工程塑性理論應力應變關系第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

塑性力學的基本方程與彈性力學基本方程的差別主要表現(xiàn)在應力應變關系上。

塑性變形時，應力不僅與應變有關，還與變形歷史、材料微觀結構有關。

通常將塑性變形時的應力應變關系稱為本構關系，其數(shù)學表達式稱為本構方程，也叫做物理方程。第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月1彈性應力應變關系式中：E—拉壓彈性模量；μ—泊松比；

G—剪切彈性模量。廣義虎克定律：第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月＋＋＋＋球應變與球應力成正比。應力球張量使物體產生彈性體積變化。第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月—第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月｛｝第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月偏應變與偏應力成正比。應力偏張量使物體產生彈性形狀變化。第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月物體的體積變形與球應力成正比，與偏應力無關；物體的形狀變化與偏應力成正比，與球應力無關。在進行應力分析與應變分析時，將一點的應力張量和應變張量分解為球張量和偏張量是有明確物理意義的：這一結論對研究塑性變形時的應力應變關系是十分重要的。第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月可以將廣義虎克定律寫成張量的形式，即

第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性應力應變關系塑性變形時假設比例系數(shù)為未知，并求之.第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2

塑性應力應變關系

2.1增量理論

2.2全量理論

2.3應力應變順序對應規(guī)律第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1增量理論

增量理論又稱流動理論。在增量理論中，應用最廣泛的有：

列維—米塞斯(Levy—Mises)理論；

普朗特—勞斯(Prandtl—Reuss)理論。第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月假設

(a)假設材料為剛塑性材料，即彈性應變增量為零，塑性應變增量就是總的應變增量；

(b)材料符合米塞斯屈服準則：；

(c)在每一加載瞬時，應力主軸與應變增量主軸重合；

(d)材料在塑性變形過程中滿足體積不變條件，即應變增量張量就是應變增量偏張量。

（1）列維—米塞斯理論第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

在上述假設基礎上，可假設應變增量與應力偏張量成正比，即式中：dλ—正的瞬時常數(shù)，在加載的不同瞬時是變化的，在卸載時，dλ=0。第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式正應變兩兩相減，并寫出切應變公式：代入以下公式第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月P42類似廣義Hooke定律第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月將增量理論式兩邊除以時間dt，可得應力—應變速率方程，稱為圣文南塑性流動方程。即：（2）應力—應變速率方程第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月與粘性流體的牛頓公式相似，故稱為塑性流動方程。Levy-Mises方程實際上是塑性流動方程的增量形式。若不考慮應變速率對材料性能的影響，二者是一致的。第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

列維—米塞斯理論沒有考慮彈性變形的影響，因此，僅適用于大塑性變形問題。

普朗特—勞斯理論考慮了彈性變形部分，即（3）普朗特—勞斯(Prandtl-Reuss)理論第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月塑性應變增量由列維—米塞斯理論給出，彈性應變增量由廣義虎克定律的微分形式給出。

將廣義虎克定律式微分后，可得第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2全量理論

增量理論雖然比較嚴密，但在應用時需沿加載路徑進行積分，從工程應用的角度上講是不方便的。因此，許多學者例如漢蓋(Hencky)、那達依(Nadai)、伊留申(Ильюшин)相繼提出了描述應力與全量應變之間的關系，稱為全量理論，也稱形變理論。在此只介紹較為實用的伊留申全量理論。第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

伊留申指出，在塑性變形時，只有滿足簡單加載（也稱比例加載）條件時，才可以建立全量應變與應力之間的關系。所謂簡單加載，是指在加載過程中，所有的外力從一開始就按同一比例增加。第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

為了建立全量理論，需提出如下幾點假設，即

(a)應力主方向與應變主方向是重合的；

(b)塑性變形時體積保持不變；

(c)應力偏量分量與應變偏量分量成比例；

第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月(d)等效應力是等效應變的函數(shù)，而這個函數(shù)對每個具體材料都應通過實驗來確定，即式中：E/—塑性模量

E/與材料性質和塑性變形程度有關。第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月根據以上假設，可以寫出如下方程，即式中：G’—塑性剪切模量。G’與材料性質和塑性變形程度有關。第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3應力應變順序對應規(guī)律

◆應力應變順序對應關系

◆應力應變的中間關系第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）應力應變順序對應關系第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）應力應變的中間關系2s

231ss+

2e

0

應力應變的中間關系的含義是：

當

的關系保持不變時，相應地有

第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3等效應力—等效應變曲線的單一性

塑性變形時的應力應變之間的關系，總可歸結為等效應力與等效應變之間的關系，即

這種關系只與材料性質、變形條件有關，而與應力狀態(tài)無關。實驗表明，按不同應力組合所得到的等效應力與等效應變曲線與簡單拉伸時的應力—應變曲線基本相同。第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，通?？梢约僭O，對于同一種材料，在變形條件相同的條件下，等效應力與等效應變曲線是單一的，稱為單一曲線假設。由此假設，就可以采用最簡單的實驗方法來確定材料的等效應力與等效應變曲線。常用的實驗方法有以下三種:

（1）單向拉伸實驗

（2）單向壓縮實驗

（3）平面應變壓縮實驗第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月圓柱體單向拉伸時的應力狀態(tài)為：

σ1

，σ2=σ3=0；

應變狀態(tài)為：

ε1=-（ε2+ε3），ε2=ε3＝-ε1/2。（1）單向拉伸實驗第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月圓柱體單向壓縮時的應力狀態(tài)為：

σ3

，σ1=σ2=0；

應變狀態(tài)為：

ε3=-（ε1+ε2），ε1=ε2＝-ε3/2。（2）單向壓縮實驗

第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

除應力的正負號相反外，圓柱體單向壓縮與單向拉伸時的應力狀態(tài)是相同的，仍有

第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

單向拉伸實驗時，由于縮頸的出現(xiàn)，使得應變量較小，從而限制了其使用范圍。為了獲得較大應用范圍的曲線，就需要采用圓柱體試樣的軸對稱單向壓縮實驗。單向壓縮實驗的主要問題是試樣與工具之間不可避免地存在著摩擦，摩擦力的存在會改變試樣的單向均勻壓縮狀態(tài)，并使圓柱體試樣出現(xiàn)鼓形，由此所得到的應力也就不是真實應力。因此，消除接觸表面間的摩擦是獲得精確的單向壓縮應力—應變曲線的關鍵。第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）平面應變壓縮實驗

如果被加工工件為厚度較薄的板料，進行圓柱體單向拉伸實驗或單向壓縮實驗是非常困難的，此時可以采用平面應變壓縮實驗。

第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月設平面應變壓縮時的板料寬度為W，工具寬度為b，厚度為h，則一般取W/b=6～10，b=(2～4)h，此時，沿板料寬度方向的寬展可忽略不計，可將板料看作是處于平面應變狀態(tài)。第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

平面應變單向壓縮時的應力狀態(tài)和應變狀態(tài)為第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月4等效應力—等效應變曲線

的簡化模型

采用上述的實驗方法所得到的等效應力—等效應變曲線比較復雜，不能用簡單的函數(shù)形式來描述，在應用上是不方便的。在工程應用上，通常將實驗所得到的曲線處理成可以用某一函數(shù)表達的形式。第46頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）理想彈塑性材料模型該模型適合于應變不太大、強化程度較小的材料。第47頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）理想剛塑性材料模型對于熱加工范圍內的金屬變形都宜采用該模型。第48頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）冪指數(shù)硬化材料模型對大多數(shù)金屬材料都是適用的。

第49頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）剛塑性非線性硬化材料模型適合于預先經過冷加工的金屬。材料在屈服前為剛性的