專題15概率與統(tǒng)計(jì)（解答題）（理）知識(shí)點(diǎn)目錄知識(shí)點(diǎn)1：獨(dú)立事件的乘法公式知識(shí)點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析知識(shí)點(diǎn)3：頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)4：求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望知識(shí)點(diǎn)5：概率遞推問題近三年高考真題知識(shí)點(diǎn)1：獨(dú)立事件的乘法公式1．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價(jià)格變化時(shí)，用“SKIPIF1<0”表示“上漲”；即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高，用“SKIPIF1<0”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低：用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<000SKIPIF1<0第21天到第40天0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0用頻率估計(jì)概率．（Ⅰ）試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的，在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）知識(shí)點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析2．（2023?甲卷（理））一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：SKIPIF1<0．（1）設(shè)SKIPIF1<0表示指定的兩只小鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?．218.820.221.322.523.225.826.527.530.14．634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?．89.211.412.413.215.516.518.018.819.26．820.221.622.823.623.925.128.232.336.5SKIPIF1<0求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)SKIPIF1<0，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于SKIPIF1<0與不小于SKIPIF1<0的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組SKIPIF1<0根據(jù)SKIPIF1<0中的列聯(lián)表，能否有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<00.1000.0500.010SKIPIF1<02.7063.8416.6357．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，SKIPIF1<0表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，SKIPIF1<0表示事件“選到的人患有該疾病”，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為SKIPIF1<0．（?。┳C明：SKIPIF1<0；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出SKIPIF1<0的估計(jì)值．附：SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.0500.0100.001SKIPIF1<03.8416.63510.828知識(shí)點(diǎn)3：頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用8．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值SKIPIF1<0，將該指標(biāo)大于SKIPIF1<0的人判定為陽(yáng)性，小于或等于SKIPIF1<0的人判定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為SKIPIF1<0（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為SKIPIF1<0（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率SKIPIF1<0（c）SKIPIF1<0時(shí)，求臨界值SKIPIF1<0和誤診率SKIPIF1<0（c）；（2）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0（c）SKIPIF1<0（c）SKIPIF1<0（c）．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（c）的解析式，并求SKIPIF1<0（c）在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值．9．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為SKIPIF1<0，該地區(qū)年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘腟KIPIF1<0．從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)4：求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望10．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件SKIPIF1<0為小明取到紅色外觀的模型，事件SKIPIF1<0為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求SKIPIF1<0（B）和SKIPIF1<0，并判斷事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)SKIPIF1<0為獎(jiǎng)金額，寫出SKIPIF1<0的分布列并求出SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望．11．（2022?甲卷（理））甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用SKIPIF1<0表示乙學(xué)校的總得分，求SKIPIF1<0的分布列與期望．12．（2022?北京）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到SKIPIF1<0以上（含SKIPIF1<0的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：SKIPIF1<0甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．（Ⅰ）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0；（Ⅲ）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）13．（2021?北京）在核酸檢測(cè)中，“SKIPIF1<0合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將SKIPIF1<0個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這SKIPIF1<0個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束；如果這SKIPIF1<0個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束．現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確．（Ⅰ）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè)．（?。┤绻腥拘鹿诓《镜?人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)：（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0是檢測(cè)的總次數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．（Ⅱ）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè)．設(shè)SKIPIF1<0是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0與（Ⅰ）中SKIPIF1<0的大?。ńY(jié)論不要求證明）14．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．SKIPIF1<0類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；SKIPIF1<0類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答SKIPIF1<0類問題的概率為0.8，能正確回答SKIPIF1<0類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答SKIPIF1<0類問題，記SKIPIF1<0為小明的累計(jì)得分，求SKIPIF1<0的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．知識(shí)點(diǎn)5：概率遞推問題15．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第SKIPIF1<0次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從兩點(diǎn)分布，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．記前SKIPIF1<0次（即從第1次到第SKIPIF1<0次投籃）中甲投籃的次數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．16．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，SKIPIF1<0，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)SKIPIF1<0表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，SKIPIF1<0