2022-2023學(xué)年安徽省黃山市高一下學(xué)期4月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，且與共線，則（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求解即可【詳解】因?yàn)榕c共線，故，解得故選：C2．若（其中為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法得到，進(jìn)而得到，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，故在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選：D3．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】由題意作出圖形,如圖,則，故選：A.4．《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》中將圓臺(tái)稱為“圓亭”．今有圓亭，被一過(guò)上底圓周上一點(diǎn)且垂直于底面的平面所截，截面交圓亭下底于，若尺，劣弧上的點(diǎn)到弦的距離的最大值為6寸，圓亭母線長(zhǎng)為10寸，則該圓亭的體積約為（1尺寸，）（

）A．3528立方寸 B．4410立方寸 C．3.528立方寸 D．4.41立方寸【答案】A【分析】設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，下底半徑為，利用勾股定理求出底面圓半徑，再利用勾股定理求出高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，下底半徑為，則，所以（寸），（寸），設(shè)圓臺(tái)的高為，（寸），所以圓臺(tái)的體積為：（立方寸）．故選：A．5．在中，是的外心，若，則（

）A． B．3 C．6 D．6【答案】C【分析】取中點(diǎn)H，連接，由已知及正弦定理可求，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可．【詳解】如圖，取中點(diǎn)H，連接，則，，所以，在中，，，由正弦定理得，所以，所以，故選：C．6．一圓錐的高為4，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積之比為，則其內(nèi)切球的半徑是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐體積與其內(nèi)切球體積之比求得圓錐底面半徑與內(nèi)切球半徑的關(guān)系，結(jié)合軸截面中三角形的相似，列出比例式，即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐體積為，底面半徑為R，其內(nèi)切球體積為，半徑為r，由題意可得,則①，又∽可得，即，兩邊平方得②，將①代入②化簡(jiǎn)整理得，則，故選：B7．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：作出圖形，設(shè)，則.利用余弦定理和基本不等式即可求解.方法二：根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得，，兩式聯(lián)立，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】方法一：如圖，設(shè)，則.在中，由余弦定理得①.在中，由余弦定理得②.由①②可得：.在中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得，即的最大值為.方法二：由題可得，，所以①.又因?yàn)?，所以②，由①②得，由①得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：.8．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)P在棱上，且P靠近B點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何關(guān)系利用勾股定理可以求出，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理可得，解得，，由得：，解得：或，又因?yàn)?，且P靠近B點(diǎn)，所以．由正弦定理可得，外接圓半徑，三棱錐P-ABC的外接球半徑R滿足：，∴外接球表面積，故選：D．二、多選題9．下列有關(guān)平面向量的命題中，不正確的是（

）A．若，則B．已知，，則C．若非零向量，，，滿足，則D．若，則且【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，當(dāng)且方向相同，才有，故A錯(cuò)誤，D正確；B選項(xiàng)可以舉出反例，C選項(xiàng)利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出，故C錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，但向量方向可能不同，故A錯(cuò)誤；若，則滿足，，但可能不平行，故B錯(cuò)誤；若，即，因?yàn)?，，均為非零向量，所以，故不一定成立，C錯(cuò)誤；若，則且，D正確.故選：ABC10．設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則z的虛部為－2iB．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±iC．若點(diǎn)Z坐標(biāo)為（－1，3），且z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，則p＋q＝12D．若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π【答案】CD【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)虛部的概念判斷即可；B選項(xiàng)：根據(jù)模的公式判斷即可；C選項(xiàng)：根據(jù)的坐標(biāo)得到，然后代入中得到，解方程即可；D選項(xiàng)：設(shè)，根據(jù)得到，然后根據(jù)幾何圖形求面積即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)椋缘奶摬繛?2，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：設(shè)，則可以得到，即，有好多種情況，例如，，，此時(shí)，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：若的坐標(biāo)為，則，又是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，所以，所以，解得，，故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)，則，即，所以的集合所構(gòu)成的圖形為環(huán)形，如下所示：所以面積為，故D正確.故選：CD.11．在中，角A，B，C所對(duì)的對(duì)邊分別為a，b，c，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，，，則滿足條件的有且僅有一個(gè)C．若，則是直角三角形D．若，，則外接圓面積的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用三角形大邊對(duì)大角及正弦定理的邊角變換可證得命題正確；對(duì)于B，結(jié)合圖像，利用直角三角形中正弦的定義可求得，比較與邊會(huì)發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)滿足條件的；對(duì)于C，利用余弦定理的推論化簡(jiǎn)，即可證得命題正確；對(duì)于D，先由余弦定理及基本不等式求得的取值范圍，再由正弦定理求得外接圓半徑的取值范圍，，從而求得外接圓面積的最小值【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由三角形大邊?duì)大角得，又由正弦定理知，故，即，故A正確；對(duì)于B，如圖，在中，，即，以為圓心，為半徑作圓，會(huì)發(fā)現(xiàn)該圓與有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)滿足條件的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，即，故，即，所以外接圓面積，即外接圓面積的最小值為，故D正確.故選：ACD.12．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，∠ABC為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是B．點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，若，則點(diǎn)O為△ABC的重心C．點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，若，，分別表示△AOC，△ABC的面積，則D．點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足且，則點(diǎn)O是且△ABC的外心【答案】BC【分析】對(duì)于A，由∠ABC為銳角，可得且兩向量不共線；對(duì)于B，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，證明在邊的中線上即可；對(duì)于C，由，得，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，可知三點(diǎn)共線，且，從而可判斷；對(duì)于D，證明是的角平分線，是的角平分線，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得，因?yàn)椤螦BC為銳角，故且不共線，所以，解得且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，所以，又點(diǎn)為公共端點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在邊的中線上，同理可得點(diǎn)也在兩邊的中線上，所以點(diǎn)O為△ABC的重心，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則，所以，又點(diǎn)為公共端點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，且，所以，又，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由，可得，即，又因，所以，所以是的角平分線，由，可得，即，又，所以，所以是的角平分線，所以點(diǎn)O是且△ABC的內(nèi)心，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．已知，，向量在上的投影向量的坐標(biāo)是．【答案】【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】，，向量在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.14．如圖所示，平面四邊形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形，，那么原平面圖形的周長(zhǎng)是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合斜二測(cè)畫法規(guī)則還原平面四邊形，再計(jì)算邊長(zhǎng)作答.【詳解】在等腰梯形中，，，則，由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，四邊形的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B，D分別在x軸、y軸上，，且，如圖，顯然四邊形為直角梯形，于是得，所以四邊形的周長(zhǎng)為.故答案為：15．如圖中，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，交BC于點(diǎn)N），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，得到圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周，可得旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓錐挖去一個(gè)球，結(jié)合圓錐和球的體積公式，即可求解.【詳解】連接，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，，解得，在中，因?yàn)?，可得，設(shè)直角繞旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的體積為，半圓繞旋轉(zhuǎn)一周得到球的體積為，圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周，可得旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓錐挖去一個(gè)球，所以圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：.故答案為：.

16．在中，，，依次為邊BC上的點(diǎn)，且，設(shè)、、…、、，則的值為．【答案】【分析】在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；進(jìn)而求得，然后依次求出，相乘即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知，，在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；所以；同理：；；；；又，所以，所以=，在中，由正弦定理得，則；所以原式.故答案為：.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z=m＋2i是方程的根（i是虛數(shù)單位，m∈R）(1)求|z|：(2)設(shè)復(fù)數(shù)，（是z的共復(fù)數(shù)），且復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）將復(fù)數(shù)根代入方程中，根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可求解，（2）根據(jù)i的周期性以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得，結(jié)合復(fù)數(shù)的結(jié)合意義即可列不等式求解.【詳解】（1）由題知∴即，（2）∴18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且．(1)求A；(2)若，△ABC的面積為，求a．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由結(jié)合正弦定理的邊化角公式得出A；（2）由面積公式得出，再由余弦定理得出.【詳解】（1）由得，又，所以．由正弦定理得，又，所以，即．又A為△ABC的內(nèi)角，所以．（2）由得，，解得．又根據(jù)余弦定理得，所以．19．如圖，在中，設(shè)，，又，，向量，的夾角為．(1)用，表示；(2)若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，直線交于F點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用幾何圖形，對(duì)向量做加減線性運(yùn)算即可；（2）根據(jù)E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，得，再設(shè)，通過(guò)平面向量基本定理求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出答案.【詳解】（1）；（2）E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)使，設(shè)，，解得，，由，向量，的夾角為得，.20．已知正三棱錐，一個(gè)正三棱柱的一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)在正三棱錐的三條側(cè)棱上，另一底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為15，底面邊長(zhǎng)為12，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120.（1）求三棱柱的高；

（2）求棱柱的上底面截棱錐所得的小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比.【答案】（1）10或5（2）或【分析】（1）設(shè)正三棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，根據(jù)相似比有，再根據(jù)正三棱柱的側(cè)面積為120，有，兩式聯(lián)立求解.（2）根據(jù)面積之比等于相似比的平方，結(jié)合（1）的結(jié)論求解.【詳解】（1）設(shè)正三棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，如圖所示:則解得又因?yàn)檎庵膫?cè)面積為120.所以所以解得或所以三棱柱的高是10或5.（2）因?yàn)槊娣e之比等于相似比的平方，所以棱柱的上底面截棱錐所得的小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體中的截面以及相似比、側(cè)面積等問(wèn)題，還考查了平面與空間的轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.21．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知，．(1)求c；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，將轉(zhuǎn)化為，即可求出答案；（2）利用正弦定理，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，代入，根據(jù)兩角差的正弦公式及輔助角公式得出，再由為銳角三角形得出角的范圍，即可的取值范圍．【詳解】（1）解：，，即，，又，，，，，，即，，解得．（2）解：由正弦定理得，，，，，，，則，為銳角三角形，，，，，即．22．某高檔小區(qū)有一個(gè)池塘，其形狀為直角，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供小區(qū)居民觀賞．（1）若在內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造APC連廊供居民觀賞，如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，求連廊的長(zhǎng)；（2）若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，建造連廊供居民觀賞，如圖②，使得為正三角形，求連廊長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）百米；（2）百米．【解析】（1）先在三角形PBC中利用已知條件求出PC的長(zhǎng)度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的長(zhǎng)度，即可求解；（2）設(shè)出等腰三角形的邊長(zhǎng)以及角CEF，則可求出CF的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得AF的長(zhǎng)度，再利用角的關(guān)系求出角ADF的大小，然后在三角