全等三角形輔助線系列之三與截長補短有關(guān)的輔助線作法大全一、截長補短法構(gòu)造全等三角形截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系．有的是采取截長補短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進行求解．截長補短法作輔助線，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．典型例題精講而ZBAC，60o,則€AEC為等邊三角形.注意至UZEAD，ZCAD，AD，AD，AE，AC，故€AED9€ACD從而有DE，DC，ZDEC，ZDCE，故ZBED，ZBDE，ZDCE?ZDEC，2ZDEC所以ZDEC，ZDCE，20。，ZABC，ZBEC?ZBCE，60。+20。，80。法二：在AC上取點E，使得AE，AB，則由題意可知CE，BD在€ABD和€AED中，AB，AE，ZBAD，ZEAD，AD，AD，則€ABD竺€AED，從而BD，DE，進而有DE，CE，ZECD，ZEDC，ZAED，ZECD+ZEDC，2ZECD注意到ZABD，ZAED，則：13ZABC+ZACB，ZABC+-ZABC，-ZABC，180。-ZBAC，120°，22故ZABC，80o答案】見解析．BDBD、CE交于點O，試判【例2】已知€ABC中，ZA，60°,BD、CE分別平分ZABC和.ZACB斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【解析】BE?CD，BC,理由是：在BC上截取BF，BE,連結(jié)OF,利用SAS證得€BEO仝€BFO,二Z1，Z2,■/ZA，60。, ZBOC，90。+丄ZA，120°,二ZDOE，120。,2ZA+ZDOE，180°, ZAEO+ZADO，180°,Z1+Z3，180°,■/Z2+Z4，180°,Z1，Z2,Z3，Z4,利用AAS證得€CDO仝€CFO,二CD，CF,/■BC，BF+CF，BE+CD.答案】見解析．上，并且、分別上，并且、分別【例3】如圖，已知在△ 內(nèi)，ZBAC，60°，ZC，40°，、分別在是ZaZ的角平分線，求證：BQ+AQ，AB+BP.【解析】延長至d使BD€BP,連.在等腰△中，可得ZBDP€40。,從而ZBDP€40，€ZACP,△ ◎△ ( ),故AD€AC又ZQBC€40。€ZQCB，故BQ=QC，BD=BP.從而BQ+AQ€AB+BP.答案】見解析．例4】例4】如圖，在四邊形中，BC?BA,AD€CD,平分Z b求證：ZA+ZC€180。.【解析】延長至，使BF€BC,連△仝厶(),故ZDFB€ZDCB,FD=DC又AD€CD，故在等腰△ 中，ZDFB=ZDAF故有ZBAD+ZBCD€180。答案】見解析.【例5】點M,N在等邊三角形ABC的AB邊上運動，BD=DC,ZBDC=120。,ZMDN=60。，求證：MN€MB+NC.【解析】延長NC至E，使得CE€MB■/€BDC是等腰三角形，且ZBDC，120。,二ZDBC，ZDCB，30。■/€ABC是等邊三角形.ZABC，ZACB，ZBAC，60。ZMBD，ZABC?ZDBC，ZACB?ZDCB，ZDCN，ZDCE，90。在€DBM和€DCE中，BD，DC,MB，CE,/.€DBM9€DCE/.DE，DMZ1，Z2又Z1?ZNDC，60。, Z2+ZNDC，ZEND，60。在€MDN與€EDN中，ND，ND,ZMDN，ZEDN，60°,DE，DM€MND9€END/■MN，EN，NC?MB答案】見解析．【例6【例6】如圖在△中，AB…AC,Z1，Z2,為上任意一點，求證：AB-AC…PB-PC.【解析】延長至，使AF，AB，連△竺厶( )故BP，PF由三角形性質(zhì)知PB-PC，PF-PC<CF，AF-AC，AB-AC答案】見解析.【例7】如圖，四邊形中，〃，、 分別平分Z 、Z，且點在上.求證:BC，AB?DC.

【解析】在上截取BF€AB，連接■/ 平分Zb ZABE=ZFBE又:BE=BE, ◎△ ( ),/.ZA€ZBFE.■/ d ZA,ZD=180°■/ZBFE,ZCFE=180。,/■ZD=ZCFE又TZDCE=ZFCE, 平分Z cCE=CE處( ),CD=CF/■BC=BF,CF=AB,CD答案】見解析．【例8】如圖，點M為正方形ABCD的邊AB上任意一點，MN丄DM且與ZABC外角的平分線交于點N，MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解析】猜測DM=MN在AD上截取AG=AM,DG€MB, ZAGM=45。/.ZDGM€ZMBN=135°,/.ZADM=ZNMB,/■…DGM9…MBN,/■DM=MN.答案】見解析．【例9】已知：如圖，ABCD是正方形，ZFAD=ZFAE，求證：BE,DF=AE.【解析】延長CB至M，使得BM€DF,連接AM■/AB€AD,AD丄CD,AB丄BM,BM=DF/.AABM竺AADF/.,AFD€,AMB,,DAF€,BAM■/AB〃CD,AFD€,BAF€,EAF+,BAE=,BAE+,BAM=,AMB€,EAM,AE=EM=BE+BM=BE+DF答案】見解析．【例10】如圖所示，已知正方形 中，為的中點，為上一點，且,BAE€2,DAM.求證:AE€BC+CE.解析】分析證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種：（1通）過添輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，再證所構(gòu)造的線段與求證中那一條線段相等.（2通）過添輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，再證明截剩的部分與線段中的另一段相等.我們用（1法）來證明.【答案】延長AB到F,使BF€CE，則由正方形性質(zhì)知AF=AB+BF=BC+CE下面我們利用全等三角形來證明AE€AF.為此，連接EF交邊BC于G.由于對頂角,BGF€,CGE，所以Rt\BGF竺ACGE?AAS），從而BG€GC€1BC,FG=EG，BG=DM2于是RtAABG竺RtAADM?SAS），所以,BAG€,DAM€,1BAE€,EAG，AG是,EAF的平分線2【例11】五邊形中，AB€AE，BC+DE=CD，ZABC+,AED=180o，求證：平分Z【解析】延長至f使得EF€BC，連接■/ZABC+ZAED€180。,ZAEF+ZAED=180。,/.ZABC=ZAEF■/AB=AE,BC€EF,■'■△ ◎△ .EF€BC,AC€AF■/BC,DE€CD,/■CD€DE,EF=DFDC, ZADC€ZADF即平分Z答案】見解析．【例12】若P為?ABC所在平面上一點，且ZAPS€ZBPC CPA=120。，則點P叫做?ABC的費馬點.()若點P為銳角?ABC的費馬點，且ZABC€60。,PA=3,PC=4,則PB的值為()如圖，在銳角?ABC外側(cè)作等邊?ACB1,連結(jié)BB求證：BB，過?ABC的費馬點P，且BB，€PA,PB,PC.【解析】（）2朽（）證明：在BB，上取點P，使ZBPC€120。,連結(jié)AP,再在PB，上截取PE€PC,連結(jié)CE.■/ZBPC€120。，二ZEPC€60。，二?PCE為正三角形，PC€CE,ZPCE€60。,ZCEB，=120。,■/?ACB，為正三角形，二AC€B，C,ZACB，=60。,ZPCA,ZACE€ZACE,ZECB，=60。,/.ZPCA=ZECB,/.?ACP今?B，CE, ZAPC€ZBCE=120。,PA=EB，,ZAPB€ZAPC€ZBPC€120。,???P為?ABC的費馬點，???BB，過?ABC的費馬點P,且BB，€EB，,PB,PE€PA,PB,PC.答案】見解析.課后復習【作業(yè)1】已知， 平分課后復習【作業(yè)1】已知， 平分zAAC€AB+BD，求證：,B=2,C.【解析】延長至點,使AE€AC，連接■/平分Z a ,EAD二,CAD■/AE€AC,AD€AD,()s二，E€,C■/AC€AB+BD,/■AE=AB+BD■/AE€AB+BE,BD=BE,/.,BDE=,E■/,ABC€,E+ZBDE,,ABC€2,E, ZABC=2,C.答案】見解析．【作業(yè)2】如圖，△中，AB€2AC,,且AD€BD，求證：丄的中點，由三線合一知【解析】在上取中點，連接.則厶 是等腰三角形，是底的中點，由三線合一知丄,故ZAFD€90?！魈? ),ACD€,AFD€90。，即： 丄【答案】見解析.

【作業(yè)3】如圖所示，€ABC是邊長為1的正三角形，€BDC是頂角為120。的等腰三角形，以D為頂點作一個60。的,MDN，點M、N分別在AB、AC上,求€AMN的周長.【解析】如圖所示，延長AC到E使CE=BM在€BDM與€CDE中，因為BD=CD，,MBD=,ECD=90。，BM=CE,所以€BDM9€CDE，故MD=ED因為,BDC=120。，,MDN=60，所以,BDM?,NDC=60。又因為,BDM=,CDE，所以,MDN=,EDN=60。在€MND與€END中，DN=DN，,MDN=,EDN=60。，DM=DE，所以€MND9€END，則NE=MN，所以€AMN的周長為2答案】見解析．【作