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文檔簡介
——人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》選修2-3深圳中學(xué) 黃文輝二項式定理[問題1]有人說(1
+x
)70
的展開式中有x47
項，你認為對嗎？若有，它的系數(shù)是多少？[問題2]我們學(xué)習(xí)了(a
+b
)2
的展開式，那么(a
+b
)n
的展開式會怎樣呢？[問題2]我們學(xué)習(xí)了(a
+b
)2
的展開式，那么(a
+b
)n
的展開式會怎樣呢？(1)觀察(a
+b)1
、(a
+b)2
、(a
+b)3
、(a
+b)4
、(a
+b)5的展開式，你能得到哪些規(guī)律？展開式(a
+b)1
=
a
+b(a
+b)2
=
a2
+
2ab
+b2(a
+b)3
=
a3
+3a2b
+3ab2
+b3(a
+b)4
=
a4
+
4a3b
+
6a2b2
+
4ab3
+b4(a
+b)5
=
a5
+5a4b
+10a3b2
+10a2b3
+5ab4
+b5(a
+b)n
=[問題3]01kn
-1(
a
+
b
)
n
=
l
a
n
+
l
ann
-
k
kb
+ +
l
b
nb
+ +
l
a中的lk=
？(1)在(a
+b
)33
2
2
3=
l
0
a
+
l
1
a b
+
l
2
ab
+
l
3
b中，為什么“l(fā)
0
=1
，l
1
=3
，l
2
=3
，l
3
=1
”？(2)(
a
+
b
)
3
與(a1
+
b1)(a2
+
b2
)(a3
+
b3
)
是什么關(guān)系.(2)(
a
+
b
)
3
與(a1
+
b1)(a2
+
b2
)(a3
+
b3
)
是什么關(guān)系?當(dāng)
a1
=
a
2
=
a3
=
a
,
b1
=
b2
=
b3
=
b
時，112(
a
+
b
)(
a+
b
)(
a
+
b
)
=
(
a
+
b
)
3
.2
3
3(3)
探究(a1
+
b1
)(a2
+
b2
)(a3
+
b3
)
展開式的特點.(a1
+b1)(a2
+b2
)
=
a1a2
+a1b2
+b1a2
+b1b2(a1+b1)(a2
+b2
)(a3
+b3
)
=(a1a2+a1b2
+b1a2
+b1b2
)(a3
+b3
)a1a2a3
+a1a2b3
+a1a3b2
+a1b2b3
+a2a3b1
+a2b1b3
+a3b1b2
+b1b2b3(3)
探究(a1
+
b1
)(a2
+
b2
)(a3
+
b3
)
展開式的特點.(3)
探究(a1
+
b1
)(a2
+
b2
)(a3
+
b3
)
展開式的特點.(a1
+b1)(a2
+b2
)
=
a1a2
+a1b2
+b1a2
+b1b2(a1+b1)(a2
+b2
)(a3
+b3
)
=(a1a2+a1b2
+b1a2
+b1b2
)(a3
+b3
)a1a2a3
+a1a2b3
+a1a3b2
+a1b2b3
+a2a3b1
+a2b1b3
+a3b1b2
+b1b2b3[結(jié)論]多項式乘法展開式中的項是由每一個括號中取且只取一項相乘而成.多項式乘法的展開式中的項是由每一個括號中取且只取一項相乘.(4)在(a
+b
)33
2
2=
l
0
a
+
l
1
a b
+
l
2
ab3+l
3
b
中，為什么l
1
=
3
？多項式乘法的展開式中的項是由每一個括號中取且只取一項相乘.(4)在(a
+b
)33
2
2=
l
0
a
+
l
1
a b
+
l
2
ab3+l
3
b
中，為什么l
1
=
3
？(a
+
b)3
=
(a
+
b)(a
+
b)(a
+
b)
=
a3
+
3a
2b
+
3ab2
+
b3(a1
+
b1
)(a2
+
b2
)(a3
+
b3
)=
a1a2
a3
+
a1a2b3
+
a1a3b2
+
a1b2b3
+
a2
a3b1
+
a2b1b3
+
a3b1b2
+
b1b2b3(a
+
b)3
=
C
0
a3
+
C1a2b
+
C
2
ab2
+
C3b33
3
3
3(a
+
b)n
=
l
an
+
l
an-1b
+ +
l
an-kbk
+ +
l
bn0
1
k
n二項展開式中的項是由每一個括號中取且只取一項相乘得到的.[問題3]你能證明:(a
+b)n
=
C0an
+C1an-1b
+n
nn+Ckan-kbk
+n+Cnbn(n
?
N*)嗎？證明：(a
+b)n
是n
個(a
+b)相乘，根據(jù)多項式的乘法，展開式每一項都滿足an-kbk
（
k
?
{0,1, ,
n}
）.對項an-kbk
（
k
?
{0,1,,n}）看成問題：從n
個括號中選擇k
個括號選“b
”，剩余括號選擇“a
”，相乘而成.可這樣設(shè)計計數(shù)模型：要做這件事，可分成兩步來完成：n第一、從 個括號中選擇kkn個括號選“b
”，有C種選擇；n-k第二、剩余括號選擇“a
”就Cn-k
=1種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理有Ck
·1
=Ck
種選法.n
nkn所以，項 的同類項有C，故kan-kbk
an-kbkn的系數(shù)為C（k
?
{0,1,,
n}
）.n所以，(a
+b)展開式每一項滿足nC
a
bk n-k
k（k
?
{0,1,,
n}
）.二項式定理(a
+
b)n
=
C0an
+
C1an-1b
+n
nn+
Ck
an-kbk
+n+
Cnbn(
n
?
N*
,
k
?
{0,1,,n}).叫二項式定理.等式右邊叫二項展開式，n其中各項的系數(shù)Ck
叫做二項式系數(shù)．[問題
4]
從數(shù)列的角度看二項式展開式，你能獲得一些什么認識？(a
+b)n
=
C0an
+C1an-1b
+n
nn+Ck
an-kbk
+n+Cnbn(
n
?
N*
,
k
?
{0,1,,
n}
).[問題
4]
從數(shù)列的角度看二項式展開式，你能獲得一些什么認識？(a
+
b)n
=
C0an
+
C1an-1b
+n
nn+
Ck
an-kbk
+n+
Cnbn(
n
?
N*
,
k
?
{0,1,,
n}
).二項式展開式的通項是展開式中第k
+1項：Tk+1n=Ckan-kbk
．例1．(1)求(1+x)n
的展開式；x(2)求(2
x
-
1
)6
的展開式．解:(1)
(1+
x)n
=
C
0
+
C1
x
+n
nn+
Ck
xk
+n+
Cn
xn
．(2)605266611=
C
(2x
)6
+
C1
(2x
)
(-x(2
x-
)xx)
+
C
(2x
)4
(-
1
)233
42455666+C3
(26661111x
)
(-+
C
(-)x
x)
+
C
(2x
)
(-
)
+
Cx(2
x
)(-
)xxx2
x3=
64x3
-192x2
+
240x
-160
+
60-
12
+
1
．x例2．求(x
-1
)9展開式中x3
的系數(shù)．解：由通項公式可得：Tk
+19k
9-k91k=
C
xx(-
)
=
(-1)k
C
k
x9-2k
，當(dāng)9
-2k
=3
時，即k
=3
時，T3+19=
(-1)3
C
3
x3
=
-84x3
，
溫馨提示
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