質(zhì)心運動定理動量定理

第十章《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理質(zhì)點運動微分方程：求解單個質(zhì)點動力學(xué)問題、簡單質(zhì)點系動力學(xué)問題動力學(xué)普遍定理：動量定理、動量矩定理、動能定理等在許多實際問題中，并不需要求出質(zhì)點系中每個質(zhì)點的運動，而只有知道整個質(zhì)點系運動的某些特征就夠了。因此，本章將建立描述描述整個質(zhì)點系運動特征的一些物理量（如動量、動量矩、動能等），并建立作用在質(zhì)點系上的力與這些物理量的變化率之間的關(guān)系，這些關(guān)系統(tǒng)稱為動力學(xué)普遍定理《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理

質(zhì)點系在力的作用下，其運動狀態(tài)不但與各質(zhì)點的質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布情況有關(guān)?！?質(zhì)心運動定理質(zhì)量中心是反映質(zhì)點系質(zhì)量分布特征的物理量之一?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理（一）質(zhì)量中心（質(zhì)心或慣性中心）問題：系統(tǒng)由幾個剛體構(gòu)成，每個剛體質(zhì)心位置已知，1.系統(tǒng)質(zhì)心如何確定？2.質(zhì)心的速度如何確定？3.質(zhì)心的加速度如何確定？《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理在重力場內(nèi)，質(zhì)心與重心重合質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心是永遠(yuǎn)存在，而重心只有在重力場中才存在《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理（二）質(zhì)心運動定理對每個質(zhì)點求和系統(tǒng)外部對i質(zhì)點的合力系統(tǒng)內(nèi)部其它所有質(zhì)點對i質(zhì)點的合力《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理－－質(zhì)心運動定理

質(zhì)點系的質(zhì)心就像一個質(zhì)點那樣運動，這個質(zhì)點的質(zhì)量等于質(zhì)點系的質(zhì)量，而且在這個質(zhì)點上作用著質(zhì)點系的所有外力。對于剛體系統(tǒng)：《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理結(jié)論：2.無論剛體（系）、質(zhì)點系做何形式的運動，此定理成立。1.質(zhì)心“像一個質(zhì)點一樣遵循牛頓第二定理”。－－質(zhì)心運動定理3.質(zhì)心的運動僅與質(zhì)系的外力有關(guān)，與內(nèi)力無關(guān)?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理根據(jù)質(zhì)心運動定理，某些質(zhì)點系動力學(xué)問題可以直接用質(zhì)點動力學(xué)理論來解答。如剛體平移。剛體平移問題完全可以看作為質(zhì)點問題來求解。質(zhì)點系的復(fù)雜運動總可以看作隨同質(zhì)心的運動與相對于質(zhì)心的運動（相對于隨同質(zhì)心平移的坐標(biāo)系的運動）兩部分合成的結(jié)果。應(yīng)用質(zhì)心運動定理求出質(zhì)心的運動，也就確定了質(zhì)點系隨同質(zhì)心的平移?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理直角坐標(biāo)表示法：自然表示法：質(zhì)心運動定理的表示方法《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理直角坐標(biāo)表示法：自然表示法：質(zhì)心運動定理的表示方法(剛體)《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理特殊情形：

1、若則

這表明若作用于質(zhì)系的所有外力矢量和恒為零，則質(zhì)心作慣性運動。

這表明若作用于質(zhì)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和恒為零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變。這兩個結(jié)論稱為質(zhì)心運動守恒定理。2、若則外力為零速度為常數(shù)《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理問題1：兩個相同均質(zhì)圓盤，初始時刻皆靜止于光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用位置不同（如圖示），哪個圓盤跑得更快？問題2：AB、AC為兩相同的均質(zhì)桿，每根質(zhì)量為m。系統(tǒng)初始時刻靜止于光滑的水平桌面，受大小為F的力作用如圖示。問A點的加速度等于？ABC《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理例1：圖示機構(gòu)，地面光滑，初始時刻系統(tǒng)靜止。問m1下降h時，m4水平移動多少？解：1.建立坐標(biāo)系m1m2m3m4θoxy記四個物塊的質(zhì)心初始時刻坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、x4。2.質(zhì)心運動定理而初始時刻系統(tǒng)靜止∵所有的外力都豎直向下，所以《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理m1m2m3m4θoxy初始時刻質(zhì)心坐標(biāo)：m1下降h時，假設(shè)m4向左水平移動S:解：例1：圖示機構(gòu)，地面光滑，初始時刻系統(tǒng)靜止。問m1下降h時，m4水平移動多少？記四個物塊的質(zhì)心初始時刻坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、x4?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理Fy例2:電動機重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機軸上，并與機軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機的最大總水平力及鉛直力。解：1.取坐標(biāo)系Oxy2.任意時刻質(zhì)心坐標(biāo)FxW1W3W2《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理例2:電動機重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機軸上，并與機軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機的最大總水平力及鉛直力。解：3.質(zhì)心加速度FyFxW1W3W2《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理4.質(zhì)心運動定理例2:電動機重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機軸上，并與機軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機的最大總水平力及鉛直力。FyFxW1W3W2《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理Fy解：靜反力附加動反力例2:電動機重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機軸上，并與機軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機的最大總水平力及鉛直力。FxFyW1W2W3動力學(xué)中約束力靜約束力動約束力《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理蛙式打夯機振動塊《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理解：另外一種解法aC2aC3同理，求得FyFxW1W3W2a3a2《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理解：AO600例3:

質(zhì)量m，半徑r的均質(zhì)圓輪在一個力偶作用下，沿水平面純滾動。已知某時刻輪上最前點A的加速度為aA，方向如圖。試求：（1）質(zhì)心的加速度；（2）圓輪所受摩擦力的大小。1運動分析(輪作平面運動)2、質(zhì)心加速度以O(shè)為基點其中解得xy投影方程x軸y軸求加速度必須用基點法《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理2.受力分析C3.質(zhì)心運動定理解：例3:

質(zhì)量m，半徑r的均質(zhì)圓輪在一個力偶作用下，沿水平面純滾動。已知某時刻輪上最前點A的加速度為aA，方向如圖。試求：（1）質(zhì)心的加速度；（2）圓輪所受摩擦力的大小?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理A450BECD練習(xí)1：

質(zhì)量50kg，長度2m的均質(zhì)桿A端擱在光滑水平面上，另一端B與水平桿BD鉸接并用鉛直繩BE懸掛。已知系統(tǒng)靜止于圖示位置，在繩突然剪斷瞬間，B點的加速度為7.35m/s2，方向鉛垂向下。試求此瞬時水平面對AB桿的反力。BD桿質(zhì)量不計。A450BECD解：1.受力分析；FNmgFBD2.運動分析；aAaBaBaτABaBatCB以B為基點，分析A點加速度：y再以B為基點，分析C點加速度：《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理A450BECDA450BECD解：FNmgFBDaCyy3.質(zhì)心運動定理；得：練習(xí)1：

質(zhì)量50kg，長度2m的均質(zhì)桿A端擱在光滑水平面上，另一端B與水平桿BD鉸接并用鉛直繩BE懸掛。已知系統(tǒng)靜止于圖示位置，在繩突然剪斷瞬間，B點的加速度為7.35m/s2，方向鉛垂向下。試求此瞬時水平面對AB桿的反力。BD桿質(zhì)量不計?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理§2質(zhì)點系動量、沖量1.質(zhì)點的動量2.質(zhì)點系動量質(zhì)系在某瞬時的動量等于該瞬時質(zhì)系所有質(zhì)點動量的矢量和。也等于質(zhì)系質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。量綱：ML/T單位：kg·m/s

或N·s《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理§2質(zhì)點系動量、沖量質(zhì)點系動量

對于剛體系統(tǒng)，若各剛體質(zhì)心的速度已知，則整個剛體系統(tǒng)的動量為：《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理例4：均質(zhì)丁字桿重W，AB＝OD＝2a，已知，求桿在圖示瞬時的動量。CvCOC=a/2解：解法一解法二方向沿vC先確定剛體的質(zhì)心位置：則：由于AB部分質(zhì)心在O點，因此動量為零，則：方向沿vC《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理練習(xí)2：已知物體A的速度，求圖示剛體系統(tǒng)的動量。設(shè)繩與輪間無滑動。CθmAmemBxy解：R《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理§2質(zhì)點系動量、沖量1.常力的沖量：沖量是力在一段時間內(nèi)作用的累積的度量。物理學(xué)中稱之為過程量。量綱及單位與動量相同。Kg.m/s

或N.s《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理§2質(zhì)點系動量、沖量元沖量沖量2.變力的沖量：將上式向固定坐標(biāo)軸上投影：《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理元沖量沖量2.變力的沖量：

在任一段時間內(nèi)，合力的沖量等于所有分力的沖量的矢量和。若作用于質(zhì)點的力是若干個分力的合力，有：§2質(zhì)點系動量、沖量《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理例5：已知力F1＝5kN，F(xiàn)2＝2sin(t)kN，求二力在4s內(nèi)的合沖量。xy解：《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理§3動量（沖量）定理質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)點系的動量定理：質(zhì)點系的的動量對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和微分式積分式《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理動量定理在直角坐標(biāo)系的投影其中質(zhì)點系動量定理的積分形式（質(zhì)點系的沖量定理）《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理積分形式的質(zhì)點系動量定理，也稱為質(zhì)點系的沖量定理：質(zhì)點系動量在某個時間間隔內(nèi)的改變量等于質(zhì)點系所受外力的沖量。微分形式的質(zhì)點系動量定理：質(zhì)點系的動量對時間的變化率等于質(zhì)點系所受外力的矢量和。若作用于質(zhì)系上外力的矢量和恒為零，則質(zhì)系動量守恒?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理θCA例6：三棱柱質(zhì)量m2，置于光滑地面上；質(zhì)量m1、半徑r的圓柱在其上純滾動，系統(tǒng)初始時刻靜止。試求圓心C相對于三棱柱速度為vr時，三棱柱的速度。m1gm2gFNvAvrvA解：由受力分析可知系統(tǒng)水平方向的動量守恒，即px=const。由初始條件可知，px=0。x以C為動點，三棱柱為動系，可知：質(zhì)心的速度為絕對速度《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理解：動量定理求解FyFxW1W3W2《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理例8：水流流過彎管時，在AB、CD面處平均流速分別為、（大小以m/s計），已知體積流量qv(m3/s),水密度為（kg/m3）,若水流是恒定的即水流流過管內(nèi)每一點的速度不隨時間改變，因而流量是常量。求水流對彎管的動壓力。F1F2PF解：

對于水之類的流體，分析時總是假想取出其中的一部分作為質(zhì)點系來考察?，F(xiàn)在知道水流在AB、CD兩斷面處的速度，所以取AB、CD兩斷面之間的流體ABCD作為考察的質(zhì)點系。因為是根據(jù)速度的變化來求動壓力，所以用動量定理來求解。設(shè)經(jīng)過Δt后，流體由ABCD位置運動到abcd位置.l流體在兩個位置的速度不同，動量也相應(yīng)改變，根據(jù)動量的改變可以求出管壁作用于流體的力，就是流體作用于管壁的力?！独碚摿W(xué)》第十章質(zhì)心運動定理計算質(zhì)點系動量的改變F1F2FW因水流是恒定的，流量是常量，故在時間Δt內(nèi)流經(jīng)AB、CD兩斷面的體積都是qVΔt，質(zhì)量都是ρqVΔt，由于時間隔很小可認(rèn)vAB=vab=v1,vCD=vcd=v2。因此流體ABCD所受的外力重力P、管壁的約束力F、其他部分流體的作用力F1、F2為使流體改變方向管壁必須作用于流體的力應(yīng)為《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理動量定理建立了動量改變量與外力沖量間的關(guān)系，因此，一些求速度、外力和時間這些量之間關(guān)系的動力學(xué)問題，可用動量定理解決。應(yīng)用是一般列出動量定理或其守恒定律的投影式。只能求出約束力的主矢量，求不出作用點。質(zhì)心運動定理在形式上與動力學(xué)基本方程相同，因此在已知質(zhì)心運動時來求外力或已知外力求質(zhì)心的運動規(guī)律這些問題中，可考慮用質(zhì)心運動定理或其守恒定理《理論力學(xué)》第十章質(zhì)心運動定理應(yīng)用質(zhì)心運動定理解題步驟一般如下