第1章矢量分析1.1三種常用的坐標(biāo)系1.2矢量函數(shù)的微積分1.3標(biāo)量函數(shù)的梯度1.4矢量函數(shù)的散度1.5矢量函數(shù)的旋度1.6場(chǎng)函數(shù)的微分算子和恒等式1.7亥姆霍茲定理

1.1三種常用的坐標(biāo)系

1.1.1坐標(biāo)系的構(gòu)成

1.直角坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是x、y、z,如圖1-1-1所示,它們的變化范圍是圖1-1-1直角坐標(biāo)系

空間任一點(diǎn)M(x,y,z)的x坐標(biāo)變量是點(diǎn)M到平面yOz的垂直距離,y坐標(biāo)變量是點(diǎn)M到平面xOz的垂直距離,z坐標(biāo)變量是點(diǎn)M到平面xOy的垂直距離。

過空間任意點(diǎn)的坐標(biāo)矢量記為ex、ey、ez,它們相互正交,而且遵循ex×ey=ez的右手螺旋法則。ex、ey、ez,的方向不隨M點(diǎn)位置的變化而變化,這是直角坐標(biāo)系的一個(gè)很重要的特征。在直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一矢量A可表示為

其中,Ax、Ay、Az分別是矢量A在ex、ey、ez

方向上的投影。

由點(diǎn)M(x,y,z)沿ex、ey、ez方向分別取微分長度元dx、dy、dz。由x,x+dx;y,y+dy;z,z+dz這六個(gè)面決定一個(gè)直角六面體,它的各個(gè)面的面積元是

體積元是:dτ=dxdydz。

2.圓柱坐標(biāo)系

圓柱坐標(biāo)系(簡稱柱坐標(biāo)系)中的三個(gè)坐標(biāo)變量是ρ、φ、z,如圖1-1-2所示。z變量與直角坐標(biāo)系的相同,是點(diǎn)M到xOy平面的垂直距離;ρ是點(diǎn)M到z軸的垂直距離;將點(diǎn)M在xOy平面投影為M',φ是OM'與x軸的夾角。各變量的變化范圍是圖1-1-2柱坐標(biāo)系

過空間任意點(diǎn)M(ρ,φ,z)的坐標(biāo)單位矢量為eρ、eφ、ez,如圖1-1-2所示,它們相互正交,并遵循eρ×eφ=ez

的右手螺旋法則。值得注意的是,除ez外,eρ、eφ

的方向都隨M點(diǎn)位置的變化而變化,但三者之間總是保持上述正交關(guān)系。在M點(diǎn)的任一矢量A可表示為

其中,Aρ、Aφ、Az分別是矢量A在eρ、eφ、ez

方向上的投影。

在點(diǎn)M

(ρ,φ,z)處沿eρ、eφ、ez

方向的長度元分別是

與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的面積元分別是

體積元是:

3.球坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是r、θ、φ,如圖1-1-3所示,r是點(diǎn)M到原點(diǎn)的直線距離,θ是正方向z軸與連線OM之間的夾角,θ稱為極角,φ與柱坐標(biāo)系的相同,φ稱為方位角。它們的變化范圍是圖1-1-3球坐標(biāo)系

1.1.2三種坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的關(guān)系

由圖1-1-4所示的幾何關(guān)系,可直接寫出三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系。圖1-1-4三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系

1.直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系

2.直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系

3.柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系

1.1.3三種坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系都有一個(gè)z變量,有一個(gè)共同的坐標(biāo)單位矢量ez,其他坐標(biāo)矢量都落在xOy平面內(nèi)。因此,這兩種坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量及其關(guān)系可以用圖1-1-5表示出來,這種變換關(guān)系寫成矩陣形式為圖1-1-5直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都有一個(gè)φ變量,有一個(gè)共同的坐標(biāo)單位矢量eφ,而其他坐標(biāo)矢量都落在過z軸的平面內(nèi)。因此,這兩種坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量及其關(guān)系可以用圖1-1-6表示出來,將這種變換關(guān)系寫成矩陣形式為圖1-1-6柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)系和球標(biāo)系的坐標(biāo)單位矢量間關(guān)系要用三維空間圖形才能表示出來,其圖解要復(fù)雜一些。但利用前面得到的坐標(biāo)單位矢量之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系,將式(1-1-17)代入式(1-1-19),將式(1-1-20)代入式(1-1-18)可以得到

例1-1-3試判斷下列矢量場(chǎng)E是否為均勻矢量場(chǎng):

(1)在柱坐標(biāo)系中E=eρE1sinφ+eφE1cosφ+ezE2,其中E1、E2都是常數(shù)。

(2)在球坐標(biāo)系中E=erE0,其中E0是常數(shù)。

解均勻矢量場(chǎng)E的定義是:在場(chǎng)中所有點(diǎn)上,E的模處處相等,E的方向彼此平行。只要這兩個(gè)條件中有一個(gè)不符合就稱為非均勻矢量場(chǎng)。

因?yàn)橹挥性谥苯亲鴺?biāo)系中各點(diǎn)的坐標(biāo)單位矢量方向是固定的,而在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的各單位坐標(biāo)矢量的方向隨空間點(diǎn)位置的變化而變化,所以為了判斷場(chǎng)是否均勻,最好將柱、球坐標(biāo)系的矢量轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系的矢量。

(2)E=erE0,雖然這一矢量場(chǎng)在各點(diǎn)的模是一個(gè)常數(shù),但它的方向是er的方向。顯然在不同點(diǎn),er的方向是不同的,所以它不是均勻矢量場(chǎng)。利用式(1-1-22),將球坐標(biāo)單位矢量轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)單位矢量后得

可以看出,θ=0°時(shí),E的方向是沿z軸的;而當(dāng)θ=90°時(shí),則沒有z軸分量,這清楚地說明E在不同點(diǎn)有不同的方向。

1.2矢量函數(shù)的微積分

1.2.1矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若一個(gè)矢量,無論是模還是方向,或兩者都是一個(gè)自變量或是幾個(gè)自變量的函數(shù),則稱其為矢量函數(shù)。設(shè)F(u)是單變量u的矢量函數(shù),矢量函數(shù)F(u)對(duì)u的導(dǎo)數(shù)定義為

這里假定此極限存在。在一般情況下,矢量的增量ΔF不一定與矢量F的方向相同,如圖1-2-1所示,一階導(dǎo)數(shù)dF/du仍然是一個(gè)矢量函數(shù)。逐次求導(dǎo),就可得到F的二階導(dǎo)數(shù)d2F/du2以及更高階導(dǎo)數(shù)。圖1-2-1矢量微分示意圖

在直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)單位矢量都是常矢量,其導(dǎo)數(shù)為零。利用式(1-2-4)則有

由此可以得出結(jié)論:在直角坐標(biāo)系中,矢量函數(shù)對(duì)某一坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))仍然是個(gè)矢量,它的各個(gè)分量等于原矢量函數(shù)各分量對(duì)該坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))的矢量和。簡單地說,只要把坐標(biāo)單位矢量提到微分號(hào)外就可以了。

在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中,由于一些坐標(biāo)單位矢量不是常矢量,在求導(dǎo)數(shù)時(shí),不能把坐標(biāo)單位矢量提到微分符號(hào)之外。在柱坐標(biāo)系中,各坐標(biāo)單位矢量對(duì)空間坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)是:

在球坐標(biāo)系中,各坐標(biāo)單位矢量對(duì)空間坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)是

在柱、球坐標(biāo)系中,求矢量函數(shù)對(duì)坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),必須考慮式(1-2-5)和式(1-2-6)中的各個(gè)關(guān)系式。例如,在柱坐標(biāo)系中,矢量函數(shù)可表示為

E對(duì)坐標(biāo)變量φ的偏導(dǎo)數(shù)是

又如在球坐標(biāo)系中矢量函數(shù)可表示為

E對(duì)坐標(biāo)變量θ的偏導(dǎo)數(shù)為

也就是說,直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)單位矢量ex、ey、ez不是空間位置的函數(shù);而柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)單位矢量eρ、eφ、er、eθ

是隨空間位置變化而變化的,是空間位置的函數(shù)。

1.2.2矢量函數(shù)的積分

矢量函數(shù)的積分,包括不定積分和定積分兩種。例如,已知B(u)是A(u)的一個(gè)原函數(shù),則有不定積分

式中矢量函數(shù)A、B、C也可以是多個(gè)變量的函數(shù),但C不隨u變化。

由于矢量函數(shù)的積分和一般函數(shù)的積分在形式上類似,所以一般函數(shù)積分的基本法則對(duì)矢量函數(shù)積分也都適用。但在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中求矢量函數(shù)的積分時(shí),仍然要注意式(1-2-5)和式(1-2-6)中的關(guān)系,不能在任何情況下都將坐標(biāo)單位矢量提到積分運(yùn)算符號(hào)之外。因?yàn)樵谝话闱闆r下,坐標(biāo)單位矢量可能是積分變量的函數(shù)。例如,對(duì)于在柱坐標(biāo)系中的積分

應(yīng)當(dāng)根據(jù)式(1-1-17)中的關(guān)系,將eρ=ex

cosφ+eysinφ代入后再進(jìn)行積分。此時(shí)由于ex、ey

與坐標(biāo)變量無關(guān),可以提到積分符號(hào)之外,因而得

1.3標(biāo)量函數(shù)的梯度

1.3.1方向?qū)?shù)一個(gè)標(biāo)量場(chǎng),可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u=u(x,y,z)來表示,在下面的討論中,我們都假定u(x,y,z)是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)。方程

隨著C的取值不同,給出一組曲面。在每一個(gè)曲面上的各點(diǎn),雖然坐標(biāo)值x、y、z不同,但函數(shù)值相等,這樣的曲面稱為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面。例如,溫度場(chǎng)的等溫面、電位場(chǎng)中的等位面等。式(1-3-1)稱為等值面方程。圖1-3-1等值面示意圖圖1-3-2方向?qū)?shù)推導(dǎo)示意圖

1.3.2梯度

1.梯度的定義

方向?qū)?shù)是函數(shù)u(x,y,z)在給定點(diǎn)沿某個(gè)方向?qū)嚯x的變化率。但是,從標(biāo)量場(chǎng)中的給定點(diǎn)出發(fā),有無窮多個(gè)方向。函數(shù)u(x,y,z)沿其中哪個(gè)方向的變化率最大呢?這個(gè)最大的變化率又是多少呢?為了解決這個(gè)問題,我們首先分析在直角坐標(biāo)系中的方向?qū)?shù)公式式(1-3-3),把式中看做一個(gè)矢量G沿三個(gè)坐標(biāo)方向的分量,表示為

2.梯度的性質(zhì)

(1)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)。在給定點(diǎn),梯度的方向就是函數(shù)u變化率最大的方向,它的模恰好等于函數(shù)u在該點(diǎn)的最大變化率的數(shù)值。又因函數(shù)u沿梯度方向的方向?qū)?shù)恒大于零,說明梯度總是指向函數(shù)u(x,y,z)增大的方向。

(2)函數(shù)u在給定點(diǎn)沿任意l方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)u的梯度在l方向上的投影。

(3)在任一點(diǎn)M,標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)的梯度垂直于過該M點(diǎn)的等值面,也就是垂直于過該點(diǎn)的等值面的切平面。證明這一點(diǎn)是不難的,根據(jù)解析幾何知識(shí),過等值面M點(diǎn)切平面的法線矢量為

將上式與式(1-3-4)比較,可見法線矢量n剛好等于在點(diǎn)M函數(shù)u(x,y,z)的梯度。因此,在點(diǎn)M,u的梯度垂直于過點(diǎn)M的等值面。

根據(jù)這一性質(zhì),曲面u(x,y,z)=C上任一點(diǎn)的單位法線矢量n0可以用梯度表示,即

3.哈密頓(Hamilton)算子

4.梯度運(yùn)算基本公式

這些公式與對(duì)一般函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則類似。這里僅以式(1-3-21)為例,證明如下:

所以?f(u)=f'(u)?u。

例1-3-2

R表示空間點(diǎn)(x,y,z)和(x',y',z')點(diǎn)之間的距離,符號(hào)?'表示對(duì)x'、y'、z'微分,即

解

1.4矢量函數(shù)的散度

1.4.1通量一個(gè)矢量場(chǎng),可以用一個(gè)矢量函數(shù)F=Fx,y,z()來表示,或用分量表示為

為了形象地描繪矢量場(chǎng)在空間的分布狀況,引入矢量線的概念。矢量線是這樣的一些曲線,線上每一點(diǎn)的切線方向都代表該點(diǎn)的矢量場(chǎng)的方向。一般說來,矢量場(chǎng)的每一點(diǎn)均有唯一的一條矢量線通過,所以矢量線充滿了整個(gè)矢量場(chǎng)所在的空間。電場(chǎng)中的電力線和磁場(chǎng)中的磁力線等,都是矢量線的例子。

矢量F在場(chǎng)中某一個(gè)曲面S上的面積分,稱為該矢量場(chǎng)通過此曲面的通量,記作

如圖1-4-1所示,在場(chǎng)中任意曲面S上的點(diǎn)M周圍取一小面積元dS,它有兩個(gè)方向相反的單位法線矢量±n0。對(duì)于開曲面上的面元,設(shè)這個(gè)開曲面是由封閉曲線l所圍成的,則當(dāng)選定繞行l(wèi)的方向后,沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n0方向,如圖n0取為封閉1曲面4的1外所法示線。方對(duì)向于。圖1-4-1矢量場(chǎng)通量

如果S是限定一定體積的閉合面,則通過閉合面的總通量可表示為

若Ψ>0,表示有凈通量流出,這說明S內(nèi)必有矢量場(chǎng)的源,我們稱它為正源;若Ψ<0,表示有凈通量流入,這說明S內(nèi)必有負(fù)源;若Ψ=0,流入等于流出,這時(shí)S內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零,或者S內(nèi)沒有源。例如,靜電場(chǎng)中的正電荷發(fā)出電力線,在包圍它的任意閉合面上的通量為正值;負(fù)電荷吸收電力線,在包圍它的任意閉合面上的通量為負(fù)值;閉合面里的電荷電量的代數(shù)和為零,或無電荷時(shí),閉合面上的通量等于零。

1.4.2散度

1.散度的定義

在連續(xù)函數(shù)的矢量場(chǎng)F中,任一點(diǎn)M的鄰域內(nèi),作一包圍該點(diǎn)的任意閉合面S,并使S所限定的體積Δτ以任意方式趨于零(即縮至M點(diǎn))。取下列極限

這個(gè)極限稱為矢量場(chǎng)F在點(diǎn)M的散度(Divergence),記作divF(讀作散度F)。即

這個(gè)定義與所選取的坐標(biāo)系無關(guān)。divF表示在場(chǎng)中任意一點(diǎn)處,通過包圍該點(diǎn)的單位體積的表面的通量,所以divF可稱為“通量源密度”。

在點(diǎn)M,若divF>0,則該點(diǎn)有發(fā)出的通量的正源;若divF<0,則該點(diǎn)有吸收的通量的負(fù)源;若divF=0,則該點(diǎn)無源。若在某一區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)上的矢量場(chǎng)的散度都等于零,則稱該區(qū)域內(nèi)的矢量場(chǎng)為無源場(chǎng)。

2.散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

根據(jù)散度的定義,Δτ可以是任意形狀,在直角坐標(biāo)系中可以取點(diǎn)M(x,y,z)為中心作一個(gè)無限小的直角六面體,如圖1-4-2所示,各邊長度分別為Δx、Δy和Δz,Δτ=ΔxΔyΔz。圖1-4-2推導(dǎo)散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

所以,矢量場(chǎng)F在x方向穿出前后兩個(gè)面的凈通量為

另外,還可得到柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表示式分別如下所示。在柱坐標(biāo)系中,散度表式為

而在球坐標(biāo)系中,散度表式為

3.散度的基本運(yùn)算公式

以上各式與所取坐標(biāo)系無關(guān)。在直角坐標(biāo)系中,利用式(1-4-9)可以很容易地證明以上諸式。

1.4.3高斯(Gauss)散度定理

根據(jù)散度的定義,?·F等于空間某一點(diǎn)上,從包圍該點(diǎn)的單位體積內(nèi)穿出的F通量。所以從空間任一體積τ內(nèi)穿出的F通量應(yīng)等于?·F在τ內(nèi)的體積分,即

這個(gè)通量也就是從限定體積的閉合面上穿出的凈通量,所以

這就是高斯散度定理。

它的意義是:任意矢量場(chǎng)F的散度在場(chǎng)中任意一個(gè)體積內(nèi)的體積分等于矢量場(chǎng)F在限定該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的積分。這種矢量場(chǎng)中的積分變換關(guān)系,在電磁場(chǎng)理論中將經(jīng)常用到。

高斯散度定理證明如下:劃分體積τ成n個(gè)單元體積,根據(jù)散度的定義得

上式等號(hào)右邊包含許多個(gè)小的面積分。因相鄰兩單元體積分界面上來自兩邊的凈通量相互抵消,因而總和中只剩下屬于外表面S對(duì)應(yīng)于最外一層面積分的項(xiàng),于是可得式(1-4-17)

所以

可見,除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)(r=0)外,空間各點(diǎn)得電通量密度散度均為0。

這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。

1.5矢量函數(shù)的旋度1.5.1環(huán)量定義:矢量F沿某一閉合曲線(路徑)的線積分,稱為該矢量沿此閉曲線的環(huán)量。記作式中的F是閉合積分路徑上任一點(diǎn)的矢量;dl是該路徑的切向長度元矢量,它的方向取決于該曲線的環(huán)繞方向;θ是在該點(diǎn)上F與dl的夾角,如圖1-5-1所示。圖1-5-1矢量場(chǎng)的環(huán)量

從式(1-5-1)看出,環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量,它的大小、正負(fù)不僅與矢量場(chǎng)F的分布有關(guān),而且與所取的積分環(huán)繞方向有關(guān)。如果某一矢量場(chǎng)的環(huán)量不等于零,我們就認(rèn)為場(chǎng)中必定有產(chǎn)生這種場(chǎng)的漩渦源。例如在磁場(chǎng)中,沿圍繞電流的閉合路徑的環(huán)量不等于零,電流就是產(chǎn)生磁場(chǎng)的旋渦源。如果在一個(gè)矢量場(chǎng)中沿任何閉合路徑上的環(huán)量恒等于零,則在這個(gè)場(chǎng)中不可能有旋渦源,這種類型的場(chǎng)稱為保守場(chǎng)或無旋場(chǎng),例如靜電場(chǎng)和重力場(chǎng)等。

1.5.2旋度

1.旋度的定義

定義:如圖1-5-1所示,矢量場(chǎng)F中,在任意點(diǎn)M的鄰域內(nèi),取任意有向閉合路徑l,限定曲面為ΔS,取ΔS的單位法向矢量為n0,周界l的環(huán)繞方向與n0方向成右手螺旋關(guān)系,如果不論曲面ΔS的形狀如何,只要ΔS無限收縮于M點(diǎn)時(shí)下列極限存在

從上述定義可以看出,環(huán)量面密度是一個(gè)標(biāo)量,而旋度是個(gè)矢量。矢量場(chǎng)F中點(diǎn)M處的旋度,在任一方向n0上的投影就等于M點(diǎn)以n0為法向的ΔS上的環(huán)量面密度。即

旋度的定義顯示它與坐標(biāo)系無關(guān)。

2.旋度在直角坐標(biāo)系中的表示式

下面我們利用式(1-5-3)來求解旋度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式。首先計(jì)算旋度的x分量,即取n0=ex,在與x軸垂直的一個(gè)平面上取一個(gè)很小的長方形環(huán)路,如圖1-5-2所示,環(huán)路的邊長分別為Δy和Δz,計(jì)算F沿這個(gè)小環(huán)路的線積分,得圖1-5-2推導(dǎo)旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

代入式(1-5-3),其中面積元ΔS=ΔyΔz,因此可得

同理可得

由以上各式便得到旋度在直角坐標(biāo)系中的表示式為

由上式看出,rotF剛好等于哈密頓算子?與矢量F的矢積,即

旋度在柱坐標(biāo)系中的表示式是:

在球坐標(biāo)系中的表示式是

3.旋度與散度的區(qū)別

(1)一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù),一個(gè)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。

(2)旋度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系。如果在矢量場(chǎng)所存在的全部空間里,場(chǎng)的旋度處處等于零,則這種場(chǎng)不可能有旋渦源,因而稱它為無旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。散度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與通量源的關(guān)系。如果在矢量場(chǎng)所充滿的空間里,場(chǎng)的散度處處為零,則這種場(chǎng)不可能有通量源,因而被稱為管形場(chǎng)或無源場(chǎng)。后面將會(huì)講到,靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng),而磁場(chǎng)是管形場(chǎng)。

(3)從旋度公式即式(1-5-8)看出,矢量場(chǎng)F的x分量Fx只對(duì)y、z求偏導(dǎo)數(shù),Fy和Fz也類似地只對(duì)與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù),所以旋度描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。而從散度公式即式(149)看出,場(chǎng)分量Fx、Fy、Fz分別對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)數(shù),所以散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

4.旋度的基本運(yùn)算公式

1.5.3斯托克斯(Stokes)定理

對(duì)于矢量場(chǎng)F所在的空間中任一個(gè)以l為周界的曲面S,存在以下關(guān)系

這就是斯托克斯定理。它的意義是:任意矢量場(chǎng)F的旋度沿場(chǎng)中任意一個(gè)以l為周界的曲面的面積分,等于矢量場(chǎng)F沿此周界l的線積分。換句話說,?×F在任意曲面S的通量等于F沿該曲面的周界l的環(huán)量。同高斯散度定理一樣,斯托克斯定理表示的積分變換關(guān)系在電磁場(chǎng)理論中也是經(jīng)常要用到的。圖1-5-3斯托克斯定理的證明

上式右端表示(?×F)在面積元ΔSi上的通量,左端表示F在ΔSi的周界Δli上的環(huán)量。曲面S上?×F的環(huán)量,就是把上式兩端分別求和,即

注意上式左端求和時(shí),各面積元之間的公共邊上都經(jīng)過兩次積分,但因公共邊上的F相同而積分元dl方向相反即dli=-dlj,所以兩者的積分值相互抵消。只有曲面S的周界l上的各個(gè)線元的積分值不被抵消,即

式(1-5-18)右端的求和在N趨近無限大時(shí)即為?×F在曲面S上的面積分,表示為

于是得

這就證明了斯托克斯定理。

1.6場(chǎng)函數(shù)的微分算子和恒等式

1.6.1哈密頓一階微分算子及恒等式

我們已經(jīng)在1.3節(jié)中把式(1313)作為直角坐標(biāo)系中哈密頓一階微分算子的定義,即

為了方便,還可補(bǔ)充下面的算子運(yùn)算公式

當(dāng)算子?作用到兩個(gè)函數(shù)(標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù))的乘積上時(shí),如果注意到?的微分性質(zhì)和矢量性質(zhì),可以使一些矢量恒等式的證明大為簡化。根據(jù)算子?的微分性質(zhì)和矢量性質(zhì)以及分部微分法,不難發(fā)現(xiàn)有下列規(guī)則:

規(guī)則1對(duì)任何?運(yùn)算,可將?看做矢量進(jìn)行恒等變換,所得結(jié)果不變,但在變換時(shí)不可將?后面的函數(shù)搬到?前面(微分時(shí)視為常數(shù)的函數(shù)例外),而在把?前面的函數(shù)搬到后面時(shí),則要注上表示微分時(shí)視為常數(shù)的腳注c。

規(guī)則2如果?后面有兩個(gè)函數(shù)的乘積(數(shù)積、標(biāo)量積或矢量積),那么算式可表示為兩項(xiàng)之和:在一項(xiàng)中,一個(gè)函數(shù)視為常數(shù),不受微分影響;而在另一項(xiàng)中,另一個(gè)函數(shù)視為常數(shù),不受微分影響。

1.6.2二階微分算子及恒等式

1.?×?u≡0

證明:因?yàn)?/p>

所以

結(jié)論是,標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零。因?yàn)?u是一矢量函數(shù),所以可得出下面的推論。

推論如果任一矢量函數(shù)的旋度恒等于零,則這個(gè)矢量函數(shù)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示。

這也說明,如果僅僅已知一個(gè)矢量場(chǎng)F的旋度,不可能唯一地確定這個(gè)矢量場(chǎng)。因?yàn)?已知?×F=V,如果F1是該方程的一個(gè)解,那么F1+?u也是它的解。

2.?·(?×F)≡0

證明:由直角坐標(biāo)系下的旋度公式可得

結(jié)論是,矢量函數(shù)的旋度的散度恒等于零。因?yàn)?×F仍是一矢量函數(shù),同樣可以得出以下推論。

推論任一矢量函數(shù)的散度恒等于零,則這個(gè)矢量函數(shù)可以用另外一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。

這也說明,如果僅僅已知一個(gè)矢量場(chǎng)F的散度,不可能唯一地確定這個(gè)矢量場(chǎng)。因?yàn)?已知?·F=u,如果F1是該方程的一個(gè)解,那么F1+?×A也是它的解。

3.?·?u≡?2u

算子?2表示標(biāo)量函數(shù)的梯度的散度,稱為拉普拉斯(Laplace)算子。?2u讀作拉普拉斯(Laplacian)u。

因?yàn)樵谑噶窟\(yùn)算中,不難看出下列恒等式成立

如果我們將式(1-6-10)中的A換成?算子,即可得到上面證明的三個(gè)恒等式(1-6-7)~式(1-6-9)。因此,可以得到下列規(guī)則。

規(guī)則3對(duì)連續(xù)二重算子(?,?),可將其看成普通矢量進(jìn)行矢量代數(shù)恒等變換,所得結(jié)果不變,但應(yīng)注意,不要把(?,?)后面的函數(shù)搬到任何一個(gè)?的前面來。

4.?2F=?(?·F)-?×(?×F)

證明:由直角坐標(biāo)系下的旋度公式

所以

算子?2作用在標(biāo)量函數(shù)上時(shí),稱為標(biāo)性拉普拉斯算子,表示標(biāo)量函數(shù)的梯度的散度;算子?2作用在矢量函數(shù)上時(shí),稱為矢性拉普拉斯算子。特別要指出的是,只有在直角坐標(biāo)系中,?2F才有式(1-6-13)那樣簡單的表示式,即與標(biāo)性拉普拉斯算子具有相同的運(yùn)算意義。這是因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)的單位矢量ex、ey、ez都是與坐標(biāo)變量無關(guān)的常矢。在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中,?2F有非常復(fù)雜的表示形式,但它的定義仍是式(1-6-12)。

1.7亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理指出:在有限的區(qū)域τ內(nèi),任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條件(即限定區(qū)域τ的閉合面S上的矢量場(chǎng)的分布)唯一地確定,且可表示為一個(gè)保守場(chǎng)(F=-??)和一個(gè)管形場(chǎng)F2=?×A之和F,=即

其中

顯然,如果在區(qū)域τ內(nèi)矢量場(chǎng)的散度與旋度均處處為零,則矢量場(chǎng)由其在邊界面S上的場(chǎng)分布完全確定。

對(duì)于無界空間,只要矢量場(chǎng)滿足

則式(1-7-2)與式(1-7-3)中的面積分項(xiàng)為零,此時(shí)矢量場(chǎng)由其散度和旋度完全確定。因此,在無界空間中,散度與旋度均處處為零的矢量場(chǎng)是不存在的,因?yàn)槿魏我粋€(gè)物理量都必須有源,場(chǎng)是同源一起出現(xiàn)的,源是產(chǎn)生場(chǎng)的起因。

亥姆霍茲定理給出了唯一確定有界區(qū)域中矢量場(chǎng)的條件,這就是區(qū)域中的源和區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的法向分量或切向分量。既然這些條件可以決定區(qū)域中矢量場(chǎng)的唯一性,那么,在區(qū)域中這些條件相同的兩個(gè)矢量場(chǎng)一定相同,而不論兩種情況下區(qū)域外的條件是否相同。了解這一點(diǎn),對(duì)有限區(qū)域中矢量場(chǎng)的求解是十分有利的。

矢量場(chǎng)的唯一性條件包括兩類:一類是區(qū)域中矢量場(chǎng)的散度和旋度,這是顯然的,因?yàn)樵搮^(qū)域中的通量源和旋渦源要在此區(qū)域中產(chǎn)生矢量場(chǎng);另一類條件是矢量場(chǎng)在邊界上的法向分量或切向分量,稱之為邊界條件(BoundaryCondition),邊界條件對(duì)矢量場(chǎng)的影響實(shí)際反映了區(qū)域外面的源在區(qū)域中所產(chǎn)生的場(chǎng)。當(dāng)區(qū)域外的多種分布形式的源產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在區(qū)域邊界上的邊界條件相同時(shí),則它們?cè)趨^(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的矢量場(chǎng)也就相同。

必須指出,只有在矢量場(chǎng)連續(xù)的區(qū)域內(nèi),散度和旋度才有意義,因?yàn)樗鼈兌及鴮?duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。在區(qū)域內(nèi)如果存在矢量場(chǎng)不連續(xù)的表面,則在這些表面上就不存在矢量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù),因而也就不能使用散度和旋度來分析表面附近的場(chǎng)的性質(zhì)。

亥姆霍茲定理給出了確定任一矢量場(chǎng)的唯一性條件,是分析矢量場(chǎng)的基礎(chǔ)。分析矢量場(chǎng)時(shí),總是從研究它的散度和旋度著手,得到的散度方程和旋度方程組成了矢量場(chǎng)基本方程的微分形式,或者從矢量場(chǎng)沿閉合曲面的通量和沿閉合路徑的環(huán)量著手,得到矢量場(chǎng)基本方程的積分形式。亥姆霍茲定理是研究電磁場(chǎng)理論的主線,電磁場(chǎng)的麥克斯韋(Maxwell)方程組就給出了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的散度和旋度,這將在第2章中進(jìn)行討論。第2章電磁場(chǎng)基本方程2.1麥克斯韋方程組2.2電磁場(chǎng)的邊界條件2.3時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示2.4坡印廷定理2.5電磁場(chǎng)的位函數(shù)

2.1麥克斯韋方程組

麥克斯韋通過對(duì)客觀電磁現(xiàn)象的總結(jié),特別是受到法拉第電磁感應(yīng)定律的啟示,即由變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電場(chǎng)的客觀事實(shí),提出了變化的電場(chǎng)可以產(chǎn)生磁場(chǎng)的假說,再用數(shù)學(xué)的方法引入了位移電流,使時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)構(gòu)成了相互對(duì)稱、相互聯(lián)系的兩個(gè)部分,并于1864年建立了全面描述電磁現(xiàn)象基本規(guī)律的麥克斯韋方程組。

2.1.1麥克斯韋方程組的積分形式

在“大學(xué)物理”的電磁學(xué)部分,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了麥克斯韋方程組的積分形式為

其中:

E——電場(chǎng)強(qiáng)度,單位是伏每米(V/m);

D——電位移矢量(或稱為電通量密度),單位是庫侖每平方米(C/m2);

B——磁感應(yīng)強(qiáng)度,單位是特斯拉(T),或韋伯每平方米(Wb/m2);

H——磁場(chǎng)強(qiáng)度,單位是安培每米(A/m);

q——電荷電量,單位是庫侖(C);

I——電流,單位是安培(A)。

S——一曲面,它的邊界是封閉曲線l,dl的方向與dS的方向成右手螺旋關(guān)系。

麥克斯韋四個(gè)方程的簡稱和物理意義如下:

第一方程為全電流定律:電流和時(shí)變電場(chǎng)將激發(fā)磁場(chǎng);

第二方程為法拉第定律:時(shí)變磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng);

第三方程為磁通連續(xù)性原理:穿過任一封閉面的磁通量恒等于零;

第四方程為高斯定律:穿過任一封閉面的電通量等于該面所包圍的自由電荷電量。

把前兩個(gè)方程結(jié)合起來便得出如下結(jié)論:時(shí)變磁場(chǎng)將激發(fā)時(shí)變電場(chǎng),而時(shí)變電場(chǎng)又將激發(fā)時(shí)變磁場(chǎng),電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源,相互激發(fā)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立,而是相互關(guān)聯(lián),構(gòu)成一個(gè)整體——電磁場(chǎng),電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開輻射源(如天線)的無源空間中,電荷和電流為零,電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā),從而在空間形成電磁振蕩并傳播,這就是電磁波。麥克斯韋方程組預(yù)言了電磁波的存在,這一著名預(yù)見后來在1887年由德國年輕學(xué)者赫茲的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。意大利工程師馬可尼和俄羅斯物理學(xué)家波波夫在1895年分別成功地進(jìn)行了無線電報(bào)傳送實(shí)驗(yàn),開創(chuàng)了人類無線電應(yīng)用的新紀(jì)元。

2.1.2麥克斯韋方程組的微分形式

為了得到麥克斯韋方程組的微分形式,引入電荷密度和電流密度概念。定義電荷密度為

式中,Δq是小體積元Δτ所包含的電量,則體積τ內(nèi)包含的電量q與電荷密度ρ的關(guān)系為

電荷的定向運(yùn)動(dòng)便形成電流,電流強(qiáng)度是指單位時(shí)間內(nèi)通過某導(dǎo)體橫截面的電荷量,即

電流的單位為安培(A),它是標(biāo)量。

習(xí)慣上,規(guī)定正電荷運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)殡娏鞯姆较颉ｋ娏髅枋龅氖悄骋唤孛嫔想姾闪鲃?dòng)的總情況,它不能描述截面上任意點(diǎn)處電荷的流動(dòng)情況。為此,引入電流密度矢量J,它的方向就是所在點(diǎn)上正電荷流動(dòng)的方向,其大小是與正電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度成比例,即

式中,n為該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)的方向,亦即電流密度的方向。電流密度的單位是安培每平方米(A/m2)。

方程中電荷密度和電流密度是相關(guān)的,滿足電荷守恒定律。電荷守恒定律表明,任一封閉系統(tǒng)內(nèi)的電荷總量不變。因此,從任一封閉曲面S流出的電流,應(yīng)等于曲面S所包圍的體積τ內(nèi),單位時(shí)間內(nèi)電荷的減少量,即

這就是電荷守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式,亦稱為電流連續(xù)性方程的積分形式。

將式(2-1-3)代入上式,并應(yīng)用散度定理,可得

要使這個(gè)積分對(duì)任意體積τ均成立,兩邊被積函數(shù)必定相等,于是有

上式是電荷守恒的微分表達(dá)式,亦稱為電流連續(xù)性方程的微分形式。．

麥克斯韋第一方程右端?D/?t的量綱是(C/m2)/s=A/m2,具有電流密度的量綱,稱之為位移電流密度JD,即

位移電流的引入擴(kuò)大了電流的概念。平常所說的電流有兩種:在導(dǎo)體中,電流就是自由電子的定向運(yùn)動(dòng),稱為傳導(dǎo)電流;在真空或氣體中,帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)也形成電流(如電視機(jī)顯像管中的電子束),稱為運(yùn)流電流。

位移電流密度不但具有電流密度的量綱,而且能激發(fā)磁場(chǎng),就這一意義上說,它與傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流是等效的。我們把傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流三者之和稱為全電流。

對(duì)式(2-1-7a)兩邊取散度,可得

上式稱為全電流連續(xù)性方程。

2.1.3本構(gòu)關(guān)系

用E、D、B、H四個(gè)場(chǎng)量寫出的方程稱為麥克斯韋方程的非限定形式,因?yàn)樗鼪]有限定D與E之間及B與H之間的關(guān)系,故適用于任何媒質(zhì)。

對(duì)于線性和各向同性媒質(zhì),有

式(2-1-13)稱為媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系,式中ε是介電常數(shù),單位是法拉每米(F/m);εr是相對(duì)介電常數(shù);ε0是真空的介電常數(shù),其取值為

式中μ是磁導(dǎo)率,單位是亨利每米(H/m);μr是相對(duì)磁導(dǎo)率;μ0是真空的磁導(dǎo)率,取值為

σ是導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率,單位是西門子每米(S/m)。式(2-1-13c)稱為歐姆定律的微分形式。通常的歐姆定律U=RI,稱為歐姆定律的積分形式。積分形式的歐姆定律是描述一段導(dǎo)線上的導(dǎo)電規(guī)律,而微分形式的歐姆定律是描述導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系,它比積分形式更能細(xì)致地描述導(dǎo)體的導(dǎo)電規(guī)律。

ε、μ、σ稱為媒質(zhì)參數(shù),通常研究的媒質(zhì)是均勻、線性、各向同性的媒質(zhì),其定義如下:

(1)若媒質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān),稱為均勻媒質(zhì);

(2)若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無關(guān),稱為線性媒質(zhì);

(3)若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)方向無關(guān),稱為各向同性媒質(zhì),反之稱為各向異性媒質(zhì);

(4)若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)頻率無關(guān),稱為非色散媒質(zhì),反之稱為色散媒質(zhì);

(5)σ=0的介質(zhì)稱為理想介質(zhì);

(6)σ→∞的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)體;

(7)σ介于0和∞之間的媒質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)或有耗媒質(zhì)。

利用本構(gòu)關(guān)系,對(duì)于均勻、線性、各向同性媒質(zhì),麥克斯韋方程組可用E

和H兩個(gè)場(chǎng)量如下表示

以上公式稱為麥克斯韋方程的限定形式。

2.2電磁場(chǎng)的邊界條件

在電磁場(chǎng)中,空間常常存在著兩種或兩種以上的不同媒質(zhì),為此需要知道兩種媒質(zhì)分界面處電磁場(chǎng)應(yīng)滿足的關(guān)系,即邊界條件。由于分界面兩側(cè)媒質(zhì)參數(shù)ε、μ、σ有突變,因此在邊界上麥克斯韋方程組的微分形式失去意義,必須應(yīng)用麥克斯韋方程的積分形式導(dǎo)出邊界條件。圖22-1-E的切向邊界條件

2.2.2H的切向邊界條件

設(shè)分界面上的面電流密度JS的方向垂直于紙面向內(nèi),則磁場(chǎng)矢量在紙平面上。在分界面上取一個(gè)無限靠近分界面的無窮小閉合路徑,如圖2-2-2所示,即長為無窮小量Δl,寬為高階無窮小量Δh。把積分形式的麥克斯韋第一方程(2-1-1a)應(yīng)用于此閉合路徑,得圖2-2-2H的切向邊界條件

式中,是有限量,當(dāng)Δh→0時(shí),當(dāng)分界面上有面電流時(shí)(理想導(dǎo)體的集膚深度趨于零,其電流分布在表面處極薄一層內(nèi)),則小回路包圍電流ΔI=JSΔl,其中JS是與小回路面相垂直方向上的極薄表面層內(nèi)單位寬度上的傳導(dǎo)電流面密度(A/m)。于是得H的切向分量邊界條件為

若分界面上不存在傳導(dǎo)面電流,即JS

=0,則H的切向分量是連續(xù)的。

2.2.3D和B的法向邊界條件

如圖2-2-3所示,在分界面兩側(cè)各取與分界面平行的小面元ΔS,兩者相距Δh,它是高階小量,因此穿出側(cè)壁的通量可忽略。對(duì)此閉合面應(yīng)用積分形式的麥克斯韋第四方程(2-1-1d)可得圖2-2-3法向邊界條件

同理由積分形式的麥克斯韋第三方程可得

這說明在分界面上B的法向分量總是連續(xù)的。

在研究電磁場(chǎng)問題時(shí),常用到以下兩種特殊情況。

1)兩種理想介質(zhì)的分界面此時(shí)兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率為零,在分界面上一般不存在自由電荷和面電流,即ρS=0、JS=0,則邊界條件為

2)理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面

設(shè)媒質(zhì)1為理想介質(zhì)(σ1=0),媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體(σ2→∞),理想導(dǎo)體中電場(chǎng)強(qiáng)度為零,否則將產(chǎn)生無限大的電流密度J=σE,所以E2=0、D2=0。理想導(dǎo)體中也不存在磁場(chǎng),否則將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),從而形成極大的電流,所以B2=0、H2=0。此時(shí)的邊界條件為

在理想導(dǎo)體表面上,電場(chǎng)始終垂直于導(dǎo)體表面,而磁場(chǎng)平行于導(dǎo)體表面。這些邊界條件可用于實(shí)際工程問題,因?yàn)榇蠖鄶?shù)金屬如銀、銅、金、鋁等,它們的σ都在107S/m量級(jí),因此可認(rèn)為σ→∞;而一般射頻介質(zhì)材料的損耗角的正切值tanδ都在10-3量級(jí),空氣的tanδ更低,因而都可以處理為理想介質(zhì)。

2.3時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示

在直角坐標(biāo)系中,隨時(shí)間作簡諧變化的電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量可以用余弦形式表示為

用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為

下面導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組。將場(chǎng)矢量都按上述規(guī)則表示,則麥克斯韋第一方程(217a)可寫成

式中,?是對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算,它與取實(shí)部符號(hào)Re可調(diào)換運(yùn)算順序。省略等式兩邊的Re,同時(shí)為了簡便,約定不寫出時(shí)間因子ejωt,可得麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式為

同理可得

采用復(fù)數(shù)形式后,各場(chǎng)量都換成了復(fù)矢量,對(duì)時(shí)間變量的偏導(dǎo)(?/?t)則換成簡單的因子jω。由于復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程沒有時(shí)間因子,所以變量也就減少了一個(gè)。

例2-3-1在無源無耗的理想介質(zhì)中,試由麥克斯韋方程導(dǎo)出時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足的復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程

其中

2.4坡印廷定理

電磁場(chǎng)是具有能量的,例如我們?nèi)粘Ｊ褂玫奈⒉t,正是利用微波所攜帶的能量給食品加熱。下面從麥克斯韋方程出發(fā),導(dǎo)出時(shí)變場(chǎng)中電磁能量的守恒關(guān)系———坡印廷定理。

式(2-4-3)右邊第一項(xiàng)是體積τ內(nèi)每秒電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的增加量,第二項(xiàng)是體積τ內(nèi)焦耳熱損耗功率(即單位時(shí)間內(nèi)以熱能形式損耗在體積內(nèi)的能量)。根據(jù)能量守恒原理,這兩項(xiàng)能量之和,只有靠流入體積的能量來補(bǔ)償,因此等式左邊應(yīng)是單位時(shí)間流入封閉面S的能量。式(2-4-3)就是時(shí)變電磁場(chǎng)中的能量守恒定律,稱為坡印廷定理。

式(2-4-3)左邊的被積函數(shù)E×H表示單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的能量,因此定義坡印廷矢量為

S的單位為瓦特每平方米(W/m2),S也稱為功率流密度矢量或能流密度矢量,其方向就是功率流的方向。

例2-4-1設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a、b,它們都是理想導(dǎo)體,兩導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為ε、磁導(dǎo)率為μ0的理想介質(zhì),內(nèi)外導(dǎo)體分別通過電流I和-I,其間電壓為U。

(1)試求同軸線內(nèi)的坡印廷矢量;

(2)證明內(nèi)外導(dǎo)體間向負(fù)載傳送的功率為UI。

解(1)電場(chǎng)垂直于導(dǎo)體表面沿徑向,其大小沿圓周方向是軸對(duì)稱的,設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體上單位長度的帶電量分別為ρl和-ρl,應(yīng)用高斯定理,沿同軸線的軸線方向取長度為l,半徑為ρ(a<ρ<b)的圓柱高斯面,可得．

內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為

故

由安培環(huán)路定律得

故坡印廷矢量為

(2)傳輸功率為

該例題說明傳輸線所傳輸?shù)墓β势鋵?shí)是通過內(nèi)外導(dǎo)體間的電磁場(chǎng)傳送的,導(dǎo)體結(jié)構(gòu)只起著引導(dǎo)的作用。

對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng),坡印廷定理可以用復(fù)數(shù)表示,計(jì)算一周的平均功率流密度矢量更有意義,下面來求坡印廷矢量的平均值Sav。時(shí)諧電磁場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示為

式中“*”表示取共軛。坡印廷矢量瞬時(shí)值為

上式第一項(xiàng)與時(shí)間無關(guān),第二項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)的積分等于零,因此在一個(gè)周期T=2π/ω內(nèi)坡印廷矢量的平均值為

稱為平均坡印廷矢量。令復(fù)坡印廷矢量為

復(fù)坡印廷矢量的實(shí)部等于平均功率流密度,即實(shí)功率密度。

2.5電磁場(chǎng)的位函數(shù)

2.5.1位函數(shù)的定義由麥克斯韋第三方程?·B=0,又由于?·(?×A)=0,因而可以引入矢量位函數(shù)A

A的單位是韋伯每米(Wb/m)。將上式代入麥克斯韋第二方程,得

即

即

?的單位是伏(V)。式中??前加負(fù)號(hào)是為了使?A/?t=0時(shí)化為靜電場(chǎng)的E=-??,?為靜電場(chǎng)的電位,靜電場(chǎng)的電場(chǎng)方向是從高電位指向低電位。

2.5.2達(dá)朗伯方程

下面推導(dǎo)位函數(shù)滿足的方程。將式(2-5-1)和式(2-5-4)代入麥克斯韋第一方程,得

對(duì)于時(shí)諧場(chǎng),可用復(fù)數(shù)表示達(dá)朗伯方程為

2.5.3滯后位

下面來求解達(dá)朗伯方程。在均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)中,達(dá)朗伯方程是線性微分方程,如果場(chǎng)源分布在有限空間,可以把它分解成無窮多個(gè)點(diǎn)源。解出點(diǎn)源的達(dá)朗伯方程后,任何分布場(chǎng)源的解將是各點(diǎn)源單獨(dú)作用的解的疊加。第3章平面電磁波3.1理想介質(zhì)中的均勻平面波3.2均勻平面波的極化3.3損耗媒質(zhì)中的均勻平面波3.4均勻平面波對(duì)平面邊界的垂直入射3.5均勻平面波對(duì)平面邊界的斜入射

3.1理想介質(zhì)中的均勻平面波

理想介質(zhì)是指電導(dǎo)率σ=0,ε、μ為實(shí)常數(shù)的媒質(zhì)。本節(jié)介紹最簡單的情況,即無源、均勻、線性、各向同性的無限大理想介質(zhì)中的時(shí)諧平面波。為了書寫簡便,從本章起不再在復(fù)矢量上面打點(diǎn)。

3.1.1波動(dòng)方程的解

在無源(ρ=0,J=0)的理想介質(zhì)中,由第2章中的式(236)知道,時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程

其中

下面我們研究該方程的一種最簡單的解,即均勻平面波解。假設(shè)場(chǎng)量僅與坐標(biāo)變量z有關(guān),與x、y無關(guān),即

式(3-1-1)簡化為

其解為

其中,E0、E'0是復(fù)常矢。為簡單起見,考察電場(chǎng)的一個(gè)分量Ex對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值為

觀察第一項(xiàng),其相位是θ=ωt-kz+φx,若t增大時(shí)z也隨之增大,就可保持θ為常數(shù),場(chǎng)量值相同。換句話說,同一個(gè)場(chǎng)值隨時(shí)間的增加向z增大的方向推移,因此上式第一項(xiàng)表示向正z方向傳播的波。同理,第二項(xiàng)表示向負(fù)z方向傳播的波。用復(fù)數(shù)形式表示,則式中含e-jkz因子的解,表示向正z方向傳播的波,而含ejkz因子的解表示向負(fù)z方向傳播的波。在無界的無窮大空間,反射波不存在(第3.4節(jié)將考慮有邊界的情況,此時(shí)存在入射波與反射波),這里我們只考慮向正z方向傳播的行波(TravellingWave,指沒有反射波而只往一個(gè)方向傳播的波),因此可取E'0=0,于是有

3.1.2均勻平面波的傳播特性

基于上一小節(jié)的分析,在理想介質(zhì)中傳播的均勻平面波有以下傳播特性:

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H、傳播方向ez三者相互垂直,成右手螺旋關(guān)系,傳播方向上無電磁場(chǎng)分量,稱為橫電磁波,記為TEM波(TransverseElectro-Magneticwave)。

(2)E與H處處同相,兩者復(fù)振幅之比為媒質(zhì)的波阻抗η,為實(shí)數(shù),見式(3-1-9)。

(3)為簡單起見,我們考察電場(chǎng)的一個(gè)分量Ex,由式(3-1-7)可寫出其瞬時(shí)值表達(dá)式為

其中,ωt稱為時(shí)間相位;kz稱為空間相位,φx是z=0處在t=0時(shí)刻的初始相位?？臻g相位相同的點(diǎn)所組成的曲面稱為等相位面(PlaneofConstantPhase)、波前或波陣面。這里,z為常數(shù)的平面就是等相位面,因此這種波稱為平面波(PlaneWave)。又因?yàn)閳?chǎng)量與x、y無關(guān),在z為常數(shù)的等相位面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相等,這種等相位面上場(chǎng)強(qiáng)處處相等的平面波稱為均勻平面波(UniformPlaneWave)。

圖3-1-1是式(3-1-10)所表達(dá)的均勻平面波在空間的傳播情況。圖3-1-1理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播

等相位面?zhèn)鞑サ乃俣确Q為相速(PhaseSpeed)。等相位面方程為ωt-kz+φx=常數(shù),由此可得ωdt-kdz=0,故相速為

在真空中電磁波的相速為

可見,電磁波在真空中的相速等于真空中的光速。由式(3-1-11)可得

式中λ=vp/f為電磁波的波長。k稱為波數(shù)(Wave-Number),因?yàn)榭臻g相位kz變化2π相當(dāng)于一個(gè)全波,k表示單位長度內(nèi)具有的全波數(shù)。k也稱為相位常數(shù)(PhaseConstant),因?yàn)閗表示單位長度內(nèi)的相位變化。

(4)均勻平面波傳輸?shù)钠骄β柿髅芏仁噶靠捎墒?3-1-7)和式(3-1-8)得

(5)電磁場(chǎng)中電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度的瞬時(shí)值為

說明空間中任一點(diǎn)、任一時(shí)刻的電場(chǎng)能量密度等于磁場(chǎng)能量密度?？傠姶拍芰棵芏鹊钠骄禐?/p>

式中,T為電磁波周期。圖3-1-2平面波的能量速度

(6)理想介質(zhì)中與真空中的波數(shù)、波長、相速、波阻抗的關(guān)系如下所示:

3.2均勻平面波的極化

假設(shè)均勻平面波沿z方向傳播,其電場(chǎng)矢量位于xy平面,一般情況下,電場(chǎng)有沿x方向及沿y方向的兩個(gè)分量,可表示為其瞬時(shí)值為這兩個(gè)分量疊加(矢量和)的結(jié)果隨φx、φy、Exm、Eym

的不同而變化。

兩個(gè)同頻率、同傳播方向的互相正交的電場(chǎng)強(qiáng)度(或磁場(chǎng)強(qiáng)度),在空間任一點(diǎn)合成矢量的大小和方向隨時(shí)間變化的方式,稱為電磁波的極化(Polarization),在物理學(xué)中稱之為偏振。極化通常用合成矢量的端點(diǎn)隨時(shí)間變化的軌跡來描述,可分為直線極化、圓極化和橢圓極化三種。

3.2.1均勻平面波的三種極化形式

1.直線極化

令Δ=φx-φy,當(dāng)Δ=0或Δ=π時(shí),E(z,t)方向與x軸的夾角θ為

“+”對(duì)應(yīng)于Δ=0,“-”對(duì)應(yīng)于Δ=π。θ與時(shí)間無關(guān),即E的振動(dòng)方向不變,軌跡是一條直線,故稱之為直線極化或線極化(LinearPolarization),如圖3-2-1所示。圖3-2-1線極化波電場(chǎng)的振動(dòng)軌跡

這表明,對(duì)于給定z值的某點(diǎn),隨著時(shí)間的增加,E(z,t)的方向以角頻率ω作等速旋轉(zhuǎn),其E矢量端點(diǎn)軌跡為圓,故稱為圓極化(CircularPolarization)。當(dāng)Δ=π/2時(shí),θ=ωt-kz+φx,E(z,t)的旋向與波的傳播方向ez

成右手螺旋關(guān)系,稱為右旋圓極化波(Right-handedCircularlyPolarizedWave);當(dāng)Δ=-π/2時(shí),θ=-(ωt-kz+φx

),E(z,t)的旋向與波的傳播方向ez成左手螺旋關(guān)系,稱為左旋圓極化波(Left-handedCircularlyPolarizedWave),如圖3-2-2所示。圖3-2-2圓極化波電場(chǎng)的振動(dòng)軌跡

以上考慮的是z固定,電場(chǎng)的大小和方向隨時(shí)間變化的情況,稱為時(shí)間極化。如果時(shí)間固定,電場(chǎng)的大小和方向隨位置變化的情況稱為空間極化。圖3-2-3(a)表示在某一固定時(shí)刻,右旋圓極化波的電場(chǎng)矢量隨距離z的變化情況,圖3-2-3(b)是某一時(shí)刻左旋圓極化波的電場(chǎng)矢量隨z的變化情況。圖3-2-3圓極化波的空間極化

3.橢圓極化

最一般的情況是電場(chǎng)兩個(gè)分量的振幅和相位為任意值。從式(3-2-2)中消去ωt-kz,可以得到電場(chǎng)變化的軌跡方程,把式(3-2-2)展開可得

這是一個(gè)橢圓方程,合成電場(chǎng)的矢量端點(diǎn)在一橢圓上旋轉(zhuǎn),如圖3-2-4所示,稱之為橢圓極化(EllipticalPolarization)。當(dāng)Δ>0時(shí),旋向與波的傳播方向ez

成右手螺旋關(guān)系,稱為右旋橢圓極化波;反之,當(dāng)Δ<0時(shí),稱為左旋橢圓極化波。圖3-2-4橢圓極化波電場(chǎng)的振動(dòng)軌跡

3.2.2均勻平面波的合成分解及應(yīng)用

根據(jù)前面對(duì)線極化波的討論,式(3-2-2)中的Ex(z,t)和Ey(z,t)可以看成是兩個(gè)線極化的電磁波。這兩個(gè)正交的線極化波可以合成其他形式的極化波,如橢圓極化和圓極化。反之亦然,任意一個(gè)橢圓極化或圓極化波都可以分解為兩個(gè)線極化波。

容易證明,一個(gè)線極化的電磁波,可以分解成兩個(gè)幅度相等、但旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。兩個(gè)旋向相反的圓極化波可以合成一個(gè)橢圓極化波;反之,一個(gè)橢圓極化波可分解為兩個(gè)旋向相反的圓極化波。電磁波的極化特性,在工程上獲得了非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用。

在移動(dòng)通信或微波通信中使用的極化分集接收技術(shù),就是利用了極化方向相互正交的兩個(gè)線極化的電平衰落統(tǒng)計(jì)特性的不相關(guān)性進(jìn)行合成,以減少信號(hào)的衰落深度。

在軍事上為了干擾和偵察對(duì)方的通信或雷達(dá)目標(biāo),需要應(yīng)用圓極化天線,因?yàn)槭褂靡桓眻A極化天線可以接收任意取向的線極化波。

如果通信的一方或雙方處于方向、位置不定的狀態(tài),例如在劇烈擺動(dòng)或旋轉(zhuǎn)的運(yùn)載體(如飛行器等)上,為了提高通信的可靠性,收發(fā)天線之一應(yīng)采用圓極化天線。在人造衛(wèi)星和彈道導(dǎo)彈的空間遙測(cè)系統(tǒng)中,信號(hào)穿過電離層傳播后,將產(chǎn)生極化畸變,這也要求地面上安裝圓極化天線作為發(fā)射或接收天線。

在無線電視中應(yīng)用的是水平線極化波(電視信號(hào)為空間直接波傳播,不是地面波傳播,不同于上述水平極化波在地球表面?zhèn)鞑p耗大的情況),電視接收天線應(yīng)調(diào)整到與地面平行的位置。而由國際通信衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)的衛(wèi)星電視信號(hào)則是圓極化的。在雷達(dá)中,可利用圓極化波來消除云雨的干擾,因?yàn)樗谓瞥是蛐?對(duì)圓極化波的反射是反旋的,不會(huì)被雷達(dá)天線所接收;而雷達(dá)目標(biāo)(如飛機(jī)、艦船等)一般是非簡單對(duì)稱體,其反射波是橢圓極化波,必有同旋向的圓極化成分,因而能接收到。在氣象雷達(dá)中,可利用雨滴的散射極化的不同響應(yīng)來識(shí)別目標(biāo)。

此外,有些微波器件的功能就是利用電磁波的極化特性獲得的,例如鐵氧體環(huán)行器和隔離器等。在分析化學(xué)中,可利用某些物質(zhì)對(duì)傳播其中的電磁波具有改變極化方向的特性來實(shí)現(xiàn)物質(zhì)結(jié)構(gòu)的分析。

3.3損耗媒質(zhì)中的均勻平面波

電磁波在媒質(zhì)中傳播時(shí)要受到媒質(zhì)的影響。在這一節(jié)中,我們研究平面波在均勻、線性、各向同性、無源的無限大有損耗媒質(zhì)(σ≠0)中的傳播特性。

3.3.2傳播常數(shù)和波阻抗的意義

有損耗媒質(zhì)中電磁波的傳播常數(shù)γ和波阻抗η都是復(fù)數(shù)。設(shè)γ=α+jβ,由式(3-3-3c)得

上式兩邊虛、實(shí)部分別相等,可得

為討論方便起見,假設(shè)電場(chǎng)只有x方向分量,因而電磁波的解為

式中,ψ為波阻抗的幅角。電磁波的瞬時(shí)值為

(2)由式(3-3-6)還可得出,電磁波傳播的相速是

其中,β稱為相位常數(shù)(PhaseConstant),即單位長度上的相移量。與理想介質(zhì)中的波數(shù)k具有相同的意義。由于β是頻率的復(fù)雜函數(shù),因而相速也是頻率的函數(shù)。電磁波傳播的相速隨頻率而變化的現(xiàn)象稱為色散(Dispersive)。色散的名稱來源于光學(xué),當(dāng)一束太陽光入射至三棱鏡上時(shí),則在三棱鏡的另一邊就可看到散開的七色光,其原因是不同頻率的光在同一媒質(zhì)中具有不同的折射率,亦即具有不同的相速。

上式說明:

(1)在損耗媒質(zhì)中,沿平面波的傳播方向,平面波的振幅按指數(shù)衰減,故α稱為衰減常數(shù)(AttenuationConstant)。工程上常用分貝(dB)或奈培(Np)來計(jì)算衰減量,其定義為

(3)波阻抗的振幅和幅角可導(dǎo)出如下:

一般把稱為媒質(zhì)的損耗角。

波阻抗的幅角表示磁場(chǎng)強(qiáng)度的相位比電場(chǎng)強(qiáng)度滯后ψ,σ越大則滯后越大。電磁波在有損耗媒質(zhì)中的傳播情況如圖3-3-1所示。圖3-3-1有損耗媒質(zhì)中平面波的傳播

(4)損耗媒質(zhì)中平均功率流密度矢量為

隨著波的傳播,由于媒質(zhì)的損耗,電磁波的功率流密度逐漸減小。

(5)儲(chǔ)存在損耗媒質(zhì)中的電磁波的電場(chǎng)能量密度和磁場(chǎng)能量密度的平均值分別為

由此可見,損耗媒質(zhì)中磁場(chǎng)能量密度大于電場(chǎng)能量密度。這正是由于σ≠0所引起的傳導(dǎo)電流所致,因?yàn)樗ぐl(fā)了附加的磁場(chǎng)。

(6)能量的傳播速度即能速為

由式(3-3-9)可得

因此

即能量傳播的速度等于相位傳播的速度。

2.波在良導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性

良導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的相速為

由于良導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ一般都在107數(shù)量級(jí),隨著頻率的升高,α將很大,所以在良導(dǎo)體中高頻電磁波只存在于導(dǎo)體表面,這個(gè)現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)(SkinEffect)。為衡量趨膚程度,我們定義穿透深度(DepthofPenetration)δ:電磁波場(chǎng)強(qiáng)的振幅衰減到表面值的1/e時(shí)(即36.8%)所經(jīng)過的距離。按其定義可得

這些數(shù)據(jù)說明,一般厚度的金屬外殼在無線電頻段有很好的屏蔽作用,如中頻變壓器的鋁罩、晶體管的金屬外殼等都能很好地起到屏蔽作用,但對(duì)低頻則無工程意義。低頻時(shí)可采用鐵磁性導(dǎo)體(如鐵σ=107S/m,μr=104,εr=1)進(jìn)行屏蔽。

趨膚效應(yīng)在工程上有重要的應(yīng)用,例如用于表面熱處理,用高頻強(qiáng)電流通過一塊金屬,由于趨膚效應(yīng),它的表面首先被加熱,迅速達(dá)到淬火的溫度,而內(nèi)部溫度較低,這時(shí)立即淬火使之冷卻,表面就會(huì)變得很硬,而內(nèi)部仍保持原有的韌性。

例3-3-2當(dāng)電磁波的頻率分別為50Hz、105Hz時(shí),試計(jì)算電磁波在海水中的穿透深度。已知海水的σ=4S/m,εr=81,μr=1。

3.良導(dǎo)電媒質(zhì)的表面阻抗

由于趨膚效應(yīng),電流集中于導(dǎo)體表面,導(dǎo)體內(nèi)部的電流則隨深度增加而迅速減小,在數(shù)個(gè)穿透深度后,電流近似地等于零。在高頻情況下,導(dǎo)體的實(shí)際載流面積減少,不同于恒定電流均勻分布于導(dǎo)體截面的情況,因而導(dǎo)線的高頻電阻比低頻或直流電阻大得多。

下面計(jì)算導(dǎo)體平面的阻抗。如圖3-3-2所示,在導(dǎo)體內(nèi)有

設(shè)導(dǎo)體在z方向的厚度遠(yuǎn)大于穿透深度,因而可認(rèn)為厚度是無限大。則在寬為h(如圖3-3-2所示,指磁場(chǎng)方向的寬度)、z方向無限深的截面流過的總電流為圖3-3-2導(dǎo)體平面的表面阻抗

電流實(shí)際上只在表面流動(dòng)。我們定義:單位長度表面電壓復(fù)振幅(即x方向的電場(chǎng)強(qiáng)度)與上述總電流的比值為導(dǎo)體的表面阻抗,即

單位寬度、單位長度的表面阻抗稱為導(dǎo)體的表面阻抗率(SurfaceResistivity),表示為

它的實(shí)數(shù)部分稱為表面電阻率Rs,虛數(shù)部分稱為表面電抗率Xs,其計(jì)算表達(dá)式為

顯然,頻率越高,表面電阻率Rs越大,這進(jìn)一步說明了高頻率能量不能在導(dǎo)體內(nèi)部傳輸。計(jì)算有限面積的表面阻抗,應(yīng)等于Zs乘以沿電場(chǎng)方向的長度、除以沿磁場(chǎng)方向的寬度。

從導(dǎo)體中電磁波的能量損耗也可以看出表面電阻率的意義。在圖3-3-2所示的導(dǎo)體中,往z方向傳輸?shù)碾姶挪?/p>

其中,H0是電磁波在導(dǎo)體表面上的磁場(chǎng)強(qiáng)度。通過單位面積傳輸進(jìn)入導(dǎo)體的平均功率為

上式就是單位表面積的導(dǎo)體中損耗的電磁功率。沿圖3-3-2所示的路徑L積分,可得全電流Ix=∮LH·dl=H0h,這個(gè)電流也是傳導(dǎo)電流,因?yàn)閷?dǎo)體中位移電流遠(yuǎn)小于傳導(dǎo)電流。由于這個(gè)電流絕大部分集中在導(dǎo)體的表面附近,所以稱之為表面電流,其表面電流密度就是Js=H0,因此可用下式計(jì)算單位表面積的導(dǎo)體中電磁波的損耗功率

上式可設(shè)想為面電流Js均勻地集中在導(dǎo)體表面δ厚度內(nèi),對(duì)應(yīng)的導(dǎo)體直流電阻所吸收的功率就等于電磁波垂直傳入導(dǎo)體所耗散的熱損耗功率。

下面再以圓導(dǎo)線為例,計(jì)算表面電阻。在頻率很高時(shí)δ很小,通常遠(yuǎn)小于導(dǎo)線半徑a,因此可把導(dǎo)線看成具有厚度是無限大、寬度是導(dǎo)線截面周長的平面導(dǎo)體,導(dǎo)線單位長度的表面電阻為

上式說明在高頻條件下導(dǎo)線的電阻會(huì)顯著地隨頻率增加。而單位長度的導(dǎo)線的直流電阻為

對(duì)比以上兩式,如上所述,可以設(shè)想頻率很高時(shí),電流均勻地集中在導(dǎo)體表面δ厚度內(nèi),導(dǎo)線的實(shí)際載流面積為2πaδ。

由以上兩式可得,表面電阻與直流電阻的比值為

上式說明同一根導(dǎo)線高頻時(shí)的電阻比直流電阻大得多。如何減少導(dǎo)體的高頻電阻呢?可以采用多股漆包線或辮線,即用相互絕緣的細(xì)導(dǎo)線編織成束來代替同樣總截面積的實(shí)心導(dǎo)線。在無線電技術(shù)中通常用它繞制高Q值電感。

3.4均勻平面波對(duì)平面邊界的垂直入射

為分析簡便,假設(shè)分界面為無限大的平面,如圖3-4-1所示,在分界面上任取一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),取z軸與分界面垂直,并由媒質(zhì)Ⅰ指向媒質(zhì)Ⅱ。我們把在第一種媒質(zhì)中投射到分界面的波稱為入射波(IncidentWave),把透過分界面在第二種媒質(zhì)中傳播的波稱為透射波(TransmittedWave),把從分界面上返回到第一種媒質(zhì)中傳播的波稱為反射波(ReflectedWave)。圖3-4-1均勻平面波的垂直入射

3.4.1對(duì)理想導(dǎo)體的垂直入射

設(shè)圖3-4-1中媒質(zhì)Ⅰ是理想介質(zhì)(σ1=0),媒質(zhì)Ⅱ是理想導(dǎo)體(σ2→∞),均勻平面波由媒質(zhì)Ⅰ沿z軸方向向媒質(zhì)Ⅱ垂直入射,由于電磁波不能穿入理想導(dǎo)體,全部電磁能量都將被邊界反射回來。為簡便起見,下面討論線極化波,取電場(chǎng)強(qiáng)度的方向?yàn)閤軸的正方向,則入射波的一般表達(dá)式為

圖3-4-2駐波的振幅分布示意圖

媒質(zhì)Ⅰ中的平均功率流密度矢量為

可見,駐波不傳輸能量,只存在電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能的相互轉(zhuǎn)換。

由于媒質(zhì)Ⅱ中無電磁場(chǎng),在理想導(dǎo)體表面兩側(cè)的磁場(chǎng)切向分量不連續(xù),因而交界面上存在面電流,根據(jù)邊界條件得理想導(dǎo)體表面的面電流密度為

它是入射場(chǎng)Hi0的2倍。

如果入射的平面波是圓極化的,以右旋圓極化為例,入射波的電場(chǎng)為

對(duì)理想導(dǎo)體垂直入射,由邊界條件可得反射波電場(chǎng)為

反射波的傳播方向是-z方向,所以相對(duì)于反射波的傳播方向,反射波變成了左旋圓極化波。合成電場(chǎng)為

顯然入射波是圓極化波,其合成電場(chǎng)也是駐波。

3.4.2對(duì)理想介質(zhì)的垂直入射

參考圖3-4-1,設(shè)媒質(zhì)Ⅰ和媒質(zhì)Ⅱ都是理想介質(zhì),即σ1=σ2=0,介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別是(ε1、μ1)和(ε2、μ2)。當(dāng)x方向極化的平面波由媒質(zhì)Ⅰ向媒質(zhì)Ⅱ垂直入射時(shí),在邊界處既有向z方向傳播的透射波,又有向-z方向傳播的反射波。由于電場(chǎng)的切向分量在邊界面兩側(cè)是連續(xù)的,反射波和透射波的電場(chǎng)也只有x方向的分量。入射波和反射波的電磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式與式(3-4-1)和式(3-4-2)相同,媒質(zhì)Ⅱ中的透射波為

式中,Et0為z=0處透射波的復(fù)振幅。在分界面上,電場(chǎng)、磁場(chǎng)的切向分量連續(xù),于是有

解得

我們定義反射波電場(chǎng)復(fù)振幅與入射波電場(chǎng)復(fù)振幅的比值為反射系數(shù)(ReflectionCoefficient),用Γ表示;透射波電場(chǎng)復(fù)振幅與入射波電場(chǎng)復(fù)振幅的比值為透射系數(shù)(TransmittedCoefficient),用T表示。由式(3-4-13)得圖3-4-3行駐波的振幅分布示意圖

式中,第一項(xiàng)是向z方向傳播的行波,第二項(xiàng)是駐波。為了反映行駐波狀態(tài)的駐波成分大小,定義電場(chǎng)振幅的最大值與最小值之比為駐波比(StandingWaveRatio),用ρ表示為

也可以用駐波比表示反射系數(shù)為

由該反射系數(shù)可求出透射進(jìn)入導(dǎo)體的功率密度Sav2為

式中,Sin為入射波的功率流密度矢量。透射進(jìn)入導(dǎo)體的功率被導(dǎo)體所損耗,由上式可見,頻率越高,透射進(jìn)入導(dǎo)體而損耗的功率越大,該功率由于趨膚效應(yīng)將集中在導(dǎo)體表面;電導(dǎo)率σ越大,透射進(jìn)入導(dǎo)體的損耗功率越小,大部分功率被反射掉,進(jìn)入導(dǎo)體的功率也集中在導(dǎo)體表面,σ越大穿透深度越小。

3.5均勻平面波對(duì)平面邊界的斜入射

3.5.1沿任意方向傳播的平面波向z方向傳播的均勻平面波可表示為

因?yàn)閗z為常數(shù)就是z為常數(shù),所以等相位面是垂直于z軸的平面,如圖3-5-1(a)所示。等相位面上任一點(diǎn)的矢徑為r=xex+yey+zez,則等相位面也可表示成r·ez=常數(shù)。因此沿z方向傳播的電場(chǎng)可表示為圖3-5-1平面波的等相位面

由式(3-5-3a),沿任意方向en傳播的平面波可表示為

如果取沿z方向的傳播常數(shù)為kcosγ,則有

vz

稱為z方向的視在相速。vz只表示波的等相位面沿z軸移動(dòng)的速度,并不表示能量的傳播速度,如圖3-5-2所示,P'點(diǎn)的能量是由后面的A點(diǎn)按光速傳播而來的,并不是由P點(diǎn)傳來的。圖3-5-2視在相速

3.5.2平面波對(duì)理想介質(zhì)的斜入射

把當(dāng)電磁波以任意角度入射到平面邊界上時(shí),稱之為斜入射(ObliqueIncidence)。我們由入射波傳播方向與分界面法線方向組成的平面稱為入射平面(PlaneofIncidence)。若入射波電場(chǎng)矢量垂直于入射平面,稱為垂直極化波(PerpendicularlyPolarizedWave);若電場(chǎng)矢量平行于入射平面,稱為平行極化波(ParallelPolarizedWave)。任意極化的平面波都可以分解為垂直極化波和平行極化波的合成。

1.垂直極化波的斜入射

如圖3-5-3(a)所示,設(shè)媒質(zhì)Ⅰ的介質(zhì)參量為ε1、μ1,媒質(zhì)Ⅱ的介質(zhì)參量為ε2、μ2。入射平面位于xOz平面,電場(chǎng)與入射平面垂直,以入射角θi

入射到理想介質(zhì)平面上,則入射波的傳播方向?yàn)閑i=sinθiex+cosθiez,入射電磁波可表示為

反射波和折射波的電場(chǎng)和入射波一樣只有y分量,這是由入射波和邊界條件決定的,垂直極化的入射波只能產(chǎn)生垂直極化的反射波和折射波。反射波可表示為圖3-5-3對(duì)理想介質(zhì)平面的斜入射

2.平行極化波的斜入射

如圖3-5-3(b)所示,入射波的電場(chǎng)與入射面平行,仿照垂直極化波的分析方法,利用邊界條件可以得出相同的反射定律和折射定律。平行極化波的菲涅爾公式為

對(duì)于非鐵磁性媒質(zhì)有μ1=μ2,利用折射定律,反射系數(shù)、折射系數(shù)又可寫為

圖3-5-4畫出了n=3時(shí),反射系數(shù)的模值隨入射角的變化曲線。由圖可見,平行極化波的反射系數(shù)在某一入射角變?yōu)榱?即發(fā)生全折射現(xiàn)象,無反射。發(fā)生全折射時(shí)的入射角稱為布儒斯特角(BrewsterAngle),記為θB。由式(3-5-15a)分子為零可得

對(duì)于垂直極化波,若μ1=μ2,由式(3-5-13a)可得反射系數(shù)為

可見,除非n=1即ε2=ε1,否則反射系數(shù)?！筒粸榱恪Ｒ虼?只有平行極化波斜入射時(shí)才發(fā)生全折射現(xiàn)象(針對(duì)μ1=μ2而言)。

當(dāng)一個(gè)任意極化的波以θB入射時(shí),反射波中將只存在垂直極化成分,這就是極化濾除效應(yīng)。

3.5.3平面波對(duì)理想導(dǎo)體的斜入射

1.垂直極化波的斜入射

如圖3-5-5(a)所示,入射平面位于xOz平面,電場(chǎng)與入射平面垂直,以入射角θi入射到理想導(dǎo)體平面上,與理想介質(zhì)分界面斜入射的區(qū)別只是在理想導(dǎo)體中電場(chǎng)等于零。由邊界條件Ei0+Er0=0,得

左半空間合成電磁波為圖3-5-5對(duì)理想導(dǎo)體平面的斜入射

上式說明在媒質(zhì)Ⅰ中合成波具有如下特點(diǎn):

(1)合成電磁波是沿x方向傳播的平面波,導(dǎo)體表面起著導(dǎo)行電磁波的作用。在傳播方向上,無電場(chǎng)分量但存在磁場(chǎng)分量,這種波稱為橫電波(TransverseElectricWave),記為TE波。它沿x方向的相位常數(shù)為k1sinθi,則其相速為

vp大于媒質(zhì)Ⅰ中的光速v1。其實(shí)vp

是沿x方向觀察時(shí)的“視在相速”,可以大于光速,但這個(gè)速度不是能量傳播的速度,能速仍小于光速。由于其相速大于光速,我們稱這種波為快波。

(4)合成波的平均功率流密度矢量為

合成的能量只沿著x方向傳播。

(5)導(dǎo)體表面上存在感應(yīng)面電流。

由邊界條件Js=n×Hz=0可得

2.平行極化波的斜入射

如圖3-5-5(b)所示,當(dāng)平行極化波對(duì)理想導(dǎo)體表面斜入射時(shí),因?yàn)槔硐雽?dǎo)體的電導(dǎo)率σ2→∞,故η2→0,代入式(3-5-14)可得

重復(fù)上面的分析步驟,可得出左半空間合成電場(chǎng)和合成磁場(chǎng)表達(dá)式為

這說明合成波仍然是向x方向傳播的快波,在z方向是駐波。不過在傳播方向上沒有磁場(chǎng)分量,卻有電場(chǎng)分量,稱之為橫磁波(TransverseMagneticWave),記為TM波。

3.5.4全反射

1.全反射現(xiàn)象

對(duì)于非鐵磁性媒質(zhì),若ε1>ε2,即入射波從光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì),由折射定律可以看出折射角大于入射角。隨著入射角θi

的增大,折射角θt將先于θi達(dá)到90°,對(duì)應(yīng)于θt

=90°時(shí)的入射角稱為臨界角(CriticalAngle),記為θc。由折射定律可得臨界角為

2.表面波概念

下面以垂直極化波為例,分析折射波的場(chǎng)分布特點(diǎn)。當(dāng)θi<θc時(shí),折射波為

由上式可得出以下結(jié)論:

(1)發(fā)生全反射時(shí),仍有折射波存在,折射波的傳播方向是x方向,相速為

即小于無