作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)曲面的面積一般是用定積分來計算。本課件用對弧長的曲線積分來建立求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的公式。將曲線積分化為定積分可以得到計算旋轉(zhuǎn)曲面面積的定積分公式。1作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)曲面的面積一般是用先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸2先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸2設(shè)L是上半平面內(nèi)的一條平面曲線。

將L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面，求該旋轉(zhuǎn)曲面的面積Ax。我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)曲面面積的曲線積分公式。L3設(shè)L是上半平面內(nèi)的一條平面曲線。

將L在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到x軸的距離是y（如圖）。該弧微分繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積約為：（面積元素）于是整個曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：4L在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到x軸的距離是y（命題1：上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：L5命題1：上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為命題2：右半平面內(nèi)一條曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：同理L6命題2：右半平面內(nèi)一條曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為下面針對不同的曲線方程

將曲線積分化為定積分

得到熟悉的旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式7下面針對不同的曲線方程

將曲線積分化為定積分

得到熟悉的旋轉(zhuǎn)直角坐標方程8直角坐標方程8y=f(x)如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：9y=f(x)如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：9y=f(x)如果L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：10y=f(x)如果L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：10參數(shù)方程11參數(shù)方程11如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：12如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：12如果則L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：13如果則L繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：13極坐標方程14極坐標方程14如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：15如果L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：15我們來推導(dǎo)一個有關(guān)曲線L的形心(質(zhì)心)和

旋轉(zhuǎn)曲面面積之間的關(guān)系的定理：古爾丁定理PaulGuldin（古爾丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

16我們來推導(dǎo)一個有關(guān)曲線L的形心(質(zhì)心)和

旋轉(zhuǎn)曲面面積之間的L上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積等于該曲線的形心所經(jīng)過的路程與L的弧長s的乘積。古爾丁定理形心17L上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積等于該曲如果你很容易求得曲線L的弧長和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)曲面的面積。L形心18如果你很容易求得曲線L的弧長和形心，用古爾丁定理就很容求得旋下面來看一般的情形一般的曲線&一般的旋轉(zhuǎn)軸19下面來看一般的情形一般的曲線19設(shè)L是xOy坐標平面內(nèi)的一條曲線。L在直線l的一側(cè)（如圖）。

將L繞直線

l旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面，求該旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。

我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)曲面面積的曲線積分公式。Ll20設(shè)L是xOy坐標平面內(nèi)的一條曲線。L在直線lL在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到直線l的距離是：該弧微分繞l旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積約為：于是整個曲線L繞直線

l旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：設(shè)直線l的方程為ax+by+c=0。l21L在曲線L的(x,y)處取一弧微分它到直線l的距離是：命題3曲線L繞直線

ax+by+c=0旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：Ll22命題3曲線L繞直線ax+by+c=0旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面下面舉幾個例子來說明

命題中的公式的應(yīng)用由于其中積分較難計算用數(shù)學(xué)軟件Maple完成23下面舉幾個例子來說明

命題中的公式的應(yīng)用由于其中積分較難23例1求曲線y=x2(0<x<2)繞直線y=2x旋轉(zhuǎn)的

旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);24例1求曲線y=x2(0<x<2)繞直線y=2x旋轉(zhuǎn)的

例2求y=x2(0<x<1)繞直線y=x-1旋轉(zhuǎn)的

旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y