地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1主要內(nèi)容一、概述二、單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩三、低頻振蕩小擾動數(shù)學模型四、多機系統(tǒng)低頻振蕩特征分析法五、低頻振蕩的選擇模式分析法六、低頻振蕩分析的自激法地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室212.1概述－現(xiàn)象電力系統(tǒng)中發(fā)電機經(jīng)輸電線并列運行時，在擾動下時會發(fā)生發(fā)電機轉(zhuǎn)子間的相對搖擺，并在缺乏阻尼時引起持續(xù)振蕩。這時，輸電線上功率也發(fā)生相應振蕩，由于振蕩頻率很低，一般在0.2～2.5Hz之間，在電表上才能看得出來，稱之為低頻振蕩（又稱為功率振蕩，機電振蕩）。轉(zhuǎn)子的相對搖擺振蕩頻率大約在0.2－2.5Hz之間功率振蕩機電振蕩地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室312.1概述－原因電力系統(tǒng)低頻振蕩在國內(nèi)外均有發(fā)生，這種低頻振蕩或功率振蕩常出現(xiàn)在長距離，重負荷輸電線上，在采用現(xiàn)代快速,高放大倍數(shù)勵磁調(diào)節(jié)器的條件下更容易出現(xiàn)。長距離輸電重載情況下快速、高頂值電壓的勵磁地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室412.1概述－措施電力系統(tǒng)穩(wěn)定器，即PSS以及線性最優(yōu)勵磁控制器是抑制低頻振蕩的有效手段。但在多機大電力系統(tǒng)中，PSS的安裝地點及參數(shù)的整定和協(xié)調(diào)，及全局最優(yōu)勵磁系統(tǒng)的實現(xiàn)是一個相當復雜的問題。PSS（電力系統(tǒng)穩(wěn)定器）PSS元件相互協(xié)調(diào)問題地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室512.1概述－內(nèi)容本章介紹低頻振蕩的物理機理，影響因素及起因，數(shù)學模型，分析方法及對策，從而使大家對低頻振蕩問題有一個全面深入的了解。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室6類比機械振蕩電磁振蕩地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室7同步電機振蕩的物理概念地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室8沒有阻尼功率的等幅振蕩的特性，是運行點在P—δ平面上沿功一角特件曲線以初始運行點為中心作往返等距的運動。δ隨時間的變化規(guī)律為等幅振蕩曲線。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室9當D大于零時，衰減振蕩的特征是運行點在P-δ平面以順時針移動、最后回到初始運行點，當D小于零時，自發(fā)振蕩的特征是運行點在P-δ平面上逆時針移動，逐漸遠離初始運行點。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1012.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩一.

發(fā)電機采用經(jīng)典二階模型時系統(tǒng)的低頻振蕩

如忽略勵磁系統(tǒng)及原動機動態(tài)，發(fā)電機采用經(jīng)典二階模型，,則系統(tǒng)狀態(tài)方程就只有轉(zhuǎn)子運動方程：地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1112.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）在工作點附近線性化：~~地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1212.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）令為同步力矩系數(shù)，則上式可寫為：微分方程：特征方程：當D=0時（無阻尼時），特征根：地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1312.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1412.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）這對根反映了機組轉(zhuǎn)子角增量在擾動后的動態(tài)過程中相對無窮大系統(tǒng)作頻率為的等幅振蕩。設(shè)地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1512.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）并設(shè)則相應的地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1612.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）同理：為無阻尼自然振蕩頻率，在多機系統(tǒng)中，通常認為系統(tǒng)低頻振蕩頻率范圍為0.2~2.5Hz.地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1712.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）（1）較?。^大：地區(qū)內(nèi)機組振蕩（頻率較大）（2）較大－－較?。夯ヂ?lián)系統(tǒng)區(qū)域間振蕩（頻率較大）（3）機械阻尼D消減振幅，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性（4）參數(shù)：自然振蕩頻率和阻尼比地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1812.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）討論：1)當，則，反之亦然。，為一互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)域間振蕩模式（interareamode），當為就地機組間的振蕩模式（localmode,plantmode）。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室1912.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）2)在無機械阻尼時，低頻振蕩為等幅振蕩。有機械阻尼時（），則特征根：顯然這里，即有阻尼時，振頻相對自然振蕩頻率有一定變化。

――為阻尼系數(shù)。這里，振蕩為減幅振蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2012.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）3)若把特征方程化為標準形式，則即：式中：――自然振蕩頻率，即阻尼為零時系統(tǒng)的振蕩頻率;

為阻尼比。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2112.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）從而：顯然：作向量圖如右一般系統(tǒng)中希望低頻振蕩模式的阻尼比不小于（0.1～0.3）。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2212.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）4)當系統(tǒng)中有n臺機時，有（n-1）個低頻振蕩模式，（n-1對共軛復根）,當發(fā)電機采用經(jīng)典二階模型時，為2n階，則除（n-1）對共軛復根外，計及阻尼時，一般還有一個零根，及一個負實根。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2312.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）二．電機采用三階實用模型，計及勵磁系統(tǒng)動態(tài)時，系統(tǒng)的低頻振蕩。當發(fā)電機采用三階實用模型，計及勵磁系統(tǒng)動態(tài)時，單機無窮大系統(tǒng)的動態(tài)模型在第11章已講述。包括微分方程，狀態(tài)方程及框圖。單機無窮大系統(tǒng)及其勵磁系統(tǒng)地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2412.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2512.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）1發(fā)電機轉(zhuǎn)子繞組的作用這里不計發(fā)電機轉(zhuǎn)子繞組調(diào)節(jié)動態(tài)過程，即設(shè)則傳遞函數(shù)的框圖可以簡化為：地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2612.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2712.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2812.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室2912.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）D+---+++-合成以后地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3012.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）此時系統(tǒng)可描寫為微分方程：式中：上面的數(shù)學表達式可以表示為時域表達式，拉氏變換表達式或頻域表達式。（令）可根據(jù)上下文予以識別。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3112.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）令，則在頻域中可表示為：可以在相平面上分析此電磁功率（或電磁力矩）和的相位關(guān)系。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3212.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）由式（*）中，與同相，而第二項分母則在第一象限靠近虛軸處（）。則第二項在第四象限靠近虛軸處。其負值則在第二象限。如圖可得。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3312.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）令

――為同步力矩系數(shù)；與同相位；

――與同相位，稱為阻尼功率系數(shù)；

――稱為復數(shù)功率系數(shù)；將代入描述系統(tǒng)的微分方程：地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3412.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）同步轉(zhuǎn)距由定子繞組和氣隙磁通的基波分量在同步轉(zhuǎn)速的情況下相互作用而產(chǎn)生的。阻尼轉(zhuǎn)距由于定子繞組磁場有了相對運動，產(chǎn)生轉(zhuǎn)速增量，因而在轉(zhuǎn)子繞組、阻尼繞組中感應電流而產(chǎn)生阻尼轉(zhuǎn)距。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3512.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）討論：（1）移項后與二階形式類似，即：當時，特征方程為：當為正實根，非周期失步；“可以理解為彈簧的回復力變成負”地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3612.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）當時，為負虛根，等幅振蕩，不會非周期發(fā)散；主要影響振蕩頻率。而一般的主要取決于;（彈簧的倔強系數(shù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3712.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）（2）上面主要影響振蕩阻尼。因為機械部分阻尼及電氣部分阻尼均為正值，故即系統(tǒng)有正阻尼力矩系數(shù)，不會發(fā)生振蕩失步。所以發(fā)電機的轉(zhuǎn)子繞組動態(tài)（勵磁繞組動態(tài)）作用使電磁力矩中產(chǎn)生一個和速度增量成比例的正阻尼力矩成分，有助于抑制低頻振蕩。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3812.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）（3）其中，為之繞動頻率；若，則忽略調(diào)速器動態(tài)時（），系統(tǒng)不會發(fā)生非周期失步；若，則地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室3912.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）2勵磁系統(tǒng)對低頻振蕩的影響（即）為簡化討論，將“”支路斷開，結(jié)果只會偏保守。（的作用在上面已討論過，其使變大，則為抑制低頻振蕩的作用。）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4012.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室41在快速勵磁時，TE很小，故1+TEp在低頻范圍內(nèi)是一個微小的正幅角，而Td0’很大，故K3+Td0’p是一個幅角接近90度，因此分母相位處于I，II象限，整個式子處于III，IV象限。K2>0,KE>0,K5在發(fā)電機重負荷時候小于零，從而-K5K2KE為正，可知ΔTe’’一般在Ⅲ、Ⅳ象限。12.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4212.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4312.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）一旦此負阻尼大于機械阻尼,則系統(tǒng)在Ω頻率擾動下，可能出現(xiàn)振蕩發(fā)散。所以，在①重負荷系統(tǒng)，②發(fā)電機有高放大倍數(shù)快速勵磁系統(tǒng)，負阻尼更嚴重，一旦此負阻尼比發(fā)電機阻尼繞組、勵磁繞組正阻尼和機械正阻尼還強，則系統(tǒng)在頻率擾動下可能出現(xiàn)振蕩失穩(wěn)，容易出現(xiàn)

及系統(tǒng)負阻尼現(xiàn)象，從而易在大擾動時，增幅振蕩失步及小擾動時有低頻振蕩發(fā)生。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4412.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）三.PSS抑制低頻振蕩的原理分析由前面分析可知，重負荷輸電線路容易引起低頻振蕩，而快速，高放大倍數(shù)的勵磁系統(tǒng)對此有惡化作用。勵磁調(diào)節(jié)系統(tǒng)在某些運行情況下，可能提供負阻尼，這將產(chǎn)生低頻振蕩，不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。所以一旦出現(xiàn)低頻振蕩，第一個方法即應當減少輸送容量、增強網(wǎng)架（使），第二方法是退出快速勵磁系統(tǒng)，改用手動或常規(guī)勵磁調(diào)節(jié)器來處理。但前者不經(jīng)濟，后者不利于大擾動下的暫態(tài)穩(wěn)定，所以應當采用別的措施。為了改善阻尼性質(zhì)，最簡單的方法就是輸入與轉(zhuǎn)速同相位的信號，產(chǎn)生正阻尼轉(zhuǎn)距。這種輔助信號裝置稱為電力系統(tǒng)穩(wěn)定器。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4512.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）若取為PSS輸入信號，PSS的傳遞函數(shù)為，則由前面分析的分母在第Ⅰ或第Ⅱ象限，設(shè)角恰好等于分母矢量的角度，則有地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4612.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）D+----+++-地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4712.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）即PSS的存在，使中增加了一個和同相位的成份產(chǎn)生正阻尼，可抑制低頻振蕩。討論：①．當最好裝置在高放大倍數(shù)的勵磁系統(tǒng)上，作為勵磁附加的控制信號。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4812.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）②．實際采用的以為輸入信號的PSS結(jié)構(gòu)框圖如圖:K+放大環(huán)節(jié)復位環(huán)節(jié)相位補償環(huán)節(jié)地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室4912.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）PSS一般由放大環(huán)節(jié)，復位環(huán)節(jié)及相位補償環(huán)節(jié)，限幅環(huán)節(jié)組成，其輸出作為勵磁附加信號。復位環(huán)節(jié)使時PSS輸出為零，即PSS只在動態(tài)中起作用。相位補償環(huán)節(jié)一般由1～3個超前校正環(huán)節(jié)組成（），一般一個超前校正環(huán)節(jié)最多可校正的電角度位。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5012.2單機無窮大系統(tǒng)的低頻振蕩（續(xù)）③PSS也可以用電功率增量輸入，稱為功率PSS。當采用作信號，量測比較方便，且相位校正值往往可以減少。目前功率PSS和速度PSS均有實際應用，另外也可以用母線電壓和頻率增量作為信號，稱為頻率PSS。除了PSS外，靜止無功補償器（SVC)、高壓直流輸電的附加控制也可以用來抑制低頻振蕩。另外線性最優(yōu)勵磁控制器對低頻振蕩具有很好的效果。增量地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5112.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型在自控領(lǐng)域中已有大量的線性系統(tǒng)穩(wěn)定分析的研究成果可用于電力系統(tǒng)，包括經(jīng)典的控制論和現(xiàn)代控制理論。在使用計算機分析時，對于多機大規(guī)模電力系統(tǒng)采用狀態(tài)方程的形式較為方便。這里討論的是單機無窮大系統(tǒng)的線性化模型，發(fā)電機采用三階實用模型。 地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5212.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）dq軸坐標下的標準方程為：a.運動方程

(12-1)b.轉(zhuǎn)子電壓方程:(12-2)地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5312.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）c.端電壓方程(為與網(wǎng)絡(luò)的接口) (12-3)d.勵磁系統(tǒng)： (12-4)e.網(wǎng)絡(luò)方程(包括負荷)： (12-5)上述方程為一組非線性微分方程和代數(shù)方程。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5412.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）要將上述方程化成增量方程，有幾步工作要做：a.變量包括 ，其中中間變量 可化去，這樣即為四階；b.統(tǒng)一坐標，將其化為d-q

坐標下的方程；c.消去代數(shù)變量（中間變量），化為增量方程。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5512.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）第二步：將（12-5）式化為d-q坐標下的方程，先將（12-5）實部與虛部分開，寫成矩陣形式:a.用轉(zhuǎn)換矩陣。b.寫成 在等式左邊，可得：地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5612.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）第三步：

消去中間變量，將（12-1）～（12-5）化成增量方程。由功角方程則由相關(guān)圖可得：則地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5712.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）由 則：將（12-1）（12-2）（12-4）化成增量方程，即為：地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5812.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）將上面 代入此式，則可寫出標準的增量狀態(tài)方程如下： （12-6）根據(jù)狀態(tài)方程可畫出全系統(tǒng)的傳遞函數(shù)框圖。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室5912.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）

D

+－-+---+-++

地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室6012.3

低頻振蕩小擾動數(shù)學模型（續(xù)）查閱有關(guān)書籍可得 的具體表達式，它們均為和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、運行工況有關(guān)的系統(tǒng)常數(shù)。 均為正，在重負荷時（）為負，在系統(tǒng)低頻振蕩時起重要作用。

(12-7)地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室6112.4多機系統(tǒng)低頻振蕩的特征分析法1.特征根和特征向量的物理意義和性質(zhì)（1）模式和模態(tài)（ModeandModeShape）（2）特征根和右特征向量的數(shù)學性質(zhì)（3）特征根左特征向量的數(shù)學性質(zhì)（4）特征根與狀態(tài)變量的相關(guān)性―相關(guān)因子（5）特征根和機電回路的相關(guān)比（6）特征根關(guān)于參數(shù)變化的靈敏度2.多機系統(tǒng)低頻振蕩的分析步驟地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室62例如單機無窮大系統(tǒng)方程（）（1）模式和模態(tài)(ModeandModeShape)設(shè)有常微分方程特征根：即地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室63（1）模式和模態(tài)(ModeandModeShape)由于滿足特征方程的值為特征根。即令：再由特征向量的定義可知，滿足的向量稱為特征根相對應的特征向量。將常微分方程寫成標準形式，令，則地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室64（1）模式和模態(tài)(ModeandModeShape)因此

反映了衰減性能，反映了振蕩頻率。（

增幅，

減幅，

等幅）特征向量反映了在上觀察相應的振蕩時，相對振幅的大小和相對相位關(guān)系。物理上把一對共軛復根稱為一個振蕩模式（Mode），把它相應的特征向量稱為振蕩模態(tài)（ModeShape）。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室65（2）特征根和右特征向量的數(shù)學性質(zhì)若定義特征根對角陣右特征向量矩陣用右特征向量矩陣對原系統(tǒng)作線性變換，即定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量，使則因為為對角陣，故在新的狀態(tài)量空間中可實現(xiàn)系統(tǒng)的解耦。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室66振幅的大小比值等于；相對的振蕩相位差為；對于一個，則相應的為復數(shù)向量。從而反映了在和上觀察模式的過渡過程時的相對幅值大小。將代入上式：（2）特征根和右特征向量的數(shù)學性質(zhì)由于為對角陣，其第i

個方程，其特征根為，相應的時域解為可知，對于某一個復數(shù)特征根，在和狀態(tài)量上觀察相應的過渡過程時：地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室67性質(zhì)

對上式兩邊取轉(zhuǎn)置，有，將之與比較可知從而有，即（3）特征根左特征向量的數(shù)學性質(zhì)地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室68（4）特征根與狀態(tài)變量的相關(guān)性－－相關(guān)因子定義量度第k個狀態(tài)量同第i個特征根的相關(guān)性的物理量，即相關(guān)因子為的模的大小反映了和的相關(guān)性大小，顯然

值大反映了

對

的強可觀及強可控。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室69（5）特征根和機電回路的相關(guān)比對于可解出大量的特征根。但是，若要從中選出和一部分變量(某一類變量)強相關(guān)的根，就要用相關(guān)比的概念。例如，低頻振蕩問題就要選出和、變量強相關(guān)的根(機電模式)，才可能是低頻振蕩相應的根，而不能光憑頻率作判斷。以低頻振蕩為例，定義的機電回路相關(guān)比為地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室70（5）特征根和機電回路的相關(guān)比（續(xù)）實際電力系統(tǒng)中，若求出的某個特征根滿足則認為為低頻振蕩模式，又稱“機電模式”

，即反映發(fā)電機組轉(zhuǎn)子之間的相對搖擺。舉例說明：設(shè)有一四機系統(tǒng)，考慮勵磁系統(tǒng)動態(tài)(3階)，無PSS，發(fā)電機為三階實用模型，調(diào)速系統(tǒng)為三階，全系統(tǒng)共36階。在求出的復數(shù)特征根中，將的取出，進一步計算，有地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室71（5）特征根和機電回路的相關(guān)比（續(xù)）0.0140.33280.0080.23089非機電模式進一步分析和勵磁系統(tǒng)強相關(guān)0.00140.515984.760.9745229.390.9666機電模式35.610.4778判別結(jié)論一般地說，n機系統(tǒng)存在(n-1)個機電模式，故對于四機系統(tǒng)，有3個機電模式是合理的。應當注意，對于機電模式，

；反之，對于非機電模式，

。注意，勵磁系統(tǒng)的振蕩模式有時也落在0.2～2.5Hz之中，故不能光根據(jù)頻率來判斷是否為機電模式。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室72（6）特征根關(guān)于參數(shù)變化的靈敏度設(shè)系統(tǒng)矩陣為

（

可以是PSS的放大倍數(shù)，計算可為PSS放大倍數(shù)整定提供有價值的信息）。即系統(tǒng)系數(shù)矩陣

是參數(shù)

的函數(shù)，則由于為之隱函數(shù)，故由隱函數(shù)求導法則，兩邊對求偏導數(shù)，有兩邊左乘，則由于，從而兩邊消去一項，并可整理得地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室73（6）特征根關(guān)于參數(shù)變化的靈敏度（續(xù)）是一個復數(shù)，它反映了微小變化時的移動方向(相位)和大小。式中，取穩(wěn)態(tài)工況下的值計算。特征根靈敏度是一個重要的物理量，可反映各個參數(shù)變化引起特征根變化的大小，從而為控制提供有價值的信息。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室7412.4.2多機系統(tǒng)低頻振蕩的分析步驟列出多機系統(tǒng)的元件數(shù)學模型，根據(jù)潮流計算結(jié)果計算各代數(shù)量和狀態(tài)量的初值；將各元件模型在工作點處線性化，將線性化元件模型經(jīng)適當坐標變換，并和網(wǎng)絡(luò)方程接口，再消去代數(shù)量，形成全系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程，即式(12-6)，記作，設(shè)為N維。用QR法計算系統(tǒng)的全部特征根及其相應的左、右特征向量（可?。?。將特征根中振蕩頻率在的根取出，計算其與各狀態(tài)量的相關(guān)因子，并進而計算的機電回路相關(guān)比。若，則認為為低頻振蕩模式。據(jù)此可從全部特征根中鑒別出機電模式的振蕩。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室7512.4.2多機系統(tǒng)低頻振蕩的分析步驟（續(xù)）根據(jù)機電模式可計算自然振蕩頻率及阻尼比，從而，，一般要求

。將的右特征向量(復數(shù)向量)中狀態(tài)量相應的各元素化為極坐標形式，可作相量圖分析該振蕩模式在各發(fā)電機觀察時的相對幅值大小和相位關(guān)系，可有助判別振蕩發(fā)生在哪兩臺機(或機群)之間。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室7612.4.2多機系統(tǒng)低頻振蕩的分析步驟（續(xù)）根據(jù)機電模式和狀態(tài)量的相關(guān)因子幅值大小可判斷跟哪一臺(或若干臺)發(fā)電機強相關(guān)，從而需要的話可考慮在強相關(guān)的有快速勵磁的大容量發(fā)電機上安裝PSS或最優(yōu)勵磁裝置以阻尼該振蕩模式。通過特征根靈敏度分析提供同參數(shù)的相依關(guān)系(可為控制系統(tǒng)如PSS的放大倍數(shù)等)，從而可提供PSS整定的信息。■

地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室7712.4.3多機系統(tǒng)低頻振蕩的規(guī)律在區(qū)域間發(fā)生振蕩時，往往振頻較低，而在地區(qū)電網(wǎng)內(nèi)部機組發(fā)生振蕩時，電氣距離較小，振頻較高。重負荷輸電線上易發(fā)生功率振蕩，且當在與此振蕩模式強相關(guān)的機組上采用快速勵磁裝置時，發(fā)生較強的低頻振蕩危險性更大。一般情況下一個振蕩模式常和一臺機或少數(shù)幾臺機強相關(guān)，而某一臺機組只和一個或少數(shù)幾個振蕩模式強相關(guān)，因而可據(jù)相關(guān)因子矩陣先把系統(tǒng)分為若干子塊，各子塊獨立設(shè)計PSS，或?qū)Ω鳈C作單機無窮大等值后獨立設(shè)計PSS，然后再在全系統(tǒng)中校驗，可大大節(jié)省人力。在有直流輸電及靜止無功補償器(SVC)的輸電系統(tǒng)中，可利用SVC輔助控制和HVDC功率調(diào)制來抑制功率振蕩。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室7812.4.4采用QR法的缺點分析中要把系統(tǒng)所有特征根求出，而不僅是低頻振蕩特征根，故CPU時間十分浪費。分析中把每個特征向量的全部元素求出，而我們只對低頻振蕩特征根相應的特征向量中和狀態(tài)量,對應的元素感興趣，以便了解在中所含的該振蕩模式分量的相對幅值及相位。因此，求出全部元素浪費了CPU時間，且造成大量數(shù)據(jù)輸出，而有用數(shù)據(jù)只占很小一部分。若每臺機(包括勵磁系統(tǒng)，PSS裝置)的模型為10階，則20～30臺機的系統(tǒng)就可達200~300階，即已達QR法求特征根的極限階數(shù)，故存在“維數(shù)災”問題，無法再用QR法求解。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室7912.4.4采用QR法的缺點（續(xù)）系統(tǒng)大時，中陣形成工作量大，內(nèi)存占用極多。為形成標準形式，等傳遞函數(shù)不得不設(shè)定中間狀態(tài)量而化為一階常微分方程。這不僅工作量大，而且失去了作為一個整體的明確物理意義。其他控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)也有類似問題。只能提供PSS中放大倍數(shù)的設(shè)計信息(通過算，取PSS放大倍數(shù))，但不可能提供PSS中的相位補償?shù)脑O(shè)計信息，而這對多機系統(tǒng)PSS協(xié)調(diào)設(shè)計是十分重要的信息?！龅貐^(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室80低頻振蕩分析的其他方法低頻振蕩的選擇模式分析法

SMA：SelectiveModalAnalysis低頻振蕩分析的自激法

AESOPS：AnalysisofEssentiallySpontaneousOscillationsinpowerSystems地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室8112.5低頻振蕩的選擇模式分析法選擇模式分析法（SMA）通過保留低頻振蕩相關(guān)的狀態(tài)量和而消去其它狀態(tài)量，使狀態(tài)方程階數(shù)大大降低，然后用迭代的方法求取低頻振蕩模式和模態(tài)。SMA法可以較好地適應大規(guī)模電力系統(tǒng)的低頻振蕩分析，并能節(jié)省機時?；驹砣缦拢喝舭严到y(tǒng)狀態(tài)方程劃分為 其中，為保留變量，為其他變量，如等，待消去。（12－8）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室8212.5低頻振蕩的選擇模式分析法（續(xù)） 直接消去，得 其中，I為單位陣，p為微分算子。將上式改寫為

式中，

為保留變量，為運算形式的“降階”系統(tǒng)系數(shù)陣?？梢宰C明以下2個重要性質(zhì)

性質(zhì)1：如果為式(12-8)相應系統(tǒng)之特征根，即，則也必為式(12-9)或式(12-10)之形式上降階的系統(tǒng)特征根，即有，亦即特征根不發(fā)生變化，系統(tǒng)模式不變。（12－9）（12－10）地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室8312.5低頻振蕩的選擇模式分析法（續(xù)）性質(zhì)2：對于原系統(tǒng)，的特征向量，有

。設(shè)降階系統(tǒng)相應的特征向量為，即

，則和中保留變量相對應的元素相等，即特征向量的相應元素不變。因此，在保留變量處去觀察同一模式的振蕩時，相對幅值及相位不變，或者說模態(tài)不變。上述兩個性質(zhì)從理論上保證了“降階”系統(tǒng)不畸變原系統(tǒng)的振蕩模式及模態(tài)。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室8412.5低頻振蕩的選擇模式分析法（續(xù)）特征根的迭代求解步驟對于，可用下列步驟迭代求解特征根。若選擇一個較好初值，計算。求解的特征根，滿足(在求得的所有中，以為所求)。計算；重復②，計算；若，或，則迭代收斂，否則更新，繼續(xù)迭代求解，直至收斂。地區(qū)電網(wǎng)經(jīng)濟運行與自動化研究室8512.5低頻振蕩的選擇模式分析法（續(xù)）特征根的迭代法優(yōu)缺點由于計算只對

進行，和原系統(tǒng)矩陣

比，階數(shù)大大降低，對于一