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§5矢量空間的直和與直積

§5-1直和空間§5-2直積空間§5矢量空間的直和與直積§5-1直和空間§5-21§5-1直和空間§5-1直和空間2這一類雙矢量及其疊加可以構(gòu)成一個新的矢量空間。

定義這個空間中的三種運(yùn)算：加法：

（5.1）

在直和空間中的加法單位元（零矢量）是數(shù)乘：

內(nèi)積：

（5.2）

（5.3）

如果認(rèn)定不同空間中矢量的內(nèi)積為零，上述定義說明內(nèi)積可按分配律展開。

這一類雙矢量及其疊加可以構(gòu)成一個新的矢量空間。定義這個空間3（5.5）

（5.6）

如果認(rèn)定一個空間的算符作用到別的空間的矢量時得零矢量，則上式可按分配律展開。算符的加法和乘法可根據(jù)上述定義得出：（5.7）

（5.5）（5.6）如果認(rèn)定一個空間的算符4(5.8)

直和空間的維數(shù)：(5.8)直和空間的維數(shù)：5由此可以看出，若取直和空間的基矢為（5.9）

（5.10）

由此可以看出，若取直和空間的基矢為（5.9）（5.10）6高等量子力學(xué)-第五章-矢量空間的直和與直積ppt課件7（5.11）

（5.11）8（5.12）

（5.12）9（5.13）

（5.14）

（5.13）（5.14）10當(dāng)然，可以用相同的方法討論兩個以上的空間的直和。一切關(guān)系都是明顯的，這里不在贅述。當(dāng)然，可以用相同的方法討論兩個以上的空間的直和。一切11高等量子力學(xué)-第五章-矢量空間的直和與直積ppt課件12§5-2直積空間（5.17）

§5-2直積空間（5.17）13數(shù)乘：

(5.18)

內(nèi)積：

此外，還有一個直積的分配律：(5.19)

(5.20)

(5.21)

數(shù)乘：(5.18)內(nèi)積：此外，還有一個直積的分配律：(14算符運(yùn)算有下列的關(guān)系：(5.22)

(5.23)

(5.24)

從上面各式可以看出，只要記住算符只對自己空間中的矢量有作用，對別的空間的矢量沒有作用，習(xí)慣了以后，算符間的乘號也可以省去。

算符的直積：算符運(yùn)算有下列的關(guān)系：(5.22)(5.23)(5.2415(5.25)

(5.25)16這時

(5.26)

(5.27)

(5.28)

這時(5.26)(5.27)(5.28)17可以寫成

可以寫成18(5.30)

直積算符的矩陣表示：(5.30)直積算符的矩陣表示：19此式可以寫成一種便于記憶的形式：(5.32)

(5.31)

此式可以寫成一種便于記憶的形式：(5.32)(5.31)20在矩陣?yán)碚撝?，上面的矩陣公式稱為矩陣的直積，兩個矩陣（可以不是方陣）的直積的定義就是（5.31）式。以上我們對于兩個矢量空間的直積作了一些討論，當(dāng)然也可以用同樣的方法討論兩個以上空間

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