課時規(guī)范練56變量間的相關關系、統(tǒng)計案例基礎鞏固組1.(2020全國Ⅰ,理5)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:由此散點圖,在10℃至40℃之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+blnx答案:D解析:結合題中散點圖,由圖像的大致走向判斷,此函數(shù)應該是對數(shù)函數(shù)模型,故應該選用的函數(shù)模型為y=a+blnx.2.相關變量的樣本數(shù)據(jù)如下表,x1234567y2.93.33.64.44.8a5.9經(jīng)回歸分析可得y與x線性相關,并由最小二乘法求得回歸直線方程為y=0.5x+2.3,下列說法正確的是()A.當x增加1時,y一定增加2.3B.變量x與y負相關C.當y為6.3時,x一定是8D.a=5.2答案:D解析:由題設當x增加1時,y可能增加0.5;當y為6.3時,代入回歸方程解得x=8,即x可能為8;變量x與y正相關;x=1+2+3+4+5+6+7y=2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+a+5.97=24.9+a7,點(x,y)一定在直線y=0.5x+2.3.(2021陜西寶雞二模)蟋蟀鳴叫是大自然優(yōu)美、和諧的音樂,殊不知蟋蟀鳴叫的頻率x(每分鐘鳴叫的次數(shù))與氣溫y(單位:℃)存在著較強的線性相關關系.某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)據(jù),建立了y關于x的線性回歸方程y=0.25x+k,則下列說法不正確的是()x2030405060y/℃2527.52932.536A.k的值是20B.變量x,y呈正相關關系C.若x的值增加1,則y的值約增加0.25D.當蟋蟀52次/分鐘鳴叫時,該地當時的氣溫預報值為33.5℃答案:D解析:由題意,得x=15×(20+30+40+50+60)=40,y=15×(25+27.5+29則k=y-0.25x=30-0.25×40=20,故A正確;由線性回歸方程可知,b=0.25>0,變量x,y呈正相關關系,故B正確;若x的值增加1,則y的值約增加0.25,故C正確;當x=52時,y=0.25×52+20=33,故D錯誤.故選D.4.(2021陜西模擬)某社區(qū)隨機選取了部分居民,調查他們對今年春節(jié)期間社區(qū)組織文藝和體育活動的意見(每人只選擇其中一項),調查結果如下表所示:性別文藝活動體育活動男1520女2510(1)估計該社區(qū)男性居民中選擇體育活動的概率和全體居民中選擇文藝活動的概率;(2)能否有95%的把握認為居民選擇的活動類型與性別有關?附:χ2=n(P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)由表格中的數(shù)據(jù)可知,該社區(qū)男性居民中選擇體育活動的概率為2015+20該社區(qū)全體居民中選擇文藝活動的概率為40(2)由表格中數(shù)據(jù)可得χ2=70×(15×10-20因此,有95%的把握認為居民選擇的活動類型與性別有關.綜合提升組5.(2021安徽滁州期末)某商家為了解某種加熱手套如何定價可以獲得最大利潤,現(xiàn)對這種加熱手套進行試銷售.統(tǒng)計后得到其單價x(單位:元)與銷量y(單位:副)的相關數(shù)據(jù)如表:x/元80859095100y/副1401301109080(1)已知銷量y與單價x具有線性相關關系,求y關于x的線性回歸方程;(2)若每副該加熱手套的成本為65元,試銷售結束后,請利用(1)中所求的線性回歸方程確定單價為多少元時,銷售利潤最大?(結果保留到整數(shù))附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b=∑i=1nxi參考數(shù)據(jù):∑i=15xiyi=48700,∑解:(1)由表中數(shù)據(jù),計算得x=15×(80+85+90+95y=15×(140+130+110+90則b=∑i=15xiyi-5xy∑i=15xi2-所以y關于x的線性回歸方程為y=-3.2x+398.(2)設定價為x元,利潤為f(x),則f(x)=(-3.2x+398)(x-65)=-3.2x2+606x-25870,所以當x=-6062×(-3.2)=94.6875≈95(元)時,f(x)最大6.(2021山東濰坊二模)某校為了解學生每天的校內體育鍛煉情況,隨機選取了100名學生進行調查,其中男生有60人.下面是根據(jù)調查結果繪制的學生日均校內體育鍛煉時間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖.將日均校內體育鍛煉時間在[60,80]內的學生評價為“鍛煉時間達標”,已知樣本中“鍛煉時間達標”的學生中有5名女生.(1)若該校共有2000名學生,請估計該校“鍛煉時間達標”的學生人數(shù);(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷“鍛煉時間達標”與性別是否有關?性別鍛煉時間達標鍛煉時間未達標合計男女合計附:χ2=n(P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)由已知得,“鍛煉時間達標”的頻率為(0.01+0.005)×10=0.15,所以“鍛煉時間達標”的學生共有2000×0.15=300(人).(2)由所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表為性別鍛煉時間達標鍛煉時間未達標合計男105060女53540合計1585100由2×2列聯(lián)表得χ2=100×(10×35-5所以沒有充分的證據(jù)判定“鍛煉時間達標”與性別有關.創(chuàng)新應用組7.(2021陜西榆林二模)某機構為了解某大學中男生的體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)是否存在較好的線性關系,該機構搜集了7位該校男生的數(shù)據(jù),得到如下表格:序號1234567身高x/cm161175169178173168180體重y/kg52625470665773根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到y(tǒng)關于x的線性回歸方程為y=1.15x+a.(1)求a的值.(2)已知R2=1-∑i=1n[yi-(1.15xi+a)]2∑參考數(shù)據(jù):∑i=17[yi-(1.15xi+a)]2=52解:(1)x=17×(161+175+169+178+173+168y=17×(52+62+54+70+66+57∴62=172×1.15+a,∴a