基本思想：利用在某些特殊點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合來(lái)構(gòu)造高階單步法的平均斜率。第二節(jié)

龍格-庫(kù)塔法什么叫平均斜率？對(duì)差商應(yīng)用微分中值定理，有，利用微分方程，有這里的稱(chēng)為平均斜率?；舅枷耄豪迷谀承┨厥恻c(diǎn)上的函數(shù)值1可將改進(jìn)的歐拉格式改寫(xiě)成的算術(shù)平均值作為平均斜率。該公式可以看作是用和兩個(gè)點(diǎn)處的斜率和由改進(jìn)型歐拉公式我們可以猜想，如果在內(nèi)多預(yù)測(cè)幾個(gè)點(diǎn)的斜率，再對(duì)他們進(jìn)行加權(quán)平均，可能得到精度更好的平均斜率！可將改進(jìn)的歐拉格式改寫(xiě)成的算術(shù)平均值作為平均斜率。該公式可以2下面以2階龍格-庫(kù)塔方法為例來(lái)闡述這種思想考察區(qū)間上的一點(diǎn)，用和的斜率和的加權(quán)平均作為平均斜率的近似值：即取其中和是待定常數(shù)。若取，則問(wèn)題在于如何確定處的斜率和常數(shù)和。下面以2階龍格-庫(kù)塔方法為例來(lái)闡述這種思想考察區(qū)間3仿照改進(jìn)的歐拉方法，用歐拉方法預(yù)測(cè)的值，并用它來(lái)估計(jì)斜率：于是得到如下形式的算法：通過(guò)適當(dāng)選取參數(shù)和的值，使得公式具有2階精度?。》抡崭倪M(jìn)的歐拉方法，用歐拉方法預(yù)測(cè)的4由泰勒公式展開(kāi)，要使公式具有2階精度，只需方程組有無(wú)窮多解：二級(jí)方法有無(wú)窮多種常見(jiàn)的3種二級(jí)方法：中點(diǎn)法（修正的Euler法）取二階龍格庫(kù)塔方法取由泰勒公式展開(kāi)，要使公式具有2階精度，只需方程組有無(wú)窮多5三級(jí)方法：N=3類(lèi)似于N=2的推導(dǎo)方法，可得到常見(jiàn)的2種三階方法：庫(kù)塔三階方法三級(jí)方法：N=3類(lèi)似于N=2的推導(dǎo)方法，可得到常見(jiàn)6四級(jí)方法：N=4局部截?cái)嗾`差常見(jiàn)的2種四階方法：經(jīng)典龍格-庫(kù)塔方法四級(jí)方法：N=4局部截?cái)嗾`差常見(jiàn)的2種四階方法：經(jīng)7解：例2：用經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題。經(jīng)典的四階龍格-庫(kù)塔公式：解：例2：用經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題80.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.7321同保留5位的精確值完全一致：0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.73210.10.20.30.49第二節(jié)-龍格-庫(kù)塔方法ppt課件10二、高階和隱式Runge-Kutta方法注：對(duì)于顯式N級(jí)R-K方法，最多只能得到N級(jí)方法；N

1,2,3,4

5,6,78,910,11,…NN-1N-2已經(jīng)證明N級(jí)R-K方法的階具有下列關(guān)系：若要得到N階以上方法，則使用N級(jí)隱式R-K方法N級(jí)隱式R-K方法的一般形式：N級(jí)隱式R-K法可以達(dá)到2N階二、高階和隱式Runge-Kutta方法注：對(duì)于顯式N級(jí)R11(1)一級(jí)二階的隱式中點(diǎn)方法：(2)二級(jí)四階的隱式R-K方法：(1)一級(jí)二階的隱式中點(diǎn)方法：(2)二級(jí)四階的隱式R-K方法12三、變步長(zhǎng)方法基本思想：根據(jù)精度自動(dòng)地選擇步長(zhǎng)對(duì)于經(jīng)典Runge-Kutta方法：Step1:設(shè)從出發(fā)，以為步長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)一步計(jì)算得到Step2:取為步長(zhǎng)，再?gòu)某霭l(fā)，經(jīng)過(guò)兩步計(jì)算得到三、變步長(zhǎng)方法基本思想：根據(jù)精度自動(dòng)地選擇步長(zhǎng)對(duì)于經(jīng)典Run13記如果，則將步長(zhǎng)折半進(jìn)行計(jì)算，直到為止此時(shí)取為最終結(jié)果；如果，則將步長(zhǎng)加倍進(jìn)行計(jì)算，直到為止此時(shí)將步長(zhǎng)折半一次計(jì)算，得到的為最終結(jié)果。記如果，則將步長(zhǎng)折半進(jìn)行計(jì)算，直到14一、收斂性/*Convergence*/§3單步法的收斂性、相容性和絕對(duì)穩(wěn)定性對(duì)于初值問(wèn)題的一種單步法產(chǎn)生的近似解，如果對(duì)于任一固定的，均有，則稱(chēng)該單步法是收斂的。類(lèi)似地可以定義隱式單步法、多步法（§4）的收斂性一、收斂性/*Convergence*/§3單步法的收15設(shè)初值問(wèn)題（*）對(duì)應(yīng)的下列單步法是階的，且函數(shù)滿足對(duì)的Lipschitz條件，即存在常數(shù)則該單步法是收斂的，且證明：記由截?cái)嗾`差的定義設(shè)初值問(wèn)題（*）對(duì)應(yīng)的下列單步法是階的，且函數(shù)16因?yàn)閱尾椒ㄊ请A的：滿足其中因?yàn)閱尾椒ㄊ请A的：滿足其中17二、相容性/*Consistency*/對(duì)于階方法：若方法（**）的增量函數(shù)滿足：則稱(chēng)該方法與初值問(wèn)題（*）相容。二、相容性/*Consistency*/對(duì)于階方法：18設(shè)方法（**）與初值問(wèn)題（*）相容，且滿足L-條件，則該方法（**）是收斂的，即當(dāng)固定，時(shí)再由相容性得：上式說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，方法（**）趨于原微分方程本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問(wèn)題相容的設(shè)方法（**）與初值問(wèn)題（*）相容，且滿足L-條件，則19三、絕對(duì)穩(wěn)定性/*AbsoluteStibility*/計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響首先以Euler公式為例，來(lái)討論一下舍入誤差的傳播:設(shè)實(shí)際計(jì)算得到的點(diǎn)的近似函數(shù)值為，其中為精確值，為誤差如果，則誤差是不增的，故可認(rèn)為是穩(wěn)定的三、絕對(duì)穩(wěn)定性/*AbsoluteStibility*20例如：對(duì)于初值問(wèn)題精確解為而實(shí)際求解的初值問(wèn)題為精確解為在處的誤差為可見(jiàn)誤差隨著的增加呈指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)如果初值問(wèn)題為精確解為例如：對(duì)于初值問(wèn)題精確解為而實(shí)際求解的初值問(wèn)題為精確解為在21實(shí)際求解的初值問(wèn)題為精確解為在處的誤差為可見(jiàn)誤差隨著的增加呈指數(shù)函數(shù)遞減當(dāng)時(shí)，微分方程是不穩(wěn)定的；而時(shí)，微分方程是穩(wěn)定的。上面討論的穩(wěn)定性，與數(shù)值方法和方程中有關(guān)實(shí)際求解的初值問(wèn)題為精確解為在處的誤差為可見(jiàn)誤差隨22實(shí)驗(yàn)方程：對(duì)單步法應(yīng)用實(shí)驗(yàn)方程，如果，當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)該單步法是絕對(duì)穩(wěn)定的，在復(fù)平面上復(fù)變量滿足的區(qū)域，稱(chēng)為該單步法的絕對(duì)穩(wěn)定域，它與實(shí)軸的交集稱(chēng)為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。若單步法是階的，則由實(shí)驗(yàn)方程可得：實(shí)驗(yàn)方程：對(duì)單步法23例3：分別求Euler法和經(jīng)典的R-K法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。解：Euler公式：將其應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程絕對(duì)穩(wěn)定域：當(dāng)時(shí)，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：經(jīng)典的R-K公式：例3：分別求Euler法和經(jīng)典的R-K法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。解：24第二節(jié)-龍格-庫(kù)塔方法ppt課件25當(dāng)時(shí)，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：可以證明：