第4章函數(shù)逼近與曲線擬合計算方法第4章函數(shù)逼近與曲線擬合稱為逼近的誤差或余項。如何在給定精度下，求出計算量最小的近似式，這就是函數(shù)逼近要解決的問題

簡單的函數(shù)

p(x)近似地代替函數(shù)

f(x)，是計算數(shù)學(xué)中最基本的概念和方法之一。近似代替又稱為逼近，函數(shù)f(x)稱為被逼近的函數(shù)，p(x)稱為逼近函數(shù)，兩者之差§1函數(shù)逼近函數(shù)逼近問題的一般提法：

對于函數(shù)類A中給定的函數(shù)f(x)，要求在另一類較簡單的且便于計算的函數(shù)類B(

A)中尋找一個函數(shù)p(x)，使p(x)與f(x)之差在某種度量意義下最小。

最常用的度量標準：(一)一致逼近以函數(shù)f(x)和p(x)的最大誤差作為度量誤差f(x)－p(x)的“大小”的標準

在這種意義下的函數(shù)逼近稱為一致逼近或均勻逼近對于任意給定的一個小正數(shù)>0，如果存在函數(shù)p(x)，使不等式成立，則稱該函數(shù)p(x)在區(qū)間[a,b]上一致逼近或均勻逼近于函數(shù)f(x)。

(二)平方逼近：采用作為度量誤差的“大小”的標準的函數(shù)逼近稱為平方逼近或均方逼近。

§2正交多項式一、正交函數(shù)系的概念考慮函數(shù)系

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,connx,sinnx,…

此函數(shù)系中任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[-

,

]上的積分都等于0！

我們稱這個函數(shù)中任何兩個函數(shù)在[-

,

]上是正交的，并且稱這個函數(shù)系為一個正交函數(shù)系。若對以上函數(shù)系中的每一個函數(shù)再分別乘以適當?shù)臄?shù)，使之成為：那么這個函數(shù)系在[-

,

]上不僅保持正交的性質(zhì)，而且還是標準化的(規(guī)范的)1．權(quán)函數(shù)定義

設(shè)

(x)定義在有限或無限區(qū)間[a,b]上，如果具有下列性質(zhì)：(1)

(x)≥0，對任意x

[a,b]，(2)積分存在，(n=0,1,2,…)，(3)對非負的連續(xù)函數(shù)g(x)若

則在(a,b)上g(x)0稱

(x)為[a,b]上的權(quán)函數(shù)

2．內(nèi)積定義

設(shè)f(x)，g(x)

C[a,b]，(x)是[a,b]上的權(quán)函數(shù)，則稱

為f(x)與g(x)在[a,b]上以(x)為權(quán)函數(shù)的內(nèi)積。

內(nèi)積的性質(zhì)：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0

f=0；(2)(f,g)=(g,f)；

(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；

(4)對任意實數(shù)k，(kf,g)=k(f,g)。3．正交性定義

設(shè)f(x)，g(x)C[a,b]若則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(quán)(x)正交。

定義

設(shè)在[a,b]上給定函數(shù)系{k(x)}

,若滿足條件則稱函數(shù)系{k(x)}是[a,b]上帶權(quán)(x)的正交函數(shù)系，若定義中的函數(shù)系{k

(x)}為多項式函數(shù)系，則稱為以(x)為權(quán)的在[a,b]上的正交多項式系。并稱pn(x)是[a,b]上帶權(quán)(x)的n次正交多項式。特別地，當Ak1時，則稱該函數(shù)系為標準正交函數(shù)系。其中

正交多項式的構(gòu)造：有遞推關(guān)系式：證明略利用Schmidt正交化過程，變?yōu)檎换涂梢詫⒍囗検交瘮?shù)二、常用的正交多項式1．切比雪夫(чебыщев)多項式定義

稱多項式為n次的切比雪夫多項式(第一類)。

切比雪夫多項式的性質(zhì)：

(1)正交性：由{Tn(x)}所組成的序列是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)

的正交多項式序列。且(2)遞推關(guān)系相鄰的三個切比雪夫多項式具有三項遞推關(guān)系式(3)奇偶性：

切比雪夫多項式Tn(x)，當n為奇數(shù)時為奇函數(shù)；n為偶數(shù)時為偶函數(shù)。

(4)Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個不同的零點(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1個不同的極值點使Tn(x)輪流取得最大值1和最小值-1。(6)切比雪夫多項式的極值性質(zhì)Tn(x)的最高次項系數(shù)為2n-1(n=1,2,…)。

定理

在-1≤x≤1上，在首項系數(shù)為1的一切n次多項式Hn(x)中與零的偏差最小，且其偏差為即，對于任何，有2．勒讓德(Legendre)多項式定義

多項式稱為n次勒讓德多項式。勒讓德多項式的性質(zhì)：(1)正交性勒讓德多項式序列{pn(x)}是在[-1,1]上帶權(quán)(x)=1的正交多項式序列。(2)遞推關(guān)系相鄰的三個勒讓德多項式具有三項遞推關(guān)系式：(3)奇偶性：

當n為偶數(shù)時，pn(x)為偶函數(shù)；當n為奇數(shù)時，pn(x)為奇函數(shù)。(4)pn(x)的n個零點都是實的、相異的，且全部在區(qū)間[-1,1]內(nèi)部。3．其它常用的正交多項式(1)第二類切比雪夫多項式定義

稱為第二類切比雪夫多項式。①{un(x)}是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項式序列。②相鄰的三項具有遞推關(guān)系式：(2)拉蓋爾(Laguerre)多項式定義

稱多項式為拉蓋爾多項式。①{Ln(x)}是在區(qū)間[0,+∞]上帶權(quán)

(x)=e-x

的正交多項式序列。

②相鄰的三項具有遞推關(guān)系式：

(3)埃爾米特(Hermite)多項式定義

稱多項式

為埃爾米特多項式。的正交多項式序列。①{Hn(x)}是在區(qū)間(-,+)上帶權(quán)函數(shù)②相鄰的三項具有遞推關(guān)系式：§3

最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定義

設(shè)函數(shù)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),對于

任意給定的

>0，如果存在多項式p(x)，使不等式成立，則稱多項式p(x)在區(qū)間[a,b]上一致逼近(或均勻逼近)于函數(shù)f(x)。維爾斯特拉斯定理若f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對于任意

>0，總存在多項式p(x)，使對一切a≤x≤b有§4最佳平方逼近1．函數(shù)系的線性相關(guān)性定義

若函數(shù)，在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，如果關(guān)系式

當且僅當時才成立，則稱函數(shù)在[a,b]上是線性無關(guān)的，否則稱線性相關(guān)。設(shè)是[a,b]上線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù),a0,a1,…,an是任意實數(shù)，則并稱是生成集合的一個基底。的全體是C[a,b]的一個子集，記為定理

連續(xù)函數(shù)在[a,b]上線性無關(guān)的充分必要條件是它們的格拉姆(Gram)行列式Gn

0，其中2．廣義多項式設(shè)函數(shù)系{，…}線性無關(guān)，則其有限項的線性組合稱為廣義多項式。二、函數(shù)的最佳平方逼近定義

對于給定的函數(shù)，若n次多項式滿足關(guān)系式則稱S*(x)為f(x)在區(qū)間[a,b]上的n次最佳平方逼近多項式。定義對于給定的函數(shù)如果存在使

則稱S*(x)為f(x)在區(qū)間[a,b]上的最佳平方逼近函數(shù)。求最佳平方逼近函數(shù)的問題可歸結(jié)為求它的系數(shù)使多元函數(shù)取得極小值。I(a0,a1,…，an)是關(guān)于a0,a1,…，an的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)取得極值的必要條件，(k=0,1,2,…,n)得方程組最小二乘！如采用函數(shù)內(nèi)積記號方程組可以簡寫為寫成矩陣形式為法方程組！

由于0,1,…,n線性無關(guān)，故Gn

0，于是上述方程組存在唯一解

從而肯定了函數(shù)f(x)在中如果存在最佳平方逼近函數(shù)，則必是取，則要在中求次最佳平方逼近多項式此時

若用H表示對應(yīng)的矩陣，即

（3.16）稱為希爾伯特(Hilbert)矩陣，記，則

的解即為所求。改進：若能取函數(shù)族={0(x),1(x),…,n(x)}，使得任意一對i(x)和j(x)兩兩（帶權(quán)）正交，則B就化為對角陣！

這時直接可算出ak=例2設(shè)，求[0，1]上的一次最佳平方逼近多項式。解由方程組，解出平方誤差最大誤差一、問題的提法已知一個函數(shù)的數(shù)值表xx1x2…xmyy1y2…ym求一個簡單易算的近似函數(shù)

p(x)f(x)。§5曲線擬合的最小二乘法但是(1)m

通常很大；(2)yi本身是測量值，不準確，即yi

f(xi)。這時沒必要使p(xi)=yi,而只要p(xi)yi

總體上盡可能小。常見做法：

使最小太復(fù)雜

使最小不可導(dǎo)，求解困難

使最小最小二乘法定義對于給定的函數(shù)如果存在使

達到最小。則把P(x)稱為f(x)的最小二乘的擬合曲線求的問題可歸結(jié)為求它的系數(shù)a0,a1,…,am

使多元函數(shù)取得極小值。Q(a0,a1,…，am)是關(guān)于a0,a1,…，am的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)取得極值的必要條件，(k=0,1,2,…,n)得方程組如采用函數(shù)內(nèi)積記號方程組可以簡寫為寫成矩陣形式為正則方程組！

由于0,1,…,n線性無關(guān)，故Gn

0，于是上述方程組存在唯一解

從而肯定了函數(shù)f(x)在中存在例：給定函數(shù)值表，求f(x)的最小二乘擬合函數(shù)s*(x)

xi0.240.650.951.241.73yi0.23-0.26-1.10-0.450.27解：在坐標平面上描出上表中的數(shù)據(jù)點，根據(jù)點的分布情況，選取xi2.012.232.522.772.99yi0.10-0.290.240.561.00可得法方程解得所以設(shè)注：最小二乘問題中，如何選擇數(shù)學(xué)模型很重要，即如何選取函數(shù)空間，通常需要根據(jù)物理意義，或所給數(shù)據(jù)的分布情況來選取合適的數(shù)學(xué)模型。

選擇直線來擬合數(shù)據(jù)稱為直線擬合。假設(shè)直線為則擬合誤差使擬合誤差最小的應(yīng)滿足線性擬合這個方程組稱為直線擬合的法方程組，解此方程組就可以確定，從而得到擬合直線Example及均方誤差例設(shè)數(shù)據(jù)如下：試用直線擬合這組數(shù)據(jù)，計算過程保留4位小數(shù)

解：法方程組為：所求直線為：kxkykxk2xkyk1110110