第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與

分步乘法計數(shù)原理第十一章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)固本增分研考點精準突破課標解讀1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步”.2.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.強基礎(chǔ)固本增分兩個基本計數(shù)原理

類類獨立,不重不漏

步步相依,步驟完整名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N=

m+n

種不同的方法

完成這件事共有N=

m×n

種不同的方法

依據(jù)能否獨立完成整件事能否逐步完成整件事名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理推廣完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法微點撥1.分類加法計數(shù)原理中,完成一件事的各種方法是相互獨立的.從集合角度看,如果完成一件事有A,B兩類方案,集合A與B的交集為空集,在A中有m1個元素(m1種方法),在B中有m2個元素(m2種方法),則完成這件事的不同方法的種數(shù)即為集合A∪B中元素的個數(shù),即m1+m2.2.分步乘法計數(shù)原理中,必須且只需連續(xù)完成n個步驟后才能完成這件事,各個步驟之間不重復(fù)、不遺漏.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(

)2.在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的每種方法都能直接完成這件事.(

)3.在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)4.在分步乘法計數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(

)×√√×題組二

雙基自測5.

如圖,從甲地到乙地有3條路,從乙地到丁地有2條路;從甲地到丙地有2條路,從丙地到丁地有4條路.則從甲地到丁地不同的路線有(

)A.11條

B.12條 C.13條

D.14條答案

D解析

從甲到丁分為兩類,第一類,從甲過乙到丁分兩步,從甲地到乙地有3條路,從乙地到丁地有2條路,由分步乘法計數(shù)原理得,從甲到丁有6種走法;第二類,從甲過丙到丁分兩步,從甲地到丙地有2條路,從丙地到丁地有4條路,由分步乘法計數(shù)原理得,從甲到丁有8種走法.再由分類加法計數(shù)原理得,從甲到丁共有6+8=14種走法.6.

由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成

個各位上數(shù)字可以重復(fù)的三位數(shù).

答案

125解析

由題意,百位、十位和個位上的數(shù)字均有5種選法,所以由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成5×5×5=125個三位數(shù).研考點精準突破考點一分類加法計數(shù)原理題組(1)(2023·江蘇宿遷模擬)如圖,一條電路從A處到B處接通時,可以有

條不同的線路(每條線路僅含一條通路).

(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被踢回給甲,則不同的傳遞方式共有

種.

(3)如果把個位數(shù)是1,且恰有三個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”,那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,“好數(shù)”共有

個.

答案

(1)9

(2)6

(3)12解析

(1)依題意按上、中、下三條線路可分為三類:上線路中有2種;中線路中只有1種;下線路中有2×3=6(種).根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有2+1+6=9(種).(2)分兩類:甲第一次踢給乙時,有3種滿足條件的傳遞方式(如圖);同理,甲第一次踢給丙時,滿足條件的也有3種傳遞方式,由分類加法計數(shù)原理,可知不同傳遞方式的種數(shù)為3+3=6.(3)當有三個1時:2

111,3

111,4

111,1

211,1

311,1

411,1

121,1

131,1

141,有9種,當分別有三個2,3,4時,分別是2

221,3

331,4

441,有3種,根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知,共有12種結(jié)果.規(guī)律方法

利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

考點二分步乘法計數(shù)原理例題(1)有六名同學報名參加三個智力項目,每項恰好報一人,且每人至多參加一項,則共有

種不同的報名方法.

(2)(2023·福建廈門模擬)為提升市民的藝術(shù)修養(yǎng),豐富精神文化生活,某圖書館開設(shè)了工藝、繪畫、雕塑等公益講座,講座海報如圖所示.某人計劃用三天時間參加三場不同類型講座,則共有

種選擇方案.(用數(shù)字作答)

答案

(1)120

(2)8解析

(1)每項限報一人,且每人至多參加一項,因此可由項目選人,第一個項目有6種選法,第二個項目有5種選法,第三個項目有4種選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有6×5×4=120(種).(2)由講座海報可知,先選擇一天參加繪畫講座的方案有2種,再選擇一天參加雕塑講座,有2種方案,最后再在剩下的2天里選擇一天參加工藝講座,有2種,所以一共有2×2×2=8種選擇方案.引申探究1(換條件)例題(1)中若將條件“每項恰好報一人,且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項,每項人數(shù)不限”,則有多少種不同的報名方法?解

每人都可以從這三個比賽項目中選報一項,各有3種不同的報名方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有36=729(種).引申探究2(換條件)例題(1)中若將條件“每項恰好報一人,且每人至多參加一項”改為“每項恰好報一人,但每人參加的項目不限”,則有多少種不同的報名方法?解

每人參加的項目不限,因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參加,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有63=216(種).規(guī)律方法

利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個步驟是相互依存的,只有各個步驟都完成了,才算完成這件事.(2)分步必須滿足的兩個條件:一是各步驟相互獨立,互不干擾;二是步與步之間確保連續(xù),逐步完成.對點訓練(2022·山東濟南三模)“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種,既可順讀,也可倒讀.比如,一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián):霧鎖山頭山鎖霧,天連水尾水連天.由此定義“回文數(shù)”,n為自然數(shù),且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)n'與n相等,這樣的n稱為“回文數(shù)”,如:1221,2413142.則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有(

)A.648個 B.720個 C.810個

D.891個答案

D解析

根據(jù)“回文數(shù)”的特點,只需確定前3位即可,最高位即萬位有9種排法,千位和百位各有10種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有9×10×10=900種排法,其中各位數(shù)字相同的共有9種,則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有900-9=891種.考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1與數(shù)字有關(guān)的問題例題用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù),各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù),且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次,則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為(

)A.81 B.48 C.36 D.24答案

B解析

根據(jù)題意,數(shù)字3至多出現(xiàn)一次,分2種情況討論:①數(shù)字3不出現(xiàn),此時四位數(shù)的每個數(shù)位都可以為6或9,都有2種情況,則此時四位數(shù)有2×2×2×2=16個;②數(shù)字3出現(xiàn)1次,則數(shù)字3出現(xiàn)的情況有4種,剩下的三個數(shù)位,可以為6或9,都有2種情況,此時四位數(shù)有4×2×2×2=32個,故有16+32=48個四位數(shù).規(guī)律方法

利用兩個計數(shù)原理解決問題的一般步驟

考向2涂色問題例題如圖,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的涂色方法共有

種.

答案

72解析

(方法1)由題圖可知,2區(qū)與4區(qū)不相鄰,3區(qū)與5區(qū)不相鄰,且不相鄰的區(qū)域可用同1種顏色涂色,所以最少可用3種顏色,故可根據(jù)選用顏色的種數(shù)進行分類.第1類,使用3種顏色,則2區(qū)與4區(qū)同色,3區(qū)與5區(qū)同色,可分三步進行涂色:第1步,涂2區(qū)與4區(qū),有4種顏色可選;第2步,涂3區(qū)與5區(qū),有3種顏色可選(除涂2區(qū)、4區(qū)的顏色);第3步,涂1區(qū),有2種顏色可選(除前2步所選的顏色).由分步乘法計數(shù)原理知,該類涂色方法共有4×3×2=24(種).第2類,使用4種顏色,2區(qū)與4區(qū)同色,3區(qū)與5區(qū)不同色,可分4步進行涂色:第1步,涂2區(qū)與4區(qū),有4種顏色可選;第2步,涂1區(qū),有3種顏色可選;第3步,涂3區(qū),有2種顏色可選;第4步,涂5區(qū),有1種顏色可選.由分步乘法計數(shù)原理可知,該類涂色方法共有4×3×2×1=24(種).第3類,使用4種顏色,3區(qū)與5區(qū)同色,2區(qū)與4區(qū)不同色,同理可得該類涂色方法共有24種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同的涂色方法共有24+24+24