序列x(n)的Z變換定義為：

注意：式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。在定義中，對(duì)n求和是在±∞之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義，如下式

2.5序列的Z變換

在模擬信號(hào)和系統(tǒng)中，用FT進(jìn)行頻域分析，用拉普拉斯變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行復(fù)頻域分析。

在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，用序列的FT進(jìn)行頻域分析，用Z變換進(jìn)行復(fù)頻域分析。2.5.1Z變換的定義2023/8/3序列x(n)的Z變換定義為：2.5序列的Z變換1

Z變換存在的條件：等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即：

使上式成立的Z變量取值的域稱為收斂域。收斂域一般為環(huán)狀域

令：Z=rejw

，代入上式可得到：Rx-<r<Rx+2.5序列的Z變換收斂域分別是以為Rx-和Rx+為半徑的兩個(gè)圓形成的環(huán)狀域2023/8/3Z變換存在的條件：等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和2

常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，可用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示

收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。

對(duì)比序列的FT和ZT的定義式，可得到FT和ZT之間的關(guān)系：

單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。根據(jù)已知序列的Z變換求序列的FT的條件是：收斂域中包含單位圓。

z=ejω：表示在z平面上r=1的圓，稱為單位圓2.5序列的Z變換Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)2023/8/3常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，可用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示32.5.2Z變換的收斂域1.有限長序列

這類序列只在有限的區(qū)間（n1≤n≤n2）具有非零的有限值，其z變換為

因?yàn)閄(z)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)之和，故只需級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)有界，則級(jí)數(shù)就收斂，即要求|x(n)z-n|<∞。由于x(n)有界，故要求|z-n|<∞。2023/8/32.5.2Z變換的收斂域1.有限長序列這類序列只在4顯然，在0<|z|<∞上都滿足此條件。在n1、n2滿足特殊條件下，收斂域還可進(jìn)一步擴(kuò)大1.有限長序列2.5.2

Z變換的收斂域2023/8/3顯然，在0<|z|<∞上都滿足此條件。在n1、n2滿足特殊條52．右邊序列在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，而在n<n1，序列值全為零。第一項(xiàng)為有限長序列，其收斂域?yàn)?≤|z|＜∞。第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞。右邊序列Z變換的收斂域?yàn)槿绻蛄惺且蚬蛄?，其收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞2023/8/32．右邊序列在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，而在n<n1，序列63．左邊序列左序列是在n≤n2時(shí)，序列值不全為零，而在

n>n2，序列值全為零的序列。第一項(xiàng)為反因果序列，其收斂域?yàn)?≤|z|＜Rx+。第二項(xiàng)為有限長序列，n2>0時(shí)，其收斂域?yàn)?<|z|≤∞；n2≤0時(shí),0≤|z|<∞。2023/8/33．左邊序列左序列是在n≤n2時(shí)，序列值不全為零，而在n>74．雙邊序列

雙邊序列是從n=-∞延伸到n=+∞的序列。其z變換為：顯然，可以把它看成右邊序列和左邊序列的z變換疊加。如果Rx-<Rx+，則存在一個(gè)如下的公共收斂區(qū)域

Rx-<|z|<Rx+所以，雙邊序列的收斂域通常是環(huán)狀區(qū)域。

2023/8/34．雙邊序列顯然，可以把它看成右邊序列和左邊序列的z變換疊加81.有限長雙邊序列的雙邊Z變換的收斂域一般為

0<|z|<∞；單位序列δ(n)的雙邊Z變換的收斂域?yàn)槿玓復(fù)平面。2.無限長右邊序列的雙邊Z變換的收斂域?yàn)?/p>

Rx-<|z|<∞，即收斂域?yàn)榘霃綖镽x-的圓外區(qū)域。

因果序列，收斂域?yàn)?/p>

Rx-<|z|≤∞。

3.無限長左邊序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)閨z|＜Rx+，

即收斂域?yàn)橐詾镽x+半徑的圓內(nèi)區(qū)域。

總結(jié)2023/8/31.有限長雙邊序列的雙邊Z變換的收斂域一般為總結(jié)294.無限長雙邊序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)镽x-<|z|<Rx+，即收斂域位于以Rx-為半徑和以Rx+為半徑的兩個(gè)圓

之間的環(huán)狀區(qū)域。5.在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點(diǎn)。6.不同序列的雙邊Z變換可能相同，即序列與其雙邊

Z變換不是一一對(duì)應(yīng)的。序列的雙邊Z變換連同收

斂域一起與序列才是一一對(duì)應(yīng)的。

總結(jié)2023/8/34.無限長雙邊序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)镽x-<|z|<Rx+102.5.3逆Z變換

已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過來求序列的變換稱為z反變換，正、反變換表示為：

c是X(z)收斂域中一個(gè)逆時(shí)針方向環(huán)繞原點(diǎn)的圍線。求z反變換的方法通常有三種：

留數(shù)法、冪級(jí)數(shù)法和部分分式展開法。2023/8/32.5.3逆Z變換已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過來110c圖2.5.3

圍線積分路徑2023/8/30c圖2.5.3圍線積分路徑2023/7/29121.用留數(shù)定理求逆Z變換

如果X(z)zn-1在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，根據(jù)留數(shù)定理

式中表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換則是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。

如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理2023/8/31.用留數(shù)定理求逆Z變換式中13

表明，對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N-1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒有多階極點(diǎn)，可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問題簡單化。

設(shè)被積函數(shù)用F(z)表示，即如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理1.用留數(shù)定理求逆Z變換

2023/8/3表明，對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N-1次導(dǎo)數(shù)，這是比較如果14

F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上極點(diǎn)分成兩部分：一部分是c內(nèi)極點(diǎn),設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，N=N1+N2，用z2k表示。根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立：

成立的條件是F(z)的分母階次比分子階次必須高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)與Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。即N-M-n+1≥2，因此要求

N-M-n≥1

注意：如果滿足,c圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn)，而c圓外極點(diǎn)沒有多階的，可以改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。

2023/8/3F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c15

已知

，求出x(n)

X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)：z1=0.5,

z2=2，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界，因此收斂域有三種情況：|z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。

（1）收斂域|z|<0.5；（2）收斂域0.5<|z|<2；（3）收斂域|z|<2:

令2023/8/3已知，求16

n≥0時(shí)，因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0;

n≤－1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0，但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)有z1=0.5,z2=2，那么

(1)收斂域|z|<0.5；2023/8/3n≥0時(shí)，因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0;(1)收17

(2)收斂域0.5<|z|<2；n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，

n<0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、0，但0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有一個(gè)，即2，

x(n)=－Res［F(z),2］=－2·2nu(－n－1)最后得到2023/8/3(2)收斂域0.5<|z|<2；n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.18（3）收斂域|z|<2；

n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2，

n<0時(shí)，由收斂域判斷，這是一個(gè)因果序列，因此x(n)=0；或者這樣分析，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2、0，但0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)，所以x(n)=0。

最后得到2023/8/3（3）收斂域|z|<2；n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、192.冪級(jí)數(shù)展開法(長除法)|z|<Rx+|z|>Rx-

Rx-<|z|<Rx+2023/8/32.冪級(jí)數(shù)展開法(長除法)|z|<Rx+|z|>R20(2)反因果序列，收斂域?yàn)?3)雙邊序列，收斂域?yàn)?1)因果序列，收斂域?yàn)?X(z)為z-1的冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)為x(n)的值。2023/8/3(2)反因果序列，收斂域?yàn)?3)雙邊序列，收斂域?yàn)?1)因果21

已知

,用長除法求其逆Z變換x(n)。

因果序列1+3z-1+7z-32023/8/3已知,用長除22

已知

，用長除法求其逆Z變換x(n)。左邊序列2023/8/3已知，用23

已知求F(z)的原函數(shù)f(k)。

因果序列反因果序列2023/8/3已知求243．部分分式展開法若X(z)為有理分式，則X(z)可表示為：

式中，ai(i=0，1,2,…,n)、bj(j=0，1,2,…,m)為實(shí)數(shù)，將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過查表求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成下式

2023/8/33．部分分式展開法若X(z)為有理分式，則X(z)可表示為：25一般先把 展開為部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式 表示的X(z)，再根據(jù)常用Z變換對(duì)（P54）,求Z逆變換。設(shè) 的極點(diǎn)為一階極點(diǎn)。3．部分分式展開法2023/8/3一般先把 展開為部分分式，然后再乘以z，得到用基本設(shè) 26兩端乘以z，得α<|z|<β

根據(jù)X(z)的收斂域和以下變換對(duì)

|z|>|zi||z|<|zi|3．部分分式展開法2023/8/3兩端乘以z，得α<|z|<β根據(jù)X(z)的收斂域和以下變27常見序列Z變換對(duì)

2023/8/3常見序列Z變換對(duì)2023/7/29282023/8/32023/7/2929

已知

求X(z)的原函數(shù)x(n)。

|z|>2

2023/8/3已知求X30

用部分分式法求

的反變換。2023/8/3用部分分式法求的反變換。31)(]2165)21(61[)(nunxnn÷???è?-+=2116521161)(11zzzX++-=--2023/8/3)(]2165)21(61[)(nunxnn÷???è?-+322.5.4

Z變換的性質(zhì)和定理1、線性若則定義域：一般情況下，取二者的重疊部分

某些線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。2023/8/32.5.4Z變換的性質(zhì)和定理1、線性若則定義域：一般情況332、移位特性式中，m為正整數(shù)2023/8/32、移位特性式中，m為正整數(shù)2023/7/2934零極點(diǎn)相消，收斂域擴(kuò)大為整個(gè)z平面。2023/8/3零極點(diǎn)相消，收斂域擴(kuò)大為整個(gè)z平面。2023/7/29353、尺度變換特性若ZT[x(n)]=X(z)，Rx-<|z|<Rx+則：ZT[anx(n)]=X(a-1z)，|a|Rx-<|z|<|a|Rx+4、X(z)的微分性質(zhì)若：ZT[x(n)]=X(z)，Rx-<|z|<Rx+

則：

上式表明：序列x(n)的Z變換的導(dǎo)數(shù)乘以-z等于x(n)經(jīng)線性加權(quán)后的z變換，收斂域不變。若a=-1,則有2023/8/33、尺度變換特性4、X(z)的微分性質(zhì)若a=-1,則有20236

已知x(n)=anu(n),0<a<1。分別求：(1)x(n)的Z變換；

(2)nx(n)的Z變換；(3)a－nu(－n)的Z變換。(1)(2)(3)2023/8/3已知x(n)=anu(n),0<a<1。分別求：(1375、共軛序列6、反轉(zhuǎn)序列若：則有：2023/8/35、共軛序列6、反轉(zhuǎn)序列若：則有：2023/7/29387、初值定理

對(duì)于x(n)=0，n<0的因果序列，有：因此

證明：

8、終值定理設(shè)x(n)為因果序列，且X(z)除在z=1處可以有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)都在|z|=1的單位圓內(nèi)，則有終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)表示2023/8/37、初值定理因此證明：8、終值定理終值定理也可用X(z)399、序列卷積若ZT[x1(n)]=X1(z)，ZT[x2(n)]=X2(z)，x(n)=x1(n)*x2(n)則ZT[x1(n)*x2(n)]=X1(z)X2(z)其收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的重疊部分。10、復(fù)卷積定理若：ZT[x(n)]=X(z)，Rx-<|z|<Rx+ZT[y(n)]=Y(z)，Ry-<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則：

W(z)的收斂域

2023/8/39、序列卷積若ZT[x1(n)]=X1(z)，ZT[x2(n40在z=a處，零極點(diǎn)相消，如果|b|<|a|，收斂域擴(kuò)大。2023/8/3在z=a處，零極點(diǎn)相消，如果|b|<|a|，收斂域擴(kuò)大。24111、帕斯維爾(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以證明重要的帕斯維爾定理。那么：v平面上，c所在的收斂域?yàn)椋?023/8/311、帕斯維爾(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以證明42如果x(n)和y(n)都滿足絕對(duì)可和，即單位圓上收斂，

在上式中令v=ejω，得到：令x(n)=y(n)，得到：和在傅里葉變換中所講的帕斯維爾定理(2.2.35)式是相同的。表明時(shí)域中求