復變函數(shù)史上最全上第1頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2013年9月3日第一章復數(shù)與復變函數(shù)2第2頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月對象復變函數(shù)（自變量為復數(shù)的函數(shù)）主要任務研究復變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復數(shù)域上的微積分主要內(nèi)容復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、共形映射、傅立葉變換和拉普拉斯變換等復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、3第3頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月學習方法復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處.但又有不同之處，在學習中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復數(shù)域上特有的性質(zhì)與結(jié)果4第4頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月背景十六世紀,在解代數(shù)方程時引進復數(shù)為使負數(shù)開方有意義，需要擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域在十八世紀以前，對復數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾.在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)的概念應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題.復數(shù)被廣泛承認接受，復變函數(shù)論順利建立和發(fā)展.5第5頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月十九世紀奠定復變函數(shù)的理論基礎(chǔ)三位代表人物:A.L.Cauchy（1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)分別應用積分和級數(shù)研究復變函數(shù)G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復變函數(shù)的映照性質(zhì)通過他們的努力，復變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學的許多分支，同時，它在熱力學，流體力學和電學等方面也得到了很多的應用.

6第6頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復數(shù)的概念

2.代數(shù)運算

3.共軛復數(shù)§1復數(shù)及其代數(shù)運算7第7頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

一般,任意兩個復數(shù)不能比較大小.1.復數(shù)的概念

定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數(shù).復數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

復數(shù)的模

判斷復數(shù)相等8第8頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算9第9頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律.（與實數(shù)相同）即，10第10頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月共軛復數(shù)的性質(zhì)3.共軛復數(shù)定義若z=x+iy,稱z=x-iy

為z的共軛復數(shù).(conjugate)11第11頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月12第12頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數(shù)表示法§2復數(shù)的表示方法13第13頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點的表示點的表示：

數(shù)z與點z同義.14第14頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長度為復數(shù)z=x+iy的模或絕對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時)15第15頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz.

z=0時，輻角不確定.

計算argz(z≠0)

的公式16第16頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

當z落于一,四象限時，不變.

當z落于第二象限時，加.

當z落于第三象限時，減.

17第17頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月18第18頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月19第19頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月20第20頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法21第21頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月22第22頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月引進復數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數(shù)方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形.例1

用復數(shù)方程表示:（1）過兩點zj=xj+iyj

(j=1,2)的直線；（2）中心在點(0,-1),

半徑為2的圓.oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）23第23頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么圖形？解24第24頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月25第25頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月注意.復數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應不同問題的需要.26第26頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2013年9月4日27第27頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月28第28頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月30第30頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復數(shù)的乘積與商

2.復數(shù)的乘冪

3.復數(shù)的方根§3復數(shù)的乘冪與方根31第31頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1

兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加.證明設z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz232第32頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何意義將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍.

定理1可推廣到n個復數(shù)的乘積.oxy(z)z1z2z233第33頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月由于輔角的多值性，因此，該等式兩端都是無窮多個數(shù)構(gòu)成的兩個數(shù)集,等式兩端可能取的值的全體是相同的,也就是說，對于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反過來也一樣。注意：Arg(z1z2)=Argz1+Argz234第34頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.35第35頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證明Argz=Argz2-Argz1由復數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）36第36頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月設z=reiθ，由復數(shù)的乘法定理和數(shù)學歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ.2.復數(shù)的乘冪定義n個相同的復數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）.定義特別：當|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

棣模佛(DeMoivre)公式.37第37頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月問題給定復數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復數(shù)ω.3.復數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算

當z≠0時，有n個不同的ω值與相對應，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，38第38頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn).幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點.xyo39第39頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月40第40頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.區(qū)域的概念

2.簡單曲線（或Jordan曲線)3.單連通域與多連通域§4區(qū)域41第41頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.區(qū)域的概念鄰域復平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內(nèi)部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域.記為Ｕ(z0,δ)即，設G是一平面上點集內(nèi)點對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點.42第42頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月開集若G內(nèi)的每一點都是內(nèi)點，則稱G是開集.連通是指區(qū)域設D是一個開集，且D是連通的，稱

D是一個區(qū)域.D-區(qū)域邊界與邊界點已知點P不屬于D，若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；內(nèi)點外點D的所有邊界點組成D的邊界.P43第43頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無界.閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,44第44頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月45第45頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線.46第46頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月重點設連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點.定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線.z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線47第47頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月3.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)

任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復平面上的一個區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域.48第48頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的.單連通域多連通域多連通域單連通域49第49頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P31

1（２）（４），２，８（３）（４）（５），１４（２）（４），２１（４）（８）（９）２２（３）（４）（６）50第50頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月51第51頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月52第52頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月53第53頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月54第54頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復變函數(shù)的定義

2.映射的概念

3.反函數(shù)或逆映射§5復變函數(shù)第55頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

第56頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第57頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1例2第58頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合2.映射的概念——復變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w第59頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）.

在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的對應關(guān)系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應關(guān)系，以便在研究和理解復變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）第60頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解—關(guān)于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖2例4解第61頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o第62頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第63頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月3.反函數(shù)或逆映射例設z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射定義設w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.第64頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例已知映射w=z3

，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象.例第65頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2008.10.8

(第三次課)第66頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.函數(shù)的極限

2.運算性質(zhì)

3.函數(shù)的連續(xù)性§6復變函數(shù)的極限與連續(xù)性第67頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中第68頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復數(shù).2.運算性質(zhì)復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)系：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.第69頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

以上定理用極限定義證!第70頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1例2例3第71頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月3.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3第72頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續(xù).證明xy(z)ozz第73頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù);

連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).有界性：第74頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)初等函數(shù)第75頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復變函數(shù)的導數(shù)定義

2.解析函數(shù)的概念§2.1解析函數(shù)的概念第76頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

一.復變函數(shù)的導數(shù)(1)導數(shù)定義定義設函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導.稱此極限值為f(z)在z0的導數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導.第77頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零.

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第78頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)求導公式與法則①常數(shù)的導數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對于復平面上任意一點z0，有----實函數(shù)中求導法則的推廣第79頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月③設函數(shù)f(z),g(z)均可導，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第80頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月④復合函數(shù)的導數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z).⑤反函數(shù)的導數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0.第81頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導？例2解解第82頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第83頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導.證明第84頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第85頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第86頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第87頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)復變函數(shù)在一點處可導，要比實函數(shù)在一點處可導要求高得多，也復雜得多，這是因為Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故.(2)在高等數(shù)學中要舉出一個處處連續(xù)，但處處不可導的例題是很困難的,

但在復變函數(shù)中，卻輕而易舉.第88頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)可導與連續(xù)若w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續(xù).?第89頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4解析函數(shù)1.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內(nèi)處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）.如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點.

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導.(2)函數(shù)f(z)在z0點可導，未必在z0解析.第90頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第91頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例如(1)w=z2在整個復平面處處可導，故是整個復平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復平面上的解析函數(shù)；(3)w=zRez在整個復平面上處處不解析(見例4).定理1設w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內(nèi)的解析函數(shù).第92頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2設w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析.第93頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

調(diào)和函數(shù)第94頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

在§6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù),其導數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導數(shù).本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系.內(nèi)容簡介§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第95頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定義定理第96頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則第97頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月即u及v在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義第98頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月上面定理說明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過來的問題：第99頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月如第100頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第101頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理第102頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，第103頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

調(diào)和函數(shù)在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用.本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系.第104頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解曲線積分法第105頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月故

第106頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月又解湊全微分法第107頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月又解偏積分法第108頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月又解不定積分法第109頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第八次課11月12日第110頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.解析函數(shù)的充要條件

2.舉例§2函數(shù)解析的充要條件第111頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果復變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析.

本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數(shù)w=f(z)的可導性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導方法.問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？第112頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月一.解析函數(shù)的充要條件第113頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第114頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第115頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).第116頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2008.10.15第四次課第117頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有第118頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明（由f(z)的可導C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）.∵函數(shù)w=f(z)點z可導，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且第119頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy第120頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.

（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：第121頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第122頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數(shù)可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導的.第123頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數(shù)的連續(xù)性，

ii)驗證C-R條件.iii)求導數(shù)：

前面我們常把復變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的,但是求復變函數(shù)的導數(shù)時要注意,并不是兩個實函數(shù)分別關(guān)于x,y求導簡單拼湊成的.第124頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月二.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：解(1)設z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則第125頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny第126頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則第127頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導數(shù)為第128頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例3證明第129頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1

、C2常數(shù).那么在曲線的交點處，i)uy、

vy

均不為零時，由隱函數(shù)求導法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.第130頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月ii)uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾?練習:a=2,b=-1,c=-1,d=2第131頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第132頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第133頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第134頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.指數(shù)函數(shù)

2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

3.對數(shù)函數(shù)

4.乘冪與冪函數(shù)

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)§3初等函數(shù)第135頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它們的解析性.內(nèi)容簡介第136頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月一.指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義第137頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第138頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的.第139頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1例2第140頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月二.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復變數(shù)情形定義第141頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)第142頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第143頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題：第144頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第145頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第146頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義(詳見P51)第147頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第148頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)第149頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第150頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月三.對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù).即，(1)對數(shù)的定義第151頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月故第152頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月特別

第153頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2008.10.22第五次課第154頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見§1-6例1第155頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例4第156頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第157頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第158頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第159頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第160頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月四.乘冪與冪函數(shù)

乘冪ab定義

—多值—一般為多值第161頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月—q支第162頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)當b=1/n(n正整數(shù))時，乘冪ab與a

的

n次根意義一致.(1)當b=n(正整數(shù))時，乘冪ab與a的n次冪意義一致.第163頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月解例5第164頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

冪函數(shù)zb定義①當b=n(正整數(shù))w=zn在整個復平面上是單值解析函數(shù)第165頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第166頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當b為無理數(shù)或復數(shù)時，無窮多值.5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)詳見P52

重點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、乘冪．第167頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P672,8,15,18第168頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章復變函數(shù)的積分第169頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.有向曲線

2.積分的定義

3.積分存在的條件及其計算法

4.積分性質(zhì)§1復變函數(shù)積分的概念第170頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.有向曲線第171頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月CA(起點)B(終點)CC第172頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.積分的定義定義DBxyo第173頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

第174頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第175頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月3.積分存在的條件及其計算法定理

第176頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第177頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

第178頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月由曲線積分的計算法得第179頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月4.積分性質(zhì)由積分定義得：第180頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解又解Aoxy第181頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解oxyrC第182頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

第183頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第六次課10月29日第184頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy例3解第185頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月解:例4第186頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月分析§1的積分例子:§2Cauchy-Goursat基本定理第187頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月猜想：積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān).先將條件加強些，作初步的探討第188頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第189頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月—Cauchy定理第190頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理第191頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖.BBC推論設f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對任意兩點z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴于連接起點z0與終點z1的曲線，即積分與路徑無關(guān).Cz1z0C1C2C1C2z0z1第192頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月復合閉路定理：§3基本定理推廣—復合閉路定理第193頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH第194頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月說明第195頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

此式說明一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過f(z)的不解析點.—閉路變形原理DCC1C1C1第196頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例解C1C21xyo第197頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月練習解C1C21xyo第198頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P991,2,5,7(1)(2)第199頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.原函數(shù)與不定積分的概念

2.積分計算公式§4原函數(shù)與不定積分第200頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.原函數(shù)與不定積分的概念

由§2基本定理的推論知：設f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對B中任意曲線C,積分∫cfdz與路徑無關(guān)，只與起點和終點有關(guān).

當起點固定在z0,終點z在B內(nèi)變動,∫cf(z)dz在B內(nèi)就定義了一個變上限的單值函數(shù)，記作定理設f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在B內(nèi)解析，且第201頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定義若函數(shù)(z)

在區(qū)域B內(nèi)的導數(shù)等于f(z)

，即

,稱(z)為f(z)在B內(nèi)的原函數(shù).

上面定理表明是f(z)的一個原函數(shù).設H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù).(見第二章§2例3)第202頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.積分計算公式定義設F(z)是f(z)的一個原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理設f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個原函數(shù)，則

此公式類似于微積分學中的牛頓－萊布尼茲公式.

但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強第203頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1計算下列積分：解1)

第204頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月解)第205頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例3計算下列積分：第206頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)求積分的方法第207頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第七次課11月5日第208頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月利用Cauchy-Goursat基本定理在多連通域上的推廣,即復合閉路定理,導出一個用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個積分表達式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的方法.§5Cauchy積分公式第209頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月分析DCz0C1第210頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月DCz0C1∴猜想積分第211頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(Cauchy積分公式)證明第212頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第213頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

第214頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.第215頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解第216頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解CC1C21xyo第217頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月本節(jié)研究解析函數(shù)的無窮次可導性，并導出高階導數(shù)計算公式.研究表明：一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù)，而且有各階導數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點與實變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別.§6解析函數(shù)的高階導數(shù)第218頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明.第219頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理證明用數(shù)學歸納法和導數(shù)定義.第220頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月令為I第221頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第222頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月依次類推，用數(shù)學歸納法可得第223頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月一個解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù).第224頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解第225頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第226頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第227頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

作業(yè)P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)第228頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第229頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

在§6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù),其導數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導數(shù).本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系.內(nèi)容簡介§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第230頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定義定理第231頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則第232頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月即u及v在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義第233頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月上面定理說明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過來的問題：第234頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月如第235頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第236頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理第237頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，第238頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

調(diào)和函數(shù)在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用.本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系.第239頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解曲線積分法第240頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月故

第241頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月又解湊全微分法第242頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月又解偏積分法第243頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月又解不定積分法第244頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第八次課11月12日第245頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復數(shù)列的極限

2.級數(shù)的概念第四章級數(shù)§1復數(shù)項級數(shù)第246頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復數(shù)列的極限定義又設復常數(shù)：定理1證明第247頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第248頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.級數(shù)概念級數(shù)的前n項的和---級數(shù)的部分和不收斂---無窮級數(shù)定義設復數(shù)列：

第249頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解定理2證明第250頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

由定理2，復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題.性質(zhì)定理3證明第251頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4第252頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月解例2：P108第253頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解練習(P108,例1)：第254頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級數(shù)概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)§2冪級數(shù)第255頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級數(shù)的概念定義設復變函數(shù)列：稱為復變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和級數(shù)的部分和

第256頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)第257頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.收斂定理同實變函數(shù)一樣，復變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1阿貝爾(Able)定理討論P142：5第258頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第259頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復平面上處處收斂.(ii)除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在復平面上除z=0外處處發(fā)散.第260頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，<否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散.將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍色，紅、藍色不會交錯.故播放第261頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第262頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析.定義紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓；圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑.(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.第263頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月4.收斂半徑的求法

定理2(比值法)證明第264頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第265頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第266頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理3(根值法)

定理2(比值法)第267頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第九次課11月19日第268頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：P111解

綜上第269頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散p=1p=2該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.第270頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

綜上該級數(shù)發(fā)散.該級數(shù)收斂，第271頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月故該級數(shù)在復平面上是處處收斂的.第272頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)

代數(shù)運算

---冪級數(shù)的加、減運算---冪級數(shù)的乘法運算第273頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月---冪級數(shù)的代換(復合)運算

冪級數(shù)的代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3：P116解代換第274頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月解代換展開還原第275頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析運算

定理4---冪級數(shù)的逐項求導運算---冪級數(shù)的逐項積分運算第276頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P10330(1)(2),31P1411(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)第277頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§3泰勒(Taylor)級數(shù)第278頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由§2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù).以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示.第279頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得第280頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月Dkz第281頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月---(*)得證！第282頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明(不講)第283頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(不講)第284頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月證明(不講)第285頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

第286頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月2.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù).利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):第287頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的.---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：第288頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解(P120)第289頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第290頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解第291頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)由冪級數(shù)逐項求導性質(zhì)得：第292頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.第293頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月定理第294頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第295頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月第十次課11月26日第296頁，課件共328頁，創(chuàng)作于2023年2月