2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題

1.已知函數(shù)f(x)=or-/+2,其中aWO.

(1)討論/'(X)的單調(diào)性：

(2)是否存在aCR,對(duì)任意內(nèi)日0,1],總存在X2日0,1],使得/G1)4/(x2)=4成

立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)由/(x)=ax-/+2,得/(x)=a-/,

當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)任意xCR,/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，令，(x)=0,解得：x—lna,

當(dāng)(-°°,加a)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)(Ina,+°°)時(shí)，f(x)<0,

故/(x)在(-8,Ina)單調(diào)遞增，在(Ina,+°°)上單調(diào)遞減，

綜上：當(dāng)a<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(-8,ma)單調(diào)遞增，在Una,+~)上單調(diào)遞減；

(2)存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,且實(shí)數(shù)“的值為e+1,

理由如下：

①當(dāng)aWl且aWO時(shí)，由(1)知：/(X)在[0,1]上單調(diào)遞減，

貝iJxe[O,1]時(shí)，/(%),”如=/(0)=1,

則/(xi)4/(x2)<2/(0)=2<4,

故此時(shí)不滿足題意；

②當(dāng)l<a<e時(shí)，由(1)知：在[0,lna]h,f(x)遞增，在(/a,1]上，/(x)單調(diào)遞

減，

則當(dāng)x€[0,1]時(shí)，/(x)max—f(Ina)=alna-a+2,

當(dāng)xi=0時(shí),對(duì)任意X26[0,1],

f(xi)+f(X2)W/(0)+fClna)—\+alna-a+2=aClna-1)+3<3,

故此時(shí)不滿足題意；

③當(dāng)a》3時(shí)，令g(x)=4-f(x),(xe[0,I]),

由(1)知：f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，從而g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，

故g(X)max—g(0)—4-f(0),g(X)min—g(1)=4-7(1),

若對(duì)任意X16[0,1],總存在X26[0，1],使得/(XI)4/(X2)=4成立，

則—)，腿瑞即做瑞普

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故/(0)(1)=〃-c+3=4，解得：a=e+l,

綜上，存在滿足題意的實(shí)數(shù)〃，且實(shí)數(shù)。的值為：e+1.

2.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p>0),過/(一多0)作拋物線的切線，切

點(diǎn)為8(8點(diǎn)位于第一象限)，若△。力8的面積為1.

(I)求拋物線C的方程；

(II)設(shè)。(xo,0),直線/：k'x-y-k'p=0(k'GR)與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，

若△QMN的內(nèi)心恒在x軸上，求xo.

【解答】解：(I)設(shè)切線的方程為y=&(x+1),

聯(lián)立做”+2),消去y,可得后^+(廬p-2p)x+^^-=0,

ly2=2px,

女2口2

所以△=(Fp-2p)2-4廬?4=0,

解得4=1(負(fù)的舍去)，

易得XB=E，所以84°),

因?yàn)槿切?8O的面積為1,

所以g,/p=l，解得p=2(負(fù)的舍去)，

所以拋物線的方程為V=4x；

(II)由題意可得M,Q,N三點(diǎn)不可能共線，所以直線/的斜率存在,

直線/的方程設(shè)為(x-2),(2W0),

設(shè)M(xi,yi),N(%2,y2)f

聯(lián)立卜［“?)，可得后2/-(然2+4)1+422=0,

(yZ=4%

4

所以xi+x2=4+y^,XIX2=4,(*)

kL

由三角形。MN的內(nèi)心在x軸上，

可得x軸平分NM0M所以kQM+kQN=0,

yi,yzyi(^2-^o)+y2(xi-xo)

所以-----+------=oA,即a-n------------------=0,n

-X。%2-x0(Xi-Xo)(%2-Xo)

又yi=K(xi-2),yi—k'(%2-2),

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Eu,、|kf2xiX2-（X0+2）（X]+x2）+4xo]_

）r2

X1X2-XO（X1+X2）+^O'

把（*）代入上式化簡(jiǎn)可得4xo=-8,

解得xo=-2.

3.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過/（0,-2）,B3-1）

2

兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)尸（1,-2）的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段

4B交于點(diǎn)T,點(diǎn)”滿足證=亍正證明：直線4N過定點(diǎn).

22

【解答】解：（1）設(shè)E的方程為弓以

4=1

將A（0，-2）,B（-1,-1）兩點(diǎn)代入得,

911

解得/=3,序=4,

22

故E的方程為=/一=1：

34

（2）由A（0,-2）,-1）可得直線AB：y=-1x-2

①若過尸（1,-2）的直線的斜率不存在，直線為x=l,

代入占+^=1，可得M（l，嗓），N（l.-曄）,

3433

將V二代入AB：y~x-2,可得?。ū?3,以），

4oFoO

由證=而，得H（W^+5,邛~），

易求得此時(shí)直線HN：丫=（2心但）乂-2，過點(diǎn)（0，-2）；

②若過戶（1,-2）的直線的斜率存在，設(shè)fcc-y-（k+2）=0,M（xi,〃），N（m,

/），

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kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立1/2

v得(3乒+4)P-6k(2+/)x+3左(k+4)=0,

A,J4

I-3-----4-=I1

6k(2+k)-8(2+k)

yi+y=—9—

Xi1+*2=--3-k-25-+-4-23k2+4_24k

故有./,,2,且乂產(chǎn)2+*2y1=-5(*)'

3k(4+k)_4(4+4k-2k1//13k"+4

*產(chǎn)2=----9----

3k2+432=3k2+4

y=yi

3yl

聯(lián)立42，可得T(?+3，y/，H(3y]+6-Xi，yp，

y=~zx-22

o

,y,-y9

可求得此時(shí)HN：y-y0=--------------(x-xo),

z3yj+6-xj-x2z

將(0,-2)代入整理得2(xi+x2)-6(yi+^2)+xy+x2yi-3yly2-12=0,

將(*)代入，得24^+12^+96+48)1-24k-48-48左+24乒-36A2-48=0,

顯然成立.

綜上，可得直線"V過定點(diǎn)(0,-2).

4.己知函數(shù)/'(x)=ln(1+x)+axex.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

_x-x

【解答】解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=歷(1+x)+加r，則釬(x)=-^+e_xe,

：.f(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

二所求切線方程為y=2x；

⑵f(x)F二^

若a?0,當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，則f(x)<f(0)=0,不合

題意：

故“VO,f，6)/(1包上/)，令g(x)=l+a(l；=)-，注意到

■LX百乂D

oro/(\—3(xT+&)(x-1一加)

g⑴-I，g(0)T+a,g(x)=----------------------，

e

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令g'(x)>0,解得-1<X<1八歷或x〉l+\^,令g，(x)<0,解得

1-V2<x<l+V2,

；.g(x)在(