灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度定義4?3?1設(shè)序列X二(x(l),x(2),…,x(n))，則X={x(k)+(t一k)(x(k+1)一x(k))Ik=1,2,…,n一1;tg[k,k+1]}稱為序列X所對應(yīng)的折線。這里，我們對序列和折線采用了相同的記號(hào)。為敘述簡便起見，在討論時(shí)，往往對序列和它所對應(yīng)的折線不加區(qū)別。命題4?3?1設(shè)系統(tǒng)特征行為序列X為增長序列，X為相關(guān)因素行為序列，則有0i1?當(dāng)X為增長序列時(shí)，X與X為正相關(guān)關(guān)系；i 02．當(dāng)X為衰減序列時(shí)，X與X為負(fù)相關(guān)關(guān)系；i i 0由于負(fù)相關(guān)序列可通過4.1節(jié)中定義的逆化算子或倒數(shù)化算子作用轉(zhuǎn)化為正相關(guān)序列故我們重點(diǎn)研究正相關(guān)關(guān)系。定義4.3.2設(shè)序列X二(x(1),x(2),…,x(n))，則稱1.a=(x(k)-x(k-1),k二2,3,…,n，為X在區(qū)間［k-1,k］上的斜率;x(s)一x(k)a= ,s>k;k=1,2,…,n一1，為X在區(qū)間［k,s］上的斜率;s一k1a=一-(x(n)—x(1))為X的平均斜率；n一1ij定理d設(shè)x,=(x(1),x(2),...,x(n))=(x(1)+c,x(2)+c,…ij=(x(1),x(2),...,x(n))=(x(1)+c,x(2)+c,…,x(n)+c)

jjjjiii由定義4.3.21a= (x(n)一x(1))化算子，且Y=XD，化算子，且ii1a分別為X，jiX的平均斜率；a分別為X，jiX的平均斜率；0，0分別為Y，Y的

jijijiji平均斜率，則必有1.a=a；ij2.當(dāng)2.當(dāng)c<0時(shí)，0V0i；當(dāng)c>0時(shí),j卩＞卩。ij證明1.X二(x(1),x(2),...,x(n))iiii

11a= (x(n)一x(1))= (x(n)+c一x(1)一c)jn-1j j n-1i(X(n)(X(n)-x(1))二in一12『=X"(器券iii1x(n)i)X(1)iX(1)X(2)二(—X(1)X(2)二(—,j,X(1)X(1)jjX(n)、 /X⑴+c—)=(亠X(1)X(1)+cjix(2)+c—i—X(1)+ci

x(n)+c、X(n) X(1)(—i -—i )=n-1'x(1) x7i))=x(1)(n-1)"二")一七⑴)=7(1)匕ii i i i1 /X(n)+cx(1)+c= ( i 一 i—n-1x(1)+cx(1)+cii)=(x(1)+c)(n-1)(Xi(n)-Xi(1))= *1iaX(1)+Cii當(dāng)c<0時(shí)，X(1)>X(1)+c,ii當(dāng)c>0時(shí)，X(1)<X(1)+c,ii

1<1,，所以p<pX(1)iX(1)+ciij1>1,，所以p>pX(1)iX(1)+ciij上述定理反映出序列的增值特性，當(dāng)兩個(gè)增長序列的絕對增值量相同時(shí)，初值小的序列的相對增長速度要高于初值大的序列，要保持相同的相對增長速度，初值大的序列的絕對增量必須大于初值小的序列。定義4.3.3設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0X=(x(1),x(2),…,x(n))1 1 1 1X=(x(1),X⑵,…,x(n))i i i iX=(x(1),x(2),...,x(n))mmmm為相關(guān)因素序列。給定實(shí)數(shù)丫(x(k),x(k))，若實(shí)數(shù)0i1nY(X,X)= ￡丫(x(k),x(k))0in 0 ik=1滿足1?規(guī)范性0<(X,X)<1,Y(X,X)=1uX=X0i 0i 0 i對于X,XeX二{X丨s二0,1,2,…,m;m>2}，有ij sY(X,X)打(X,X) (i豐j)ij ji3．偶對對稱性對于X,XeX，有ijY(X,X)二丫(X,X)oX={X,X}TOC\o"1-5"\h\zij ji ij4．接近性Ix(k)—x(k)I越小，丫(x(k),x(k))越大0 i 0 i則稱y(X,X)為X與X的灰色關(guān)聯(lián)度，丫(x(k),x(k))為X與X在k點(diǎn)的關(guān)聯(lián)系數(shù),0i i 0 0 i i 0并稱條件1．，2．，3．，4．為灰色關(guān)聯(lián)四公理。在灰色關(guān)聯(lián)公理中，y(X,X)e(0,1］表明系統(tǒng)中任何兩個(gè)行為序列都不可能是嚴(yán)格0i無關(guān)聯(lián)的。整體性則體現(xiàn)了環(huán)境對灰色關(guān)聯(lián)比較的影響，環(huán)境不同，灰色關(guān)聯(lián)度亦隨之變化，因此對稱原理不一定滿足。偶對對稱性表明，當(dāng)灰色關(guān)聯(lián)因子集中只有兩個(gè)序列時(shí)，兩兩比較滿足對稱性。接近性是對關(guān)聯(lián)度量化的約束。定理4.3.2設(shè)系統(tǒng)行為序列X二(x(1),x(2),…,x(n))0000X=(x(1),x(2),…,x(n))1111X二(x(1),x⑵,…,x(n))TOC\o"1-5"\h\zi i i iX二(x(1),x(2),...,x(n))mmm m對于ge(0,1)，令丫(xo(k),xi(丫(xo(k),xi(k))=4.3.1)—i k i k Ix(k)—x(k)I+gmaxmaxIx(k)—x(k)I

0 i 0 iik1ny(X,X)=_￡y(x(k),x(k)) (4.3.2)0in 0 i與X的灰色ik與X的灰色i則y(X0,Xi)滿足灰色關(guān)聯(lián)四公理，其中g(shù)稱為分辨系數(shù)。y(X0,Xi)稱為X0關(guān)聯(lián)度。關(guān)聯(lián)度。證明1．規(guī)范性TOC\o"1-5"\h\z若lx(k)一x(k)l=minminlx(k)一x(k)l，則0 i ik 0 iY(xo(k)，x/k))二1若Ix(k)一x(k)IhminminIx(k)一x(k)I，則0 i ik 0 i從而Ix(k)一x(k)l>minminIx(k)一x(k)I0 i i k 0 i從而minminIx(k)-x(k)I+gmaxmaxIx(k)-x(k)I

i k 0 i i k 0 i<1x(k)一x(k)I+gmaxmaxIx(k)一x(k)I0 i i k 0 i故Y(x (k),x (k)) <1。顯然，對任意k,y(x(k),x (k)) >0,因此0<y (x (k),x(k)) <10 i 0 i 0 i2．整體性若X={Xls=0,1,2,…,m;m>2}，則對任意X,XeX，—般地s s1 s2maxmaxIx(k)一x(k)IhmaxmaxIx(k)一x(k)Ii k s1 i i k s2 i故整體性成立。3．偶對對稱性lx(k)—x(k)l=lx(k)—x(k)l0110maxmaxlx(k)一x(k)l=maxmaxlx(k)一x(k)likikik上式左端i—1，右端i—0，因此r(X,X)—r(X,X)01104．接近性 顯然成立。TOC\o"1-5"\h\z灰色關(guān)聯(lián)度Y(X,X)常簡記為Y,k點(diǎn)關(guān)聯(lián)系數(shù)Y(x(k),x(k))簡記為Y(k)。0i 0i 0 i 0i按照定理4.3.2中定義的算式可得灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算步驟如下：第一步：求各序列的初值像(或均值像)。令X'—X/x(1)—(x'(1),x'⑵,…,x'(n))i ii i i ii—0,1,2,…,m第二步：求差序列。記A(k)—lx'(k)-x'(k)l ,A—(A(1),A(2),…,A(n))i 0 i i i i i第三步：求兩極最大差與最小差。記M=maxmaxA(k),m=minminA(k)ik ik第四步：求關(guān)聯(lián)系數(shù)ge(0,1)門、m+^M

Y(k)二 ge(0,1)0i A(k)+^Mik=1,2,…,n；i=1,2,…,m第五步：計(jì)算關(guān)聯(lián)度1nY二一Y(k)；i二1,2,…,m

0i n 0ik=1例4.3.1某市工業(yè)、農(nóng)業(yè)、運(yùn)輸業(yè)、商業(yè)各部門的行為數(shù)據(jù)如下：工業(yè)：X=(x(1),x(2),x(3),x(4))=(45.8,43.4,42.3,41.9)11111農(nóng)業(yè)：X=(x(1),x(2),x(3),x(4))=(39.1,41.6,43.9,44.9)2222運(yùn)輸業(yè)：X=(x(1),x(2),x(3),x(4))=(34,3.3,3.5,3.5)3 3 3 3商業(yè)：X=(x(1),x(2),x(3),x(4))=(6.7,6.8,5.4,4.7)4 4 4 4分別以X2為系統(tǒng)特征序列’計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度。1．先以X1為系統(tǒng)特征序列求關(guān)聯(lián)度第一步：求初值像由X'=X/x(1)=(x'(1),x'(2),x'(3),x'⑷,)；i=1,2,3,4，得i ii i i i iX'=(1,0.9475,0.9235,0.9138)1X'=(1,1.063,1.1227,1.1483)2X'=(1,0.97,1.0294,1.0294)3X'=(1,1.0149,0.805,0.7015)4第二步：求差序列,A(k)=1x'(k)一x(k)I i=1,2,3,4，得由i 1i；A2=(0,0.1155,0.1992,0.2335)A=(0,0.0225,0.1059,0.1146)3A=(0,0.0674,0.1185,0.2123)4第三步：求兩極差M=maxmaxA(k)=0.2335m=minminA(k)=0ik第四步：求關(guān)聯(lián)系數(shù)取g二0.5，有g(shù)二g二2,3,4y(k)=iiA(k)+0.11675i從而0.3333=0.5040.352r(1)=1,r(2)=0.3333=0.5040.352121212r(1)=1,r(2)=0.8384,r(3)=0.5244,r(4)13 13 13r(1)=1,r(2)=0.634,r(3)=0.4963,r(4)14 14 14第五步：求灰色關(guān)聯(lián)度y二1工y(k)二0.551412k=1y=1工y(k)=0.7174 13k=1y=1fy(k)=0.6214 14k=12．對于以X為系統(tǒng)特征的情況，由2A(k)=1x'(k)一x'(k)I i=1,3,4i 2 i；A=(0,0.1155,0.1992,0.2335)1A=(0,0.093,0.0933,0.1189)3A=(0,0.0481,0.3177,0.4483)4于是M=maxmaxA(k)=0.4483m=minminA(k)=0ik取E二0.5，得0.224152i A(k)+0.22415i從而r(1)=1,r(2)=0.66,r(3)=0.53,r(4)=0.48921