>0，且m豐1,N>0).alogamn推論logbn=logb(a>0，且a>1,m,n>0，且m主1,n主1,N>0).amma21?對數(shù)的四則運(yùn)算法則若a>0,aMl,M>0,N>0,則⑴log(MN)=logM+logN；aaa⑵logM=logM-logN；aNaa(3)logMn=nlogM(ngR).aa22.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系a=F「"1(數(shù)列｛a｝的前n項的和為s=a+a+L+a).TOC\o"1-5"\h\zn[s—s,n>2nn12nnn-123.等差數(shù)列的通項公式其前n項和公式為sna=a+(n—1)d=dn+a—23.等差數(shù)列的通項公式其前n項和公式為snn11n(a+a)n(n—1),d,11l=na+d=—n2+(a——d)n212212.24?等比數(shù)列的通項公式a=aqn—1=?qn(ngN*)-1q其前n其前n項的和公式為sna—aqTn,q豐11-qna,q=11a(1—qn)“，q豐na,q=11=<na,q=1125.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin29+cos29=1,tan0=sin》,cos0正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限和角與差角公式sin(a±P)=sinacosP土cosasinP；cos（a±P）=cosacosPmsinasinP；tana±tanPtan（a±P）=1mtanatanPasina+bcosa=\a2+b2sin（a+p）b（輔助角p所在象限由點ab）的象限決定，tan申=—）.a二倍角公式sin2a二sinacosa.cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.2tanatan2a=.1-tan2a三角函數(shù)的周期公式3>0)的周期函數(shù)y=sin（①x+p）,x€R及函數(shù)y=cos@x+p）,x€R（A,3,P為常數(shù)，且3>0)的周期2kT=——；①，函數(shù)y=tan@x+p）,x豐kK+2,keZ（a,3,P為常數(shù)，且Am0,3>0）的周期T2abc正弦定理===S=—S=—absinC=—bcsinA=—casinBsinAsinBsinC余弦定理a222=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.222面積定理（〔）S=ah=—bh=ch（h、h、h分別表示a、b、c邊上的高）.2a2b2cabc三角形內(nèi)角和定理在厶ABC中，有A+B+C=兀C=兀一(A+B)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)尢、卩為實數(shù)，那么⑴結(jié)合律：尢@a)=(和)a;⑵第一分配律：(尢+^)a=Xa+ya;⑶第二分配律：Ua+b)=^a+尢b.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)a?b=b?a(交換律)；⑵(九a)?b=九(a?b)=九a?b=a?(九b);(a+b)?c=a?c+b?c.平面向量基本定理如果e「e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)尢、尢，使得a=Xe+Xe.121122不共線的向量e「e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)玄=(x,y),b=(x,y)，且b豐0,則aPb(b豐0)oxy-xy二0.11221221a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a?b=|a||b|cosO.a?b的幾何意義數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算⑴設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，則a+b=(x+x,y+y).11221212⑵設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，則a-b=(x-x,y-y).11221212uuuruuuruuur⑶設(shè)A(x,y),b(x,y)，則AB=OB—OA=(x-x,y—y).11222121設(shè)玄=(x，y),九eR,則九a=(九x,九y).⑸設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，則a?b=(xx+yy).11221212兩向量的夾角公式xx+yy.、.、cos9=上三匕2(a=(x,y),b=(x,y)).x2+y2-x2+y211221122

平面兩點間的距離公式uurruuruurd=IAB1=AB-ABA,Bp)2+(y2-*2(AW，*,BW，打)?向量的平行與垂直<a=(X1,W，b=(X2,U)，且b豐°，則A||bOb=Xaoxy一xy=01221a丄b(a豐0)oa?b=0OXX+yy=01212三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（x,y）、B（x,y）、C（x,y）,則厶ABC的重心的坐標(biāo)是112233x+x+x+xG(23y+y+y2）3)O2）3)O為AABC的垂心OuuuruuuruuuruuuruuuruuurOA-OB=OB-OC=OC-OA三角形四“心”向量形式的充要條件設(shè)0為^ABC所在平面上一點，角A,B,c所對邊長分別為a,b，c,則uuuruuuruuur(1)0為AABC的外心oOA2=OB2=OC2.uuuruuuruuurrO為AABC的重心OOA+OB+OC=0uuuruuuruuurr(4)O為AABC的內(nèi)心oaOA+bOB+cOC=0.常用不等式：⑴a,beRna2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“二”號).⑵a,beR+n^2^>\：ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“二”號).2(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).⑷|a|—bJ|a+b\<|a|+|b|均值定理已知x，y都是正數(shù)，則有（1）若積xy是定值p，則當(dāng)x=y時和x+y有最小值2\帀；（2）若和x+y是定值s，則當(dāng)x二y時積xy有最大值-s2.449.一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a豐0,&=b2一4ac>0），如果a與ax2+bx+c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2+bx+c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.x<x<xo（x一x）（x一x）<0（x<x）；121212x<x,或x>xo(x一x)(x一x)>0(x<x)121212含有絕對值的不等式當(dāng)a>0時，有|x<aox2<a2o-a<x<a.x>aox2>a2ox>a或x<一a.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式當(dāng)a>1時,af(x)>ag(x)of(x)>g(x);f(x)>0logf(x)>logg(x)o(g(x)>0aa、f(x)>g(x)當(dāng)0<a<1時,af(x)>ag(x)of(x)<g(x);logf(x)>logg(x)o]g(x)>0aaf(x)<g(x)52..斜率公式k二厶一yi(P(x,y)、P(x,y)).x-x1112222153.直線的五種方程點斜式y(tǒng)-y二k(x-x)(直線l過點P(x,y)，且斜率為k).斜截式y(tǒng)=kx+b(b為直線l在y軸上的截距).3)兩點式y(tǒng)-yx-x4二4(y豐y)(P(x,y)、P(x,y)(x豐x)).y-yx-x12111222122121xy(4)截距式+丁=1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b豐0)ab(5)—般式Ax+By+C=0(其中A、B不同時為0).54.兩條直線的平行和垂直(1)若/:y=kx+b，/:y=kx+b111222①/111ok二k,b豐b121212;②1丄1okk=-l.1212⑵若1:Ax+By+C=01:Ax+By+C=0且A、A、1111222212B2都不為零,ABC①1||1O1=1豐1；12ABC222②1丄1oAA+BB二0；12121255．四種常用直線系方程⑴定點直線系方程：經(jīng)過定點P(x°,y°)的直線系方程為y-y°二k(x-x°)(除直線x二x°)，其中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點P(x°,y°)的直線系方程為A(x-x°)+B(y-y°)二0，其中A,B是待定的系數(shù)．⑵共點直線系方程：經(jīng)過兩直線1:Ax+By+C二0,1:Ax+By+C二0的交點的直線系方11112222程為(Ax+By+C)+九(Ax+By+C)二0(除1)，其中尢是待定的系數(shù).1112222⑶平行直線系方程：直線y=kx+b中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程?與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+九=0(九豐0)，尢是參變量.(4)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0(Amo,BMO)垂直的直線系方程是Bx-Ay+九=0,尢是參變量.點到直線的距離|Ax+By+C|d二00(點P(x,y)，直線l:Ax+By+C=0).JA2+B200Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l:Ax+By+C=0，則Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：若B豐0，當(dāng)B與Ax+By+C同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與Ax+By+C異號時，表示直線1的下方的區(qū)域?簡言之，同號在上，異號在下.若B=0，當(dāng)A與Ax+By+C同號時，表示直線1的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ax+By+C異號時，表示直線1的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線C:(Ax+By+C)(Ax+By+C)=0(AABB豐0)_則1112221212(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面區(qū)域是：(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(Ax+By+C)(Ax+By+C)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.圓的四種方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x一a)2+(y一b)2二r2.圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).60?點與圓的位置關(guān)系點P(xo，yo)與圓(x—a)2+(y—b)2二r2的位置關(guān)系有三種若d={(a-x°)2+(b-托)2，則d>ro點P在圓外;d=ro點P在圓上;d<ro點P在圓內(nèi).直線與圓的位置關(guān)系直線Ax+By+C=0與圓(x—a)2+(y—b)2二r2的位置關(guān)系有三種：d>ro相離oA<0；d=ro相切oA=0；d<ro相交oA>0.|Aa+Bb+C其中d=丨，.■vA2+B2兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O,O,半徑分別為r，r，\°0|=d1212112d>r+ro外離o4條公切線；12d=r+ro外切o3條公切線；12|r-rI<d<r+ro相交o2條公切線；‘12’12d=|r-r|o內(nèi)切o1條公切線；0<d<|r-[Io內(nèi)含o無公切線.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)64．橢圓的的內(nèi)外部x2y2x2y2(〔)點p(x,y)在橢圓—+—=1(a>b>0)的內(nèi)部o—+—<1.00a2b2a2b2x2y2x2y2(2)點p(x,y)在橢圓+~—=1(a>b>0)的外部o—+&>1.00a2b2a2b2雙曲線的內(nèi)外部TOC\o"1-5"\h\zx2y2x2y2⑴點p(x,y)在雙曲線—一一=l(a>0,b>0)的內(nèi)部Of—°>1.00a2b2a2b2x2y2x2y2⑵點P(x,y)在雙曲線=1(a>0,b>0)的外部Of—°<1.00a2b2a2b2雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系x2y2x2y2b(1)若雙曲線方程為—一一=1=漸近線方程：—一一=0Oy=+—x.a2b2a2b2abxyx2y2⑵若漸近線方程為y=+-xO±〒=0n雙曲線可設(shè)為——一廠=九?aaba2b2⑶若雙曲線與二一乙=1有公共漸近線，可設(shè)為二一二=入(九〉0，焦點在X軸上，a2-2a2-2九<0，焦點在y軸上).67.拋物線y2=2px的焦半徑公式拋物線y2=2px(p>0)焦半徑CF=x0+-p.2過焦點弦長|cd|=x++x+=x+x+P.12221268?拋物線y2=2px上的動點可設(shè)為P([,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中y2=2px.2pooooo69.拋物線的內(nèi)外部⑴點P(x°,y°)在拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)部oy2<2px(p>0).點P(x°，yo)在拋物線y2=2px(p>0)的外部oy2>2px(p>0).⑵點P(x°,y°)在拋物線y2=-2px(p>0)的內(nèi)部oy2<-2px(p>0).點P(x°，yo)在拋物線y2=-2px(p>0)的外部Oy2>-2px(p>0).⑶點P(x°,y°)在拋物線x2=2py(p>0)的內(nèi)部Ox2<2py(p>0).點P(x°，yo)在拋物線x2=2py(p>0)的外部Ox2>2py(p>0).(4)點P()在拋物線x2二2py(p>0)的內(nèi)部ox2<2py(p>0).點P(x°,y°)在拋物線x2=—2py(p>0)的外部ox2>-2py(p>0).70?直線與圓錐曲線相交的弦長公式|AB|=x—x)2+(y—y)2或AB二pl+k2x—x|：1+—|y—yI12Hk2I12(弦端點A(x,y),B(x,y)，由方程］消去y得到ax2+bx+c=0，A>0,a為直1122〔F(x,y)二0線AB的傾斜角，k為直線的斜率).71．證明直線與直線的平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；轉(zhuǎn)化為線面平行；轉(zhuǎn)化為線面垂直；轉(zhuǎn)化為面面平行.72．證明直線與平面的平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；轉(zhuǎn)化為線線平行；轉(zhuǎn)化為面面平行.73．證明平面與平面平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；轉(zhuǎn)化為線面平行；轉(zhuǎn)化為線面垂直.74．證明直線與直線的垂直的思考途徑轉(zhuǎn)化為相交垂直；轉(zhuǎn)化為線面垂直；轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.75．證明平面與平面的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律⑴加法交換律：a+b=b+a.(2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).⑶數(shù)乘分配律：Ua+b)=M+尢b.共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(bMO),a//bO存在實數(shù)尢使a=Xb.uuuruuuruuuruuuruuurP、A、B三點共線oAPIIABoAP=tABoOP=(1-1)OA+tOB.uuuruuruuuuruuurABIICDoAB、CD共線且AB、CD不共線oAB=tCD且AB、CD不共線.78?球的半徑是R,則4其體積v=3兀R3,其表面積S=4兀R2.79.柱體、錐體的體積=1Sh(S是柱體的底面積、h是柱體的高).柱體3=-S