PAGE投影與視圖—知識講解【學習目標】1.以分析實際例子為背景，認識投影和視圖的基本概念和基本性質(zhì)；

2.通過討論簡單立體圖形(包括相應的表面展開圖)與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷畫圖、識圖等過程，分析立體圖形和平面圖形之間的聯(lián)系，提高空間想象能力；

3.通過制作立體模型的學習，在實際動手中進一步加深對投影和視圖知識的認識，在實踐活動中培養(yǎng)實際操作能力.

【要點梳理】要點一、平行投影

1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

2.物高與影長的關(guān)系（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.

（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

要點詮釋：

1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識解題要分清不同時刻和同一時刻.

2．物體與影子上的對應點的連線是平行的就說明是平行光線.

要點二、中心投影

若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.

要點詮釋：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).

要點三、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系

1.聯(lián)系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發(fā)射出來的光線.

（2）在平行投影中，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.

2.區(qū)別：

（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.

（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

要點詮釋：

在解決有關(guān)投影的問題時必須先判斷準確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點進一步解決問題.

要點四、正投影正投影的定義：

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；

②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；

③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.

(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；

②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.

(3)立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.

要點詮釋：

(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規(guī)律，可以識別或畫出物體的正投影.

(3)由于正投影的投影線垂直于投影面，一個物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個物體看到的圖象之間是有聯(lián)系的.

要點五、三視圖1.三視圖的概念

（1）視圖

從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.

（2）正面、水平面和側(cè)面

用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.

（3）三視圖

一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系

三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.

（2）大小關(guān)系

三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.

要點詮釋：

物體的三視圖的位置是有嚴格規(guī)定的，不能隨意亂放.三視圖把物體的長、寬、高三個方面反映到各個視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長和高；俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅實的基礎(chǔ).

要點六、畫幾何體的三視圖畫圖方法：

畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線.

要點詮釋：

畫一個幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.

要點七、由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.

要點詮釋：

由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長、寬、高；(2)根據(jù)實線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；(3)熟記一些簡單的幾何體的三視圖會對復雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復練習，不斷總結(jié)方法.

【典型例題】類型一、投影的作圖問題1．如何才能使如圖所示的兩棵樹在同一時刻的影長分別與它們的原長相等，試畫圖說明．【答案與解析】(1)如圖所示．可在同一方向上畫出與原長相等的影長，此時為平行投影．(2)如圖所示，可在兩樹外側(cè)不同方向上畫出與原長相等的影子，連結(jié)影子的頂點與樹的頂點．相交于點P．此時為中心投影，P點即為光源位置．【總結(jié)升華】連結(jié)物體頂點與其影長的頂點，如果得到的是平行線，即為平行投影；如果得到相交直線，則為中心投影，這是判斷平行投影與中心投影的方法，也是確定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在兩樹同側(cè)時，圖中的兩棵樹的影長不可能同時與原長相等，所以點光源可以選在兩樹之間．特別提醒：易錯認為只有平行投影才能使兩棵樹在同一時刻的影長分別與它們的原長相等，從而漏掉上圖這一情形．舉一反三：【變式】與一盞路燈相對，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花CD和一棵樹AB．晚上，幕墻反射路燈，燈光形成那盆花的影子DF，樹影BE是路燈燈光直接形成的，如圖所示，你能確定此時路燈光源的位置嗎?【答案】作法如下：①連結(jié)FC并延長交玻璃幕墻于O點；②過點O作直線OG垂直于玻璃幕墻面；③在OC另一側(cè)作∠POG＝∠FOG且交EA延長線于點P．P點即此時路燈光源位置，如圖所示．類型二、投影的應用2．某數(shù)學興趣小組，利用樹影測量樹高，如圖（1），已測出樹AB的影長AC為12米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角．（1）求出樹高AB；（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變．求樹的最大影長．（用圖（2）解答）【答案與解析】解：（1）AB=ACtan30°=12×=4（米）．答：樹高約為4米．（2）如圖（2），B1N=AN=AB1sin45°=4×=2（米）．NC1=NB1tan60°=2×=6（米）．AC1=AN+NC1=2+6．當樹與地面成60°角時影長最大AC2（或樹與光線垂直時影長最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時影長最大）AC2=2AB2=；【總結(jié)升華】此題考查了平行投影；通過作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，是解題的關(guān)鍵．類型三、由三視圖描述物體的形狀3．如圖所示，這是個由小立方體搭成的幾何體從上面看的視角，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方體的個數(shù)，請畫出從正面看和左面看的視圖．【思路點撥】由已知條件可知，從正面看有4列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2，2，3，2；從左面看有2列，每列小正方形數(shù)目分別為3，2．據(jù)此可畫出圖形．【解析】解：如圖所示：．【總結(jié)升華】此題主要考查了幾何體的三視圖畫法．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．類型四、三視圖的有關(guān)計算4．某工廠要對一機器零件表面進行噴漆，設計者給出了該零件的三視圖(如圖所示)，請你根據(jù)三視圖確定其噴漆的面積．【答案與解析】長方體的表面積為(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圓柱體的側(cè)面積為3.14×20×32＝2010(cm2)，其噴漆的面積為5900+2010＝7910(cm2)．【總結(jié)升華】由該機械零件的三視圖，可想象它是一個組合體，是由一個長方體和一個圓柱體組成．其表面積是一個長方體的六個面與圓柱體的側(cè)面構(gòu)成．(圓柱體的上表面補在長方體的上表面被圓柱體遮擋的部分).該組合體是由一長方體與一圓柱體組合而成，但不能認為組合體的表面積就是兩幾何體的表面積之和．舉一反三：【高清課程名稱：投影與視圖高清ID號：398414關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：課題學習】【變式】某工廠要加工一批密封罐，設計者給出了密封罐的三視圖(如圖所示)，請你按照三視圖確定制作每個密封罐所需鋼板的面積(單位：mm)．【答案】由三視圖可知，密封罐的形狀是正六棱柱(如圖(1)所示)．密封罐的高為50mm，底面正六邊形的對角線為100mm，邊長為50mm，如圖(2)所示．由展開圖可知，制作一個密封罐所需鋼板的面積為S＝6×50×50+2×6××50×50×sin60°＝6×50°×≈27990(mm2)．附錄資料：弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖—知識講解（基礎(chǔ)）【學習目標】1.通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長和扇形面積

的計算公式，并應用這些公式解決問題；

2.了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應用公式解決問題；3.能準確計算組合圖形的面積.【要點梳理】要點一、弧長公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)

要點詮釋：

(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

要點二、扇形面積公式

1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對的扇形面積公式：

要點詮釋：

(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.

要點三、圓錐的側(cè)面積和全面積

連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.

要點詮釋：

扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.

【典型例題】類型一、弧長和扇形的有關(guān)計算1．如圖（1），AB切⊙O于點B，OA=，AB=3，弦BC∥OA，則劣弧的弧長為（）．A． CBAO B． C． D．CBAO圖（1）【答案】A.【解析】連結(jié)OB、OC，如圖（2）則，OB=，，，由弦BC∥OA得，所以△OBC為等邊三角形，.則劣弧的弧長為，故選A.圖（2）【總結(jié)升華】主要考查弧長公式：.舉一反三：【變式】制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長(結(jié)果精確到0.1mm)

【答案】R=40mm，n=110

∴的長==≈76.8(mm)

因此，管道的展直長度約為76.8mm．

【高清ID號：359387高清課程名稱：弧長扇形圓柱圓錐關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1-2】2．如圖，⊙O的半徑等于1，弦AB和半徑OC互相平分于點M.求扇形OACB的面積（結(jié)果保留π）【答案與解析】∵弦AB和半徑OC互相平分，

∴OC⊥AB，

OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【總結(jié)升華】運用了垂徑定理的推論，考查扇形面積計算公式.舉一反三：【高清ID號：359387高清課程名稱：弧長扇形圓柱圓錐關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1-2】【變式】如圖（1），在△ABC中，BC=4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于E，交AC于F，點P是⊙A上的一點，且∠EPF=40°，則圖中陰影部分的面積是（）．A．B