第01講空間的點(diǎn)、直線與平面【學(xué)問梳理】一、平面的概念生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．幾何里所說的“平面〞〔plane〕就是從這樣的一些物體中抽象出來的．但是，幾何里的平面是無限延展的，一個(gè)平面可以將空間分成兩局部．二、平面的畫法在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來表示平面．〔1〕當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖〔1〕，平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖〔2〕，平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線．〔2〕假如一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮攔住，為了增加它的立體感，我們常把被遮擋局部用虛線畫出來，也可以不畫．如圖〔1〕表示平面在平面的上面，圖〔2〕表示平面在平面的前面．三．平面的表示為了表示平面，我們常把希臘字母α，β，γ等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)表示，還可以用代表平面的平行四邊形的相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示．如圖中的平面可以表示為：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．四．點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系五、公理１假如一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面上，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面上．符號表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如下圖：作用：①推斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面．六、公理２不在同始終線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面符號表示：A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使Aα，Bα，Cα．如下圖：作用：①確定一個(gè)平面；②推斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面．七、依據(jù)公理２可以得到下面的三個(gè)推論：〔1〕推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．符號語言：假設(shè)點(diǎn)直線a，那么A和a確定一個(gè)平面．如下圖：〔2〕推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．符號語言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如下圖：〔3〕推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．符號語言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如下圖：【考點(diǎn)剖析】題型1：三種語言的轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)幾何問題，三種語言間的相互轉(zhuǎn)換是一種根本技能．要留意：〔1〕正確區(qū)分點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示；〔2〕用圖形表示時(shí)，正確區(qū)分實(shí)線和虛線．【典例1】如下圖，用符號語言表示以以下圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系：①點(diǎn)，在直線上________；②直線在平面內(nèi)________；③點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)________.【答案】，，【分析】依據(jù)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系及其表示方法即可求出結(jié)果.【詳解】依據(jù)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知：①，；②；③，.故答案為：①，；②；③，【典例2】用符號表示以下語句：(1)點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且直線l在平面外；(4)直線l經(jīng)過平面外一點(diǎn)M．【答案】(1)；(2)平面平面=直線l，直線m平面；(3)點(diǎn)A平面，點(diǎn)A直線l，直線l平面；(4)點(diǎn)M平面，點(diǎn)M直線l.【分析】利用點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與平面的關(guān)系直接求解.(1)點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)，記為：；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)，記為：平面平面=直線l，直線m平面；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且直線l在平面內(nèi)外，記為：點(diǎn)A平面，點(diǎn)A直線l，直線l平面；(4)直線l經(jīng)過平面外一點(diǎn)M，記為：點(diǎn)M平面，點(diǎn)M直線l.題型2:點(diǎn)、線共面問題公理1、2及其推論是證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)．常用的方法有：〔1〕納入平面法：先由局部元素確定一個(gè)平面，再證明其他的元素也在此平面內(nèi)．〔2〕幫助平面法：先證明有關(guān)點(diǎn)、線確定平面，再證明其余點(diǎn)、線確定平面，最終證明，重合．【典例3】下面三條直線肯定共面的是〔〕A．a(chǎn)，b，c兩兩平行 B．a(chǎn)，b，c兩兩相交 C．a(chǎn)∥b，c與a，b均相交 D．a(chǎn)，b，c兩兩垂直【答案】C【解答】解：對于A，直線a，b，c兩兩平行，不肯定得出a、b、c共面；對于B，直線a，b，c兩兩相交，不肯定得a、b、c共面；對于C，a∥b，且c與a、b都相交，那么a、b、c三條直線共面；對于D，a，b，c兩兩垂直，不肯定得出a、b、c共面．應(yīng)選：C．【名師點(diǎn)睛】此題考查了空間中的三條直線位置關(guān)系應(yīng)用問題，是根底題．依據(jù)題意分別推斷選項(xiàng)中的命題結(jié)論是否正確即可．【典例4】如圖，在正方體中，推斷以下命題是否正確，并說明理由.〔1〕由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；〔2〕由點(diǎn)A，，確定的平面為平面.【答案】〔1〕不正確，理由見解析；〔2〕正確，理由見解析.【分析】〔1〕由正方體的性質(zhì)知A，O，C在同一條直線上，此三點(diǎn)所成平面有很多個(gè)，可知正誤.〔2〕由正方體的性質(zhì)知A，不共線且，即可推斷A，，的平面.【詳解】〔1〕不正確，由點(diǎn)A，O，C在同一條直線上，那么不能確定一個(gè)平面，而有很多個(gè)平面.〔2〕正確，由A，不共線，那么可確定一個(gè)平面.又，那么面.∴由點(diǎn)A，，確定的平面為面.【典例5】如下圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且．求證：〔1〕、、、四點(diǎn)共面；〔2〕與的交點(diǎn)在直線上．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕證明見解析．【分析】〔1〕由平行關(guān)系轉(zhuǎn)化，可得，即可證明四點(diǎn)共面；〔2〕由條件證明與的交點(diǎn)既在平面上，又在平面上，即可證明.【詳解】證明〔1〕∵，∴．∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共面．〔2〕∵，不是，的中點(diǎn)，∴，且，故為梯形．∴與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，∴平面，平面，∴平面，且平面，∴，即與的交點(diǎn)在直線上．【典例6】求證：兩兩相交且交點(diǎn)不止一個(gè)的四條直線a、b、c、d共面．【解析】〔1〕無三線共點(diǎn)狀況，如圖〔1〕．設(shè)，，，，，．由于，所以a，d可確定一個(gè)平面．由于，，所以，，所以，即．同理，，所以a，b，c，d共面．〔2〕有三線共點(diǎn)的狀況，如圖〔2〕．設(shè)b，c，d三線相交于點(diǎn)K，與a分別交于點(diǎn)N，P，M，且，由于，所以K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為．由于，，所以．所以，即．同理，，．所以a，b，c，d共面．由〔1〕〔2〕知，a、b、c、d共面．【過關(guān)檢測】一、推斷題1、推斷以下命題的真假(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)〔1〕三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；〔〕〔2〕一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；〔〕〔3〕四邊形是平面圖形；〔〕〔4〕兩條相交直線可以確定一個(gè)平面；〔〕【答案】〔1〕×；〔2〕×；〔3〕×；〔4〕√；【解析】〔1〕錯(cuò)誤．不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．〔2〕錯(cuò)誤．一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．〔3〕錯(cuò)誤．四邊形不肯定是平面圖形．〔4〕正確．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面．2、推斷以下各題的說法正確與否：〔1〕一個(gè)平面長4米，寬2米；()〔2〕平面有邊界；()【答案】〔1〕×〔2〕×二、單項(xiàng)選擇題3、有以下命題：①8個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚；②有一個(gè)平面的長是50m，寬是20m；③平面是無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【答案】B；【解析】平面是無厚度的，故①錯(cuò)；平面是無限延展的，不行度量，故②錯(cuò)；平面是無厚度、無限延展的，故③正確．正確命題的個(gè)數(shù)為1；4.在以下各種面中，不能被認(rèn)為是平面的一局部的是〔〕A．黑板面B．乒乓球桌面C．籃球的外表D．安靜的水面【答案】C；【解析】籃球的外表是曲面，不能認(rèn)為是平面的一局部；5、假設(shè)點(diǎn)A在直線b上，b在平面β內(nèi)，那么點(diǎn)A，直線b，平面β之間的關(guān)系可以記作〔〕A．.A∈b∈β B．A∈b?βC．A?b?β D．A?b∈β【答案】B；6．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點(diǎn)．設(shè)AM與平面BB1D1D的交點(diǎn)為O，那么〔

〕A．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB=2OD1B．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB=2OD1C．三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB=OD1D．三點(diǎn)D1，O，B不共線，且OB=OD1【答案】A【分析】利用平面根本領(lǐng)實(shí)證明點(diǎn)O在直線BD1上，再借助平行推比例式即得.【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接AD1，BC1，如圖，，連BD1，平面平面，因M為棱D1C1的中點(diǎn)，那么平面，而平面，即平面，又，那么平面，因AM與平面BB1D1D的交點(diǎn)為O，那么平面，于是得，即D1，O，B三點(diǎn)共線，明顯D1M∥AB且，于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1，所以三點(diǎn)D1，O，B共線，且OB=2OD1.應(yīng)選：A7、如下圖，用符號語言可表述為〔〕A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【答案】A8．“直線與平面沒有公共點(diǎn)〞是“直線與平面平行〞的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】從充分性和必要性兩方面來分析即可.【詳解】假設(shè)直線與平面沒有公共點(diǎn)，那直線與平面只能平行，故充分條件成立；假設(shè)直線與平面平行，那么直線與平面沒有公共點(diǎn)，故必要性也成立，所以“直線與平面沒有公共點(diǎn)〞是“直線與平面平行〞的充分必要條件.應(yīng)選：C9、經(jīng)過空間任意三點(diǎn)作平面〔〕A．只有一個(gè)B．可作二個(gè)C．可作很多多個(gè) D．只有一個(gè)或有很多多個(gè)【答案】D；【解析】當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，過這三點(diǎn)的平面能作很多個(gè)；當(dāng)三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，過這三點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)；10、A、B、C表示不同的點(diǎn)，n，l表示不同的直線，α，β表示不同的平面，以下推理表述不正確的選項(xiàng)是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β＝直線ABC．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合D．l?α，A∈l?A?α【答案】D；【解析】A是公理1，故A正確；B是公理2，故B正確；C是公理2，故C正確；當(dāng)l?α，A∈l時(shí)，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故D不正確．11、以下命題中正確的選項(xiàng)是()A．過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形是平面圖形C．三條直線兩兩相交那么確定一個(gè)平面D．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域【答案】D；【解析】對于A，過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對于B，四邊形也可能是空間四邊形，不肯定是平面圖形，故B錯(cuò)誤；對于C，三條直線兩兩相交，可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；對于D，平面是無限延展的，兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域，故D正確。12、以下空間圖形畫法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()ABCD【答案】D；【解析】遮擋局部應(yīng)畫成虛線．故D錯(cuò)，選D.；13、假如點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，那么可以表示為()A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈α【答案】B【解析】點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α.14．下面是一些命題的表達(dá)語(表示點(diǎn)，表示直線，表示平面)。其中命題和表達(dá)方法都正確的選項(xiàng)是〔 〕A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴【難度】★★【答案】C15．假設(shè)直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，那么 〔 〕A．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) B．直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C．直線上全部點(diǎn)都在平面外 D．直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)【難度】★★【答案】D三、填空題16．用集合符號表示以下各概念：〔1〕點(diǎn)在直線上：________；點(diǎn)不在直線上：．〔2〕點(diǎn)在平面內(nèi)：______；點(diǎn)不在平面內(nèi)：_____________；〔3〕直線在平面內(nèi)：_________。平面經(jīng)過直線：．【難度】★【答案】，；，；，．17.直線與平面_____時(shí)，稱直線與平面相交于點(diǎn)，記作：_________．直線與平面時(shí)，稱直線平行于平面，記作：或__________．【難度】★【答案】只有一個(gè)公共點(diǎn)，；沒有公共點(diǎn)，，18、用符號表示“點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)A在平面α外〞為________．【答案】A∈l，A?α；19、α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線，P為空間中一點(diǎn)．假設(shè)α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，那么點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用符號表示為________．【答案】P∈l；【解析】由于m?α，n?β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以點(diǎn)P在直線l上，所以P∈l.20．在平行六面體的全部棱中，既與共面，又與共面的棱的條數(shù)為___________.【答案】5【分析】有兩條平行直線確定一個(gè)平面，和兩條相交直線確定一個(gè)平面可得答案，【詳解】解：如圖，滿意條件的有，，，，，故答案為：5.21．不共線的三點(diǎn)確定___________個(gè)平面.〔填數(shù)字〕【答案】1【分析】由空間幾何的公理求解即可【詳解】不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定唯一的一個(gè)平面故答案為：122．假設(shè)面，面，面，那么平面與平面的位置關(guān)系_________．【答案】相交【分析】依據(jù)給定條件利用平面的根本領(lǐng)實(shí)直接推斷即可.【詳解】因面，面，面，那么面與面有公共點(diǎn)A，且不重合，所以面與面的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交23．直線和平面相交于點(diǎn)A,用集合符號表示_________.【答案】【分析】由點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的符號表示即可得解.【詳解】由題意可得,答案為：【點(diǎn)睛】此題考查直線與平面相交的符號表示,屬于根底題,解題時(shí)留意符號的合理運(yùn)用.24、依據(jù)圖形用符號表示以下點(diǎn)、直線、