空間距離的向量求法全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編（附詳解）1.用向量求點到平面的距離定義：一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做點到平面的距離。即過這個點到平面垂線段的長度。一般方法：利用定義先作出過這個點P到平面的垂線段PO，再求垂線段PO的長度。PO

點到平面的距離公式PA如圖，設(shè)P是平面α外一點，點P到α的距離為d,作PO⊥α于O,A是α內(nèi)任一點,n是平面α的法向量，則Od例1.已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點，求點B到平面GEF的距離。DABCGFE解：如圖所示建立空間直角坐標系,則xyz2.用向量求直線與平面的距離定義：直線上任一點到與它平行的平面的距離，叫做這條直線到平面的距離。

由以上定義可知,直線與平面的距離,本質(zhì)上是點到平面的的距離,所以，計算公式還是：PdAO3.用向量求兩個平行平面的距離★和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平面的公垂線。公垂線夾在平行平面間的部分，叫做這兩個平面的公垂線段?！飪蓚€平行平面的公垂線段都相等，公垂線段長小于或等于任一條夾在這兩平行平面間的線段長?！飪蓚€平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離?！锴髢善叫衅矫娴木嚯x，其實就是求點到平面的距離。所以計算公式還是:★所以計算公式還是:βdAOPα如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E,F,M,N分別為A1B1,A1D1,B1C1,C1D1

的中點.

(1)求證：平面AEF∥平面BDMN;(2)求平面AEF和平面BDMN的距離.xyzO例2.

4.用向量求異面直線的距離α★和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做兩條異面直線的公垂線?！飪蓷l異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段。★兩條異面直線的公垂線的長度，叫做兩條異面直線的距離．

異面直線的距離公式如圖，設(shè)CD是異面直線a,b的公垂線段,P是直線a上任意一點,A是直線b上任意一點,兩條異面直線的距離為d,n是與異面直線a,b都垂直的向量，則dAPCD例3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線DA1與AC的距離。ABDCA1B1C1D1xyz解：如圖建立空間直角坐標系,則A(1,0,0)

例4.如圖,已知一個結(jié)晶體的形狀為平行六面ABCD-A1B1C1D1,其中,以頂點為端點的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是600,那么,以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？教P106思考SBCDA解：如圖所示建立空間直角坐標系,則C(1,1,0),xyz如圖建立直角坐標系,則B(2,2,0),練習(xí)2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M,N分別是BC和CD的中點,求直線BD與平面C1MN的距離.xyz解:∵BD//平面C1MN,∴只需求點B與平面C1MN的距離，ABCDMNxyz練習(xí)3.在長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=4,AD=3,AA1=2,M,N分別為CD,BB1的中點,求異面直線MN與A1B