全等三角形專(zhuān)題：構(gòu)造全等三角形方法總結(jié)專(zhuān)題：構(gòu)造全等三角形利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形（倍長(zhǎng)中線法）倍長(zhǎng)中線法即將中線延長(zhǎng)一倍，來(lái)構(gòu)造全等三角形。1、如圖1，在△ABC中，AD是中線，BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝EF?，F(xiàn)試說(shuō)明線段AC與BF相等的理由。簡(jiǎn)析：由于AD是中線，可延長(zhǎng)AD到G，使DG＝AD，連結(jié)BG。在△ACD和△GBD中，AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，所以△ACD≌△GBD（SAS）。因此，AC＝GB，∠CAD＝∠G，而AE＝EF，所以∠CAD＝∠AFE。又∠AFE＝∠BFG，所以∠BFG＝∠G，所以BF＝BG，所以AC＝BF。通常，要說(shuō)明線段或角相等，可以說(shuō)明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而遇到中線時(shí)，可以通過(guò)延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。2、利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形法一：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE。可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱(chēng)軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。法二：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。延長(zhǎng)AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱(chēng)軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱(chēng)軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。也可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來(lái)證明DM=DN。3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證∠A+∠C=180°。法一：在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE。法二：延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF。由已知條件可得BD是∠ABC的角平分線。因此，∠1=∠2。在△ABD和△EBD中，AB=EB，∠1=∠2，BD=BD，因此△ABD≌△EBD（SAS）。在△BFD和△BCD中，BF=BC，∠1=∠2，BD=BD，因此△BFD≌△BCD（SAS）。因此，∠A+∠C=∠BED+∠BFD=180°。使得△ADE與△ABC全等（S.A.S），則∠A＝∠D，∠C＝2∠B，又∠D＝90°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠B＝40°，∠C＝80°，∠A＝60°．由正弦定理可得：$\frac{BD}{\sin80°}=\frac{AB}{\sin60°}$，即$BD=\frac{AB\sin80°}{\sin60°}$又因?yàn)?AC+CD=AB\cosB+BD\cosB=AB\cosB+\frac{AB\sin80°}{\sin60°}\cosB=AB(\cosB+\frac{\sin80°}{\sin60°}\cosB)$因此，比較$BD$和$AC+CD$的大小，即比較$\frac{\sin80°}{\sin60°}$和$\cosB+\frac{\sin80°}{\sin60°}\cosB$的大小。由于$0°<B<90°$，所以$\cosB>0$，因此$\cosB+\frac{\sin80°}{\sin60°}\cosB>\frac{\sin80°}{\sin60°}$，即$AC+CD>BD$。因此，線段$BD$比$AC+CD$小。證明：首先，根據(jù)三角形外角定理可得，∠3=∠B+∠4=2∠B，進(jìn)而得到∠C=2∠B。接著，延長(zhǎng)AC到F，使CF=CD，連結(jié)DF。由已知可得AD是∠BAC的角平分線，因此∠1=∠2。又因?yàn)锳B=AC+CD，CF=CD，所以AB=AC+CF=AF。在△ABD和△AFD中，根據(jù)SAS準(zhǔn)則可得△ABD≌△AFD，進(jìn)而得到∠F＝∠B。再根據(jù)CF=CD可得∠B=∠3，結(jié)合三角形外角定理可得∠ACB=2∠B，代入∠C=2∠B中可得∠ACB=∠C。因此，△ABC中的兩個(gè)角相等，所以BC=AC。最后，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得AD+AB=∠1+∠B+∠B+∠2=∠ACB+∠C+∠B=BC，證畢。證明：根據(jù)MN∥PQ可得△ADM～△CBP和△ABN～△DQC。由角平分線定理可得∠BAN=∠QBA，因此AB=AN+NB=AD+NB。又因?yàn)镸N∥PQ，所以△ADM～△CBP中有AD/CP=DM/BP，即AD=CP×DM/BP。同理，△ABN～△DQC中有NB=CQ×DN/BD，代入AB=AD+NB中可得AB=CP×DM/BP+CQ×DN/BD。又因?yàn)锽E平分∠QBA，所以∠ABE=∠QBE，因此△ABE～△QBE中有AB/QB=AE/BE，即AB=CQ×AE/BE。綜上可得AB=CP×DM/BP+CQ×DN/BD=CQ×AE/BE，即AD+AB=BC，證畢。證明：由AE⊥BC可得△ADE～△ABC，因此AD/AB=AE/AC。又因?yàn)锽D是∠ABC的角平分線，所以AD/AB=CD/CB，即AE/AC=CD/CB。由GF∥BC可得△GFC～△ABC，因此FC/BC=GF/AC。結(jié)合前面的等式可得FC/AB=GF/CD。又因?yàn)椤鰽DE～△ABC，所以AE/AC=DE/BC，即GF