第六章定積分§6.1定積分的概念§6.2定積分的性質(zhì)§6.3微積分基本定理§6.4定積分的計(jì)算方法§6.5反常積分§6.6定積分的幾何應(yīng)用第六章定積分§6.1定積分的概念第六章定積分4.如何計(jì)算定積分和應(yīng)用定積分?

前一章討論了已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如何求原來(lái)的函數(shù),這樣一個(gè)積分學(xué)的基本問題——不定積分.這一章將討論積分學(xué)的另一個(gè)基本問題——定積分.1.什么是定積分?2.定積分有哪些性質(zhì)?3.定積分與不定積分有何關(guān)系?本章的主要問題有:第六章定積分4.如何計(jì)算定積分和應(yīng)用定積分?一.引例(曲邊梯形的面積)定義1.

在直角坐標(biāo)系中,由一條連續(xù)曲線y=?(x)和三條直線x=a、x=b和y=0(x軸)所圍成的圖形,稱為曲邊梯形,如右圖AabBA(與直邊梯形AabB的區(qū)別).oxyy=0y=?(x)x=ax=babBA§6.1定積分的概念

當(dāng)y=?(x)0時(shí),曲邊梯形AabB的面積怎么求呢?中學(xué)里會(huì)求直邊多邊形(特別是矩形)的面積,下面利用矩形的面積來(lái)求曲邊梯形AabB的面積.問題:一.引例(曲邊梯形的面積)定義1.在直角坐標(biāo)系中,由一條從而此區(qū)間對(duì)應(yīng)的小窄曲邊梯形CEFH的面積近似等于小窄矩形DEFH的面積.oxyy=?(x)abBAx+ΔxxHCDEF{Δy

因而,如果把區(qū)間[a,b]任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間,并在每一個(gè)區(qū)間上任取一點(diǎn),再以該點(diǎn)的高來(lái)近似代替該小區(qū)間上窄曲邊梯形的高,從而每個(gè)窄曲邊梯形就可近似地分析:問題的難度在于曲邊梯形AabB的高對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b]來(lái)說是一個(gè)變量,其最大值與最小值之差較大;但從區(qū)間[a,b]的一個(gè)局部(小區(qū)間)來(lái)看,它也是一個(gè)變量;但因?(x)連續(xù),從而當(dāng)Δx

→0時(shí),Δy→0,故可將此區(qū)間的高近似看為一個(gè)常量,從而此區(qū)間對(duì)應(yīng)的小窄曲邊梯形CEFHoxyy=?(x)abB視為一個(gè)小窄矩形,而且全部窄矩形的面積之和也可作為曲邊梯形面積的近似值.

要想得精確值,只需區(qū)間[a,b]的分法無(wú)限細(xì)密(即每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度Δx

→0)時(shí),全部窄矩形的面積之和的極限一定是曲邊梯形面積的精確值.從而可用下述方法和步驟來(lái)求曲邊梯形的面積:I.化整為零(或分割)——任意劃分(如右圖)用分點(diǎn)oxyy=?(x)將區(qū)間[a,b]任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間視為一個(gè)小窄矩形,而且全部窄矩形的面積之和也可作為曲邊oxyy=?(x)記第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為過每個(gè)分點(diǎn)作垂直于x軸的直線,將曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形(如上圖).

若用S表示曲邊梯形的面積,

表示第i個(gè)窄曲邊梯形(陰影部分)的面積,則有II.近似代替(或以直代曲)——任意取點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)以為高、以小區(qū)間的長(zhǎng)度為底o(hù)xyy=?(x)記第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為過每個(gè)分點(diǎn)作垂則該窄矩形的面積

為了從近似過度到精確,將所有的窄矩形的面積相加,就得曲邊梯形的面積的近似值,即III.求和、取極限作窄矩形(如右圖).近似等于,即記各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為當(dāng)分點(diǎn)數(shù)n無(wú)限增大且各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度對(duì)上述和式取極限就得曲邊梯形的面積,即則該窄矩形的面積為了從近似過度到精確,二.定積分的定義

由引例知,把一個(gè)求曲邊梯形的面積的問題可以歸結(jié)為一個(gè)特殊和式的極限.這種和式的極限應(yīng)用極廣,可解決數(shù)學(xué)、物理、工程及經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域中的不少實(shí)際問題,將上述獲得這類極限的思想方法加以概括和抽象,定義1.設(shè)?(x)在[a,b]上有定義,點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)就有定積分的定義:將區(qū)間[a,b]任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間;每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為作和式二.定積分的定義由引例知,把一個(gè)求曲邊梯若當(dāng)時(shí),有確定的極限值I,且I與區(qū)間[a,b]的分法和的取法無(wú)關(guān),則稱函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上可積,并稱此極限值I為?(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記為稱為積分和.其中?(x)為被積函數(shù),?(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量,a稱為積分下限,b稱為積分上限,[a,b]稱為積分區(qū)即注1.若?(x)在區(qū)間[a,b]上可積,則定積分的字母無(wú)關(guān),即它僅與被積函數(shù)?(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān),而與積分變量C常數(shù),若當(dāng)時(shí),有確定的極限值注2.極限過程,既保證了分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增多(),又保證了區(qū)間分割無(wú)限細(xì)密(即所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0).因此,對(duì)于可積函數(shù)?(x),若要用定義來(lái)計(jì)算若只有則不能保證區(qū)間分割無(wú)限細(xì)密.注3.

?(x)在區(qū)間[a,b]上可積的充要條件是極限且此極限值與[a,b]的分法和的取法無(wú)關(guān).則可選擇較為方便的區(qū)間分法和的取法,使得計(jì)算簡(jiǎn)便.注2.極限過程,既保證了分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增多(三.函數(shù)可積的條件

由注3知,每個(gè)函數(shù)的可積性與積分和的極限的存在性等價(jià),但求積分和的極限,卻非常困難.定理1.

若?(x)在區(qū)間[a,b]上無(wú)界,則?(x)在[a,b]上必不可積.問題:下面給出函數(shù)可積的幾個(gè)定理:

其等價(jià)命題為“可積函數(shù)必有界”——函數(shù)可積的必要條件.以下三個(gè)定理是函數(shù)可積的充分條件.定理2.若?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則?(x)在[a,b]上可積.定理3.若?(x)在區(qū)間[a,b]上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則

?(x)在[a,b]上可積.三.函數(shù)可積的條件由注3知,每個(gè)函數(shù)的注4.有了函數(shù)可積的充分條件,就可借助定義1來(lái)定理4.若?(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)有界,則?(x)在[a,b]上可積.②.將某些極限問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)定積分.①.計(jì)算給定的定積分的值;注4.有了函數(shù)可積的充分條件,就可借助定義1來(lái)定理4.若?注5.前面的討論中已默認(rèn)區(qū)間[a,b]中的a<b,那么當(dāng)a=b和a>b呢?為方便作如下規(guī)定:且a<b時(shí),定積分從而可消除對(duì)定積分上下限的大小限制.①.若a=b,則②.若a>b,則四.定積分的幾何意義表示一個(gè)在x軸上方的曲邊梯形的面積;由定義1知,當(dāng)連續(xù)函數(shù)注5.前面的討論中已默認(rèn)區(qū)間[a,b]中的a<b,那么且a<b時(shí),定積分當(dāng)?(x)在[a,b]上有正有負(fù)時(shí),定積分形的面積與x軸下方的曲邊梯形的面積之差(即面積的代數(shù)和).表示一個(gè)在x軸下方的曲邊梯形的面積的相反數(shù).的值就是x軸上方的曲邊梯當(dāng)且a<b時(shí),定積分當(dāng)?(x)在[a,b]上有正例3利用定積分的幾何意義,計(jì)算曲線y=sinx、直線表示由曲線y=sinx

、直線x=0、x=2π

及x軸所圍成的曲邊梯形的面積,即解根據(jù)題意,所求曲邊梯形的面積如右圖.x=0、x=2π及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.利用定積分的幾何意義知例3利用定積分的幾何意義,計(jì)算曲線y=sinx例6.3

求由曲線y=x2,y=0,x=1所圍成平面圖形的面積.解用n－1個(gè)點(diǎn)將區(qū)間[0,1]分成n等份.分點(diǎn)分別為過這些點(diǎn)作y軸的平行線,把曲邊三角形分成n個(gè)小曲邊梯形,把每一個(gè)小曲邊梯形近似地看成長(zhǎng)方形.例6.3求由曲線y=x2,y=0,x=1所圍成平面圖形的當(dāng)我們?nèi)∶恳粋€(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)的值視為矩形的高,則它們的面積依次為這n個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積當(dāng)我們?nèi)∶恳粋€(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)的值視為矩形的高,則它們的面積依次取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值為矩形的高,則它們的面積依次為此時(shí)n個(gè)小矩形面積的和為取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值為矩形的高,則它們的面積依次為此時(shí)又所以即若用S表示曲邊梯形面積,由上面式子可看出又所以即若用S表示曲邊梯形面積,由上面式子可看出§6.2定積分的的性質(zhì)性質(zhì)1

若?(x)=1,則性質(zhì)2

若?(x)與g(x)在[a,b]上可積,則?(x)±g(x)在[a,b]上也可積,且注1

性質(zhì)2可推廣到有限個(gè),即證證§6.2定積分的的性質(zhì)性質(zhì)1若?(x)=1,則性性質(zhì)3.若?(x)在[a,b]上可積,k為常數(shù),則k?(x)在[a,b]上也可積,且性質(zhì)4(區(qū)間可加性)若?(x)在點(diǎn)a、b、c所成區(qū)間中最大的一個(gè)上可積,則?(x)在其余兩個(gè)區(qū)間上也可積,且證證分兩種情形討論Ⅰ.若a<c<b,則因?(x)在[a,b]上可積知,其積分和的極限存在且與[a,b]的分法和的取法無(wú)關(guān).性質(zhì)3.若?(x)在[a,b]上可積,k為常數(shù),從而因而可將點(diǎn)c作為區(qū)間的一個(gè)分點(diǎn),并記積分和,當(dāng)時(shí),分別是?(x)在[a,c]與[c,b]上的對(duì)上式兩邊取極限,有從而因而可將點(diǎn)c作為區(qū)間的一個(gè)分點(diǎn),并記積分和,Ⅱ.若點(diǎn)c不在內(nèi).不妨設(shè)a<b<c,其他情形可類似證明,則由Ⅰ有性質(zhì)5

若?(x)與g(x)在[a,b]上都可積,且,均有則證Ⅱ.若點(diǎn)c不在內(nèi).不妨設(shè)a<b<c,其他情形可性質(zhì)6若?(x)在[a,b]上連續(xù),但不恒為零,必有證因在[a,b]上但不恒為零,故在[a,b]上至少存在一點(diǎn)不妨設(shè)使得由?(x)的連續(xù)性知,在的某鄰域內(nèi),必有性質(zhì)6若?(x)在[a,b]上連續(xù),例4

確定積分性質(zhì)7

若?(x)在[a,b]上可積,則|?(x)|在[a,b]上也可積,且有的符號(hào).證例4確定積分性質(zhì)7若?(x)在[a,b]上可積,性質(zhì)8(估值定理)若?(x)在[a,b]上可積,且則證均有性質(zhì)8(估值定理)若?(x)在[a,b]上可積,且則此性質(zhì)的幾何解釋:

區(qū)間[a,b]上方以曲線y=?(x)為曲邊的曲邊梯形的面積,介于以[a,b]為底、以被積函數(shù)?(x)的最小值m及最大值M為高的兩個(gè)矩形的面積之間.此性質(zhì)的幾何解釋:區(qū)間[a,b]上方以曲線y=?(x性質(zhì)9(積分中值定理)若?(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上至少

證因?(x)∈C[a,b],則?(x)在[a,b]上必有,最小值m及最大值M,均有存在一點(diǎn)使得性質(zhì)9(積分中值定理)若?(x)在[a,b]上連續(xù),即此性質(zhì)的幾何解釋:注3通常把

區(qū)間[a,b]上方以曲線y=?(x)為曲邊的曲邊梯形的面積,等于以區(qū)間[a,b]為底、以?(ξ)為高的這個(gè)矩形的面積.從而則由連續(xù)函數(shù)的介值定理,至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得稱為?(x)在[a,b]上的平均值.稱為?(x)在[a,b]上的平均值.即此性質(zhì)的幾何解釋:注3通常把區(qū)間[a,例6.4

比較下列積分的大小解當(dāng)x∈[0,1]時(shí),有由性質(zhì)3知令例6.4比較下列積分的大小解當(dāng)x∈[0,1]時(shí),有由所以f(x)在[0,1]上單調(diào)增加,又f(0)=－1,f(1)=0,故f(x)≤0,即所以f(x)在[0,1]上單調(diào)增加,又f(0)=－1,f(1例6.5

估計(jì)定積分值的范圍:解

(1)設(shè),為估計(jì)定積分的值,先求出f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最大值和最小值.令,得唯一駐點(diǎn)x=0,且為極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)最大值M=f(0)=e0=1例6.5估計(jì)定積分值的范圍:解(1)設(shè)由定積分性質(zhì)3可知又f(－1)=e－1,f(2)=e－4,所以最小值m=f(2)=e－4.(2)設(shè),求f(x)在上的最大值和最小值.由定積分性質(zhì)3可知又f(－1)=e－1,當(dāng)時(shí),x<tanx,所以從而f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)下降,故當(dāng)時(shí),x<tanx,所以從由性質(zhì)3,有即由性質(zhì)3,有即例6.6

由曲線y=f(x)及直線x=a,x=b,x軸所圍成的平面圖形的面積為解例6.6由曲線y=f(x)及直線x=a,x=b,x軸所§6.3微積分學(xué)基本定理

由§6.1知定積分是一個(gè)復(fù)雜和式的極限,但要想通過求積分和的極限來(lái)得到定積分的值,卻非常困難;下面尋求一種計(jì)算定積分的非常簡(jiǎn)便的新方法——牛頓萊布尼茲(Netwon-Laibniz)公式計(jì)算法.一.積分上限函數(shù)設(shè)?(x)在[a,b]上連續(xù),區(qū)間[a,x]上方的曲邊梯形的面積為?(x)在區(qū)間[a,x]上的定積分§6.3微積分學(xué)基本定理由§6.1知定積為了區(qū)別積分變量與積分上限,特將積分變量記為t,這是一個(gè)關(guān)于積分上限x的函數(shù),并記為Φ(x),即注1

定理5

若?(x)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上可導(dǎo),且證設(shè)x、x+?x

∈[a,b],則有?Φ(x)=Φ(x+?x)–Φ(x)由積分中值定理得?Φ(x)=?(ξ)?x(ξ在x與x+?x之間),當(dāng)?x→0時(shí),必有ξ→x,從而為了區(qū)別積分變量與積分上限,特將積分變量記為t,這是而注2

對(duì)于變上限的復(fù)合函數(shù)有以下兩個(gè)推論推論1

若?(x)在[a,b]上連續(xù),

(x)在[a,b]上可導(dǎo),則(被積函數(shù)代積分上限且積分上限對(duì)x求導(dǎo))而注2對(duì)于變上限的復(fù)合函數(shù)有以下兩個(gè)推論推論1若?(推論2

若?(x)在[a,b]上連續(xù),

例7計(jì)算下列各題證在[a,b]上可導(dǎo),則推論2若?(x)在[a,b]上連續(xù),定積分-教學(xué)講解課件例6.7

求下列極限:解(1)屬型,對(duì)分子分母分別求導(dǎo),有例6.7求下列極限:解(1)屬型,對(duì)分子分母(2)型,分母用無(wú)窮小量替換,再用洛必達(dá)法則(3)型,分母用無(wú)窮小量替換后用洛必達(dá)法則(2)型,分母用無(wú)窮小量替換,再用洛必達(dá)法則(3)(4)該題在積分號(hào)內(nèi)含有,因積分變量是t,在積分過程中,是常數(shù),故可以提到積分號(hào)外,經(jīng)過變換形式后再用洛必達(dá)法則求極限.(4)該題在積分號(hào)內(nèi)含有,因積分變量是t,在積分例6.8

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且

,.證明證由于f(x)在[a.b]上連續(xù),故F(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且例6.8設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可對(duì)變限積分用積分中值定理,知存在ξ∈(a,x),使因此又由,可知f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加,因而,當(dāng)x>ξ有f(x)≥f(ξ),所以,當(dāng)x∈(a,b)時(shí)對(duì)變限積分用積分中值定理,知存例6.9

設(shè)f(x)連續(xù),,求解例6.9設(shè)f(x)連續(xù),二、牛頓—萊布尼茨公式定理6.2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),F(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則證設(shè)因?yàn)镕(x)與Φ(x)都是f(x)的原函數(shù),由§5.1原函數(shù)概念知,它們僅相差一個(gè)常數(shù)C,即二、牛頓—萊布尼茨公式定理6.2設(shè)f(x)在[a,b]上令x=a,得所以即令x=b,得C=－F(a)記即令x=a,得所以即令x=b,得C=－F(a)記例6.10

求下列積分:解

例6.10求下列積分:解(3)先去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào)(3)先去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào)例6.11

設(shè)求解

例6.11設(shè)求解例6.12

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),且滿足求及f(x).解由于是一個(gè)常數(shù),不妨記為A,即有f(x)=Ax－1對(duì)等式兩端從0到1作定積分,可得即例6.12設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),且滿足求故故例8設(shè)(t)是正值連續(xù)函數(shù),曲線在[–a,a]上是上凹的.x∈[–a,a](a>0).證曲線y=?(x)在[–a,a]上是上凹的.例8設(shè)(t)是正值連續(xù)函數(shù),定理6(原函數(shù)存在定理)注3由定理5知積分上限的函數(shù)是被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).若?(x)在[a,b]上連續(xù),則的一個(gè)原函數(shù).是?(x)在[a,b]上注4此定理既肯定連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性,又揭示了定積分與原函數(shù)的關(guān)系,下面利用此定理來(lái)推導(dǎo)通過原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分的公式.定理6(原函數(shù)存在定理)注3由定理5知積分上限的函數(shù)是被二.牛頓—萊布尼茲公式

定理7(微積分學(xué)基本定理)若?(x)在[a,b]上連續(xù),而F(x)是?(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則C=Φ(a)–F(a)=–F(a),證因F(x)與均為?(x)的原函數(shù),所以有于是Φ(x)=F(x)–F(a)令x=b,則上式有Φ(b)=F(b)–F(a),故Φ(x)=F(x)+C二.牛頓—萊布尼茲公式定理7(微積分學(xué)基本定理)注5

上式就是牛頓—萊布尼茲公式.由牛頓—萊布尼茲公式知:要求?(x)在[a,b]上的定積分只須先求出?(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)F(x),再計(jì)算F(x)在[a,b]上的改變量F(b)–F(a)即可.注6

牛頓—萊布尼茲公式當(dāng)然也可

它不僅給出了計(jì)算定積分的統(tǒng)一、簡(jiǎn)便的計(jì)算方法,而且也揭示了不定積分與定積分在計(jì)算方法上的關(guān)系.這樣記.注5上式就是牛頓—萊布尼茲公式.由牛頓—萊布尼茲公式知:要例9

計(jì)算下列定積分

此定積分的被積函數(shù)含參數(shù)t并帶絕對(duì)值.而t的取值又無(wú)限制,它既可在[0,3]之內(nèi),也可在[0,3]之外,

故應(yīng)分以下三種情況討論:例9計(jì)算下列定積分此定積分的被積函數(shù)含參數(shù)t并帶絕對(duì)值定積分-教學(xué)講解課件

此定積分為積分區(qū)間含參數(shù)的帶有絕對(duì)值的定積分.

當(dāng)∣x–2∣=0時(shí),得x=2.

因此時(shí)的區(qū)間[a,b]位置沒定,故它可能在被積函數(shù)的零點(diǎn)的兩側(cè),也可能在零點(diǎn)之間,亦可能包含零點(diǎn).此定積分為積分區(qū)間含參數(shù)的帶有絕對(duì)值定積分-教學(xué)講解課件例10

設(shè)解令兩邊從0到1積分,得則求?(x).例10設(shè)解令兩邊從0到1積分,得則求?(x).由牛頓—萊布尼茲公式知:計(jì)算定積分

因用湊微分法計(jì)算不定積分時(shí)自始至終沒有引入新變量,故用湊微分法計(jì)算定積分時(shí),也應(yīng)自始至終不改變積分限.下面舉例說明.§6.4定積分的計(jì)算方法一.湊微分法第五章知求函數(shù)的原函數(shù)(即不定積分)的方法有湊微分法、換元法和分部積分法.因而在一定條件下,也可用這幾種方法來(lái)計(jì)算定積分.的關(guān)鍵在于求出?(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)F(x);而由由牛頓—萊布尼茲公式知:計(jì)算定積分因用例11

計(jì)算例11計(jì)算定積分-教學(xué)講解課件一、定積分的換元積分法定理6.3設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),函數(shù)滿足條件(2)在[α,β]上單調(diào),且其導(dǎo)數(shù)連續(xù),則證因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù),故原函數(shù)存在,設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則有一、定積分的換元積分法定理6.3設(shè)f(x)在[a,b]上連又是的一個(gè)原函數(shù),故所以又是例6.13

計(jì)算下列定積分:解

(1)設(shè)當(dāng)x=1時(shí),t=3;當(dāng)x=e時(shí),t=4.例6.13計(jì)算下列定積分:解(1)設(shè)(2)令x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時(shí),t=0,當(dāng)x=a時(shí),,所以(2)令x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時(shí)(3)令,則且當(dāng)x=0時(shí),t=1,x=4時(shí),t=3.(3)令,則定積分-教學(xué)講解課件例6.14

設(shè)f(x)在[－a,a](a>0)上連續(xù),證明:并由此證明若f(x)為奇函數(shù)若f(x)為偶函數(shù)(6.17)證由定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性,有對(duì)積分作代換x=－t,得例6.14設(shè)f(x)在[－a,a](a>0)上連續(xù),證明從而當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),有因此從而當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),有因此當(dāng)f(x)為偶數(shù)時(shí),故當(dāng)f(x)為偶數(shù)時(shí),故注利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的計(jì)算.例13

計(jì)算解(1)被積函數(shù)為奇函數(shù).則原式=0.令x=tanu,則(2)被積函數(shù)為偶函數(shù),故注利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的例13計(jì)算例14.設(shè)解設(shè)x=t+2,則t=x–2,dx=dt例14.設(shè)解設(shè)x=t+2,則t=x–2,例6.15

設(shè)f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù),且是以T為周期的周期函數(shù),證明:證

(1)作變量變換,令x=u+T,則當(dāng)x=a+T時(shí),u=a,當(dāng)x=b+T時(shí),u=b,故有例6.15設(shè)f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù),且是以T為周由(1)可知故若f(x)是以T為周期的奇函數(shù),則在(2)式中取,由(1)可知故若f(x)是以T為周期的奇函數(shù),即有周期的奇函數(shù),在一個(gè)周期上的積分為零.得即有周期的奇函數(shù),在一個(gè)周期上的積分為零.得例6.16

如f(x)在[0,1]上連續(xù),證明:證

(1)令,則當(dāng)x=0時(shí),時(shí),t=0,例6.16如f(x)在[0,1]上連續(xù),證明:證(1)由此我們可以得到(2)令,則移項(xiàng),得由此我們可以得到(2)令,則移項(xiàng)例6.17

設(shè)f(x)在[－1,1]上連續(xù),且滿足方程求解

先求出f(x).對(duì)等式兩邊積分例6.17設(shè)f(x)在[－1,1]上連續(xù),且滿足方程求解所以從而所以從而例12當(dāng)a>0時(shí),計(jì)算例12當(dāng)a>0時(shí),計(jì)算注1由幾何意義知,此定積分即為圓注1由幾何意義知,此定積分即為圓在第Ι象限的面積.性質(zhì)1設(shè)?(x)在[?a,a]上連續(xù),則證

(1)若為?(x)偶函數(shù),則有?(x)=?(?x)令x=?t,則dx=?dt,且在第Ι象限的面積.性質(zhì)1設(shè)?(x)在[?a,a]上連續(xù),從而(2)若為?(x)奇函數(shù),則有?(x)=??(?x)令x=?t,則dx=?dt,且從而從而(2)若為?(x)奇函數(shù),則有?(x)=??(?注2利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的計(jì)算.例13

計(jì)算解(1)被積函數(shù)為奇函數(shù).則原式=0.令x=tanu,則(2)被積函數(shù)為偶函數(shù),故注2利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的例13計(jì)例14.設(shè)解設(shè)x=t+2,則t=x–2,dx=dt例14.設(shè)解設(shè)x=t+2,則t=x–2,性質(zhì)2設(shè)?(x)在[0,1]上連續(xù),則性質(zhì)2設(shè)?(x)在[0,1]上連續(xù),則三.分部積分法定理9

若u=u(x)及v=v(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則三.分部積分法定理9若u=u(x)及v=v(x)在二、定積分的分部積分法

定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法有類似的公式二、定積分的分部積分法定積分的分部積分法與不定理9

若u=u(x)及v=v(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則證因d(uv)=udv+vdu,兩邊積分得注3注4

用分部積分法計(jì)算定積分,因沒有引入新的變量,故在計(jì)算過程中自始至終均不變限,u

、v的選擇與不定積分的分部積分法相同.定理9若u=u(x)及v=v(x)在[a,b]上例計(jì)算例計(jì)算定積分-教學(xué)講解課件例16設(shè)在[0,1]上連續(xù),求解例16設(shè)在[0,1]上連續(xù),求解例6.18

求下列定積分:解(1)令例6.18求下列定積分:解(1)令定積分-教學(xué)講解課件定積分-教學(xué)講解課件定積分-教學(xué)講解課件例6.19

證明定積分公式n為正偶數(shù);n為正奇數(shù).(6.22)例6.19證明定積分公式n為正偶數(shù);n為正奇數(shù).(6.2證

由此可得類推公式證由此可得類推公式當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),又當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),又其中m為正整數(shù).其中m為正整數(shù).一、無(wú)窮限反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分三、Г函數(shù)第五節(jié)反常積分一、無(wú)窮限反常積分第五節(jié)反常積分(1)有界函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的積分,稱為無(wú)窮限積分.(2)無(wú)界函數(shù)在有限區(qū)間上的積分,稱為瑕積分.

這兩種積分統(tǒng)稱為反常積分或廣義積分.一、無(wú)窮限的反常積分定義6.2

設(shè)函數(shù)f(x)在無(wú)窮限區(qū)間[a,+∞)上有定義,且對(duì)任意實(shí)數(shù)b>a,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積,則稱記號(hào)(1)有界函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的積分,稱為無(wú)窮限積分.一、無(wú)窮限為函數(shù)f(x)在無(wú)限區(qū)間[a,+∞)上的無(wú)窮限積分.若極限存在,則稱無(wú)窮限積分收斂,并定義極限值為該無(wú)窮限積分的值,記作若極限(6.23)不存在,則稱無(wú)窮限積分發(fā)散.為函數(shù)f(x)在無(wú)限區(qū)間[a,+∞)上的無(wú)窮限積分.若極限存定積分-教學(xué)講解課件存在,則稱該極限為f(x)在區(qū)間(－∞,b]上的無(wú)窮限積分,記作設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞,b]上有定義,若這時(shí)也稱無(wú)窮限積分收斂.如果極限不存在,就稱無(wú)窮限積分發(fā)散.存在,則稱該極限為f(x)在區(qū)間(－∞,b]上的無(wú)窮限積分,都收斂,則稱無(wú)窮限積分收斂.若上述兩個(gè)無(wú)窮限積分中有一個(gè)發(fā)散或兩個(gè)都發(fā)散,則此無(wú)窮限積分發(fā)散.

設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)上有定義,若對(duì)任意實(shí)數(shù)c,無(wú)窮限積分和都收斂,則稱無(wú)窮限積分收例6.20

討論下列無(wú)窮限積分的斂散性解例6.20討論下列無(wú)窮限積分的斂散性解定積分-教學(xué)講解課件因?yàn)椴淮嬖?所以發(fā)散.因?yàn)椴淮嬖?所以例6.21

討論下列無(wú)窮限積分的斂散性解

(1)對(duì)不同的p值分別討論當(dāng)p=1時(shí),,發(fā)散.當(dāng)p≠1時(shí),例6.21討論下列無(wú)窮限積分的斂散性解(1)對(duì)不同的p故,當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散;即,發(fā)散,收斂當(dāng)p>1時(shí)收斂,收斂到

該題告訴我們這一類函數(shù)的無(wú)窮限積分的斂散性.故,當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散;即,發(fā)散,收斂當(dāng)p定積分-教學(xué)講解課件二、無(wú)界函數(shù)的反常積分定義6.3

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,且對(duì)

0<ε<b－a,f(x)在[a+ξ,b]上可積,但當(dāng)x→a+時(shí),f(x)→∞則稱a為f(x)的瑕點(diǎn).稱為f(x)在(a,b]區(qū)間上的反常積分(也稱瑕積分),若極限存在,則稱反常積分收斂,并以此極限作為其值,即二、無(wú)界函數(shù)的反常積分定義6.3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)

若存在,則稱反常積分收斂,并定義其值為極限值,即若極限不存在,則稱反常積分發(fā)散.

類似地可以定義b點(diǎn)為瑕點(diǎn)時(shí)的反常積分.即當(dāng)x→b－時(shí)函數(shù)f(x)→∞,反常積分的斂散性.若

若極限不存在,則稱反常積分

發(fā)散.

如果f(x)在[a,b]內(nèi)部有一點(diǎn)c,即a<c<b,使得

,則規(guī)定兩個(gè)反常積分與均收斂時(shí),積分收斂,且否則稱反常積分發(fā)散.若極限定積分-教學(xué)講解課件例6.22

討論下列反常積分的斂散性:解

(1)被積函數(shù)在區(qū)間[0,2)上連續(xù),x=2為瑕點(diǎn).例6.22討論下列反常積分的斂散性:解(1)被積函數(shù)(2)x=0為瑕點(diǎn)注意:(2)x=0為瑕點(diǎn)注意:(3)x=1為瑕點(diǎn),且x=1是區(qū)間[0,2]的內(nèi)點(diǎn),因此需將積分分成兩部分來(lái)計(jì)算.其中所以該反常積分發(fā)散.(3)x=1為瑕點(diǎn),且x=1是區(qū)間[0,2]的內(nèi)點(diǎn),因此需將例6.23

討論反常積分的斂散性.解

x=0為瑕點(diǎn).當(dāng)q=1時(shí),例6.23討論反常積分當(dāng)q≠1時(shí),綜上所述,收斂,發(fā)散(6.29)當(dāng)q≠1時(shí),綜上所述,收斂,發(fā)散(6.29)定積分-教學(xué)講解課件三、Г函數(shù)定義6.4

含參變量α(α>0)的反常積分稱為Г函數(shù).Г函數(shù)在后續(xù)課—概率統(tǒng)計(jì)中有重要的應(yīng)用.Г函數(shù)有如下性質(zhì):三、Г函數(shù)定義6.4含參變量α(α>0)的反常積分稱為Г證

當(dāng)α∈(n,n+1)時(shí),可由上述遞推公式得證當(dāng)α∈(n,n+1)時(shí),可由上述遞推公式得當(dāng)α=n時(shí),又所以有當(dāng)α=n時(shí),又所以有例6.24

計(jì)算積分解(1)令λx=t,則例6.24計(jì)算積分解(1)令λx=t,則定積分-教學(xué)講解課件定積分-教學(xué)講解課件§6.5廣義積分

前面討論的定積分不僅要求積分區(qū)間[a,b]有限,而且還要求被積函數(shù)?(x)在[a,b]上有界.然而實(shí)際還經(jīng)常遇到無(wú)限區(qū)間或無(wú)界函數(shù)的積分問題.這兩類積分統(tǒng)稱為廣義積分.其中前者稱為無(wú)窮積分,后者稱為瑕積分.

對(duì)于廣義積分的計(jì)算是以極限為工具來(lái)解決的,即先將廣義積分轉(zhuǎn)化為定積分,再對(duì)該定積分求極限.一.無(wú)窮積分形如的積分,統(tǒng)稱為無(wú)窮積分.§6.5廣義積分前面討論的定積分不僅要不再表示數(shù)值了,無(wú)窮積分沒有意義.定義2

設(shè)?(x)在[a,+∞)上連續(xù),且當(dāng)b>a時(shí),若極限收斂;否則,發(fā)散.存在,則稱無(wú)窮積分就稱無(wú)窮積分此時(shí)記號(hào)注1若注2類似地可定義而則只有無(wú)窮積分同時(shí)收斂時(shí),才有收斂.不再表示數(shù)值了,無(wú)窮積分沒有意義.定義2設(shè)?(x)在例17計(jì)算廣義積分例17計(jì)算廣義積分例18討論無(wú)窮積分解當(dāng)p=1時(shí),而當(dāng)p≠1時(shí),當(dāng)p>1時(shí),重要結(jié)論:收斂;發(fā)散.當(dāng)p≤1時(shí),例18討論無(wú)窮積分解當(dāng)p=1時(shí),而當(dāng)p≠1

若?(x)在[a,b]上有無(wú)界點(diǎn)(即無(wú)窮間斷點(diǎn)),則稱積分二.瑕積分為瑕積分,并稱?(x)的無(wú)界點(diǎn)為瑕點(diǎn).注3若瑕點(diǎn)為a的積分定義2

設(shè)?(x)在(a,b]上連續(xù),且則稱瑕積分不再表示數(shù)值了,從而沒有意義.ε>0,總有極限若對(duì)于任給的存在.收斂;否則,稱瑕積分此時(shí)的瑕積分收斂,則若?(x)在[a,b]上有無(wú)界點(diǎn)(即無(wú)窮間注4

類似地可定義瑕點(diǎn)在積分區(qū)間的右端點(diǎn)b和內(nèi)點(diǎn)(1)若瑕點(diǎn)為b,則定義(2)若瑕點(diǎn)為c(a<c<b),則定義的斂散性,即c(a<c<b)時(shí),瑕積分例19計(jì)算瑕積分注4類似地可定義瑕點(diǎn)在積分區(qū)間的右端點(diǎn)b和內(nèi)點(diǎn)(1)若瑕例20討論瑕積分的斂散性.例20討論瑕積分的斂散性.而當(dāng)p≠1時(shí),重要結(jié)論:當(dāng)p≥1時(shí),發(fā)散.當(dāng)p<1時(shí),收斂;解因x=a為瑕點(diǎn),而當(dāng)p=1時(shí),而當(dāng)p≠1時(shí),重要結(jié)論:當(dāng)p≥1時(shí),一、平面圖形的面積二、立體的體積三、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用第六節(jié)定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積第六節(jié)定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積

當(dāng)f(x)≥0且在[a,b]上連續(xù)時(shí),由曲線y=f(x),直線x=a,y=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為1.由連續(xù)曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍區(qū)域D的面積為一、平面圖形的面積當(dāng)f(x)≥0且在[a,b]2.由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x)和直線x=a,x=b(a<b)當(dāng)y=f(x),y=g(x)如圖所示時(shí),則有所圍平面區(qū)域D的面積為2.由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x)和直線x=a,x=b當(dāng)y=f(x),y=g(x)如圖所示時(shí),則有當(dāng)y=f(x),y=g(x)如圖所示時(shí),則有3.由連續(xù)曲線及直線y=c,y=d(c<d)所圍平面區(qū)域D的面為下圖所示區(qū)域D的面積為3.由連續(xù)曲線下圖所示區(qū)域D的面積為下圖所示區(qū)域D的面積為例6.25

求由曲線y=sinx,直線和y=0所圍平面區(qū)域的面積.解先畫出區(qū)域D的圖形,如圖所示.

由于當(dāng)x∈時(shí),sinx≥0,所以所以例6.25求由曲線y=sinx,直線例6.26

求出曲線y=x3,所圍平面圖形的面積.解畫出草圖,如圖所示.兩曲線的交點(diǎn)為(0,0),(1,1)故例6.26求出曲線y=x3,所圍平面例6.27

求由曲線y=sinx,y=cosx和直線x=0,x=π所圍平面圖形的面積(圖6.19).解例6.27求由曲線y=sinx,y=cosx和直線x=0,例6.28

求橢圓(a>0,b>0)的面積.解由圖形的對(duì)稱性可知,只要求出第一象限的面積乘以4即可.在第一象限例6.28求橢圓(a令x=asint,則,則令x=asint,則例6.29

求由曲線y2=2x+1與直線y=x－1所圍成的面積.解畫草圖(圖6.21).求曲線交點(diǎn),得交點(diǎn)(0,－1),(4,3),例6.29求由曲線y2=2x+1與直線y=x－1所圍成的例6.30

設(shè)拋物線y=bx－x2(b>0)與x軸所圍成圖形被拋物線y=ax2(a>0)分成面積相等的兩部分,求證a是與b無(wú)關(guān)的常數(shù),并求a的值.證拋物線y=bx－x2與x軸的交