第一節(jié)n

維向量及其線性運算一、n

維向量的基本概念1.定義n

個有次序的數(shù)a1

,a2

,,an

所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量第i個數(shù)ai

稱為第i個分量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.例如(1,2,3,,

n)(1

+

2i,2

+

3i,,

n

+

(n

+

1)i)n維實向量n維復(fù)向量第1個分量第n個分量第2個分量機身的仰角機翼的轉(zhuǎn)角機身的水平轉(zhuǎn)角j

(-p

￡

j

￡

p

)y

(-2

<

y

￡

2

)p

pq

(0

￡

q

<

2p

)飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量a

=

(

x,

y,

z,j

,y

,q

)n

維向量的實際意義確定飛機的狀態(tài)，需要以下6個參數(shù)：=

(a1

,a2

,,an

)

n

aa

=

a2

a1

n

維向量寫成一行，稱為行向量，通常用aT

,bT

,a

T

,

bT等表示，如：n

維向量寫成一列，稱為列向量，通常用a,b,a

,

b等表示，如：aT2. n維向量的表示方法3.向量的相等a

=

(a1,

a2

,

an

)

b

=

(b1

,

b2

,

bn

)a

=

b當(dāng)且僅當(dāng)ai

=bi

,i

=1,2,,n

（要求維數(shù)相等）4.零向量分量都是零的向量0=（0，0，…，0）注意維數(shù)，不能說零向量都相等。=

(

a

1

,

a

2

,

a

n

),稱-a

=(-a1,-a2

,-an

)為a

的負向量，5.負向量如果a顯然-（-a）=a

，所以負向量是相互關(guān)系。二、向量的線性運算1.

加法若a

=（

a

1

,a

2

,

a

n

),b

=(b1

,b

2

,

bn

)稱g

=(a1

+b1,a2

+b2

,,an

+bn

)為a與b的和記為g

=a

+b2.減法減法用加法定義，如果a

=（

a

1

,

a

2

,

a

n

),

b

=

(

b1

,

b

2

,

bn

)定義g

=a

-b

=a

+（-b），稱為a與b的差，當(dāng)然a

-b

=（a1

-b1,a2

-b2

,,an

-bn

)3.數(shù)乘設(shè)a

=(a1,a2,an

),定義la

=（la1,la2,lan

)為l與a的數(shù)乘，其中l(wèi)是一個數(shù)。注：1. 加法與數(shù)乘運算稱為線性運算2. 線性運算滿足8條①

a

+

b

=

b

+

a②

(a

+

b

)

+

g

=

a

+

(b

+

g)③

a

+

0

=

a④

a

+(-a)

=0⑤

1a

=

a⑥

l(ma

)

=

(lm)a

=

m(la

)⑦

l(a

+

b

)

=

la

+

lb⑧

(l

+

m)a

=

la

+

ma3.

還有一些常用的結(jié)論①

(-1)a

=

-a②若la

=0，則一定有l(wèi)

=0或a

=0③

a

-

0

=

a

,0

-

a

=

-a

,a

-

b

=

-(b

-

a

)a

=b當(dāng)且僅且a

-b

=0，a

-a

=04.線性組合與線性表示若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．給定向量組A

:a1

,a

2

,,am，對于任何一組實數(shù)k1，k2，,km，向量k1a1

+

k2a

2

+

+

kmam稱為向量組A的一個線性組合。k1，k2，,km

稱為這個線性組合的系數(shù)。b

=

l1a1

+

l2a

2

+lmam給定向量組A

:a1,a

2

,,am和向量b，如果存在一組數(shù)l1，l2，,lm，使則向量b

是向量組A的一個線性組合，這時也稱向量b

能由向量組A

線性表示．即線性方程組x1a1

+

x2a

2

+

+

xmam

=

b有解.A

:

a

1

,a

2

,,am及B

:

b1

,

b2

,,

bs

.5.

向量組的等價設(shè)有兩個向量組若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A

線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價．向量組之間的等價關(guān)系具有下述性質(zhì)：A與A等價；若A與B等價，則B與A等價；反身性對稱性傳遞性若A與B等價，B與C等價，則A與C等價。這里A，B，C為三個向量組。例1

證明a1

=

(1，2)，a

2

=

(2，3)與e1

=

(1，0)

e2

=

(0，1)等價。證明顯然a1

=

e1

+

2e2a

2

=

2e1

+

3e2所以a1，a

2

可由e1，e2線性表示。由上式容易解得e1

=

-3a1

+

2a

2e2

=

2a1

-a

2所以e1，e2

也可由a1，a

2線性表示。因此它們等價。例2

已知a1

=

(1，1，1)，a

2

=

(1，0，-1)，b

=

(-1，-

3，-

5)將b用a1，a2線性表示。解即設(shè)b

=x1a1

+x2a

2所以

1

21

x

-

x

=

-5x

=

-3(-1，-

3，-

5)

=