2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2.4.1平面向量數(shù)量積的1數(shù)乘定義：

一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時,λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時,λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時,λa=0數(shù)乘定義：一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個2運算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb運算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實數(shù)3向量的夾角OABOABOAB已知兩個非零向量

和，作，，則

叫做向量和的夾角．OAB向量的夾角OABOABOAB已知兩個非零向量和，4問題θsF一個物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？為此，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。

功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看成是這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？其中θ是F與s的夾角.W=|F||s|cosθ問題θsF一個物體在力F的作用下產(chǎn)生的5問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)6平面向量的數(shù)量積的定義規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定.

（3）

在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°，180°]．說明：已知非零向量與，我們把數(shù)量叫作與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即規(guī)定

（2）a·b中間的“·”在向量的運算中不能省略，也不能寫成a×b，a×b

表示向量的另一種運算（外積）．平面向量的數(shù)量積的定義規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即7思考：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？當(dāng)0°≤θ＜

90°時為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時為負(fù)。當(dāng)θ=90°時為零。數(shù)量積符號由cos的符號所決定思考：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為8問題：向量的數(shù)量積運算與實數(shù)同向量積的線性運算的結(jié)果有什么不同？實數(shù)同向量積的線性運算的結(jié)果是向量兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，是一個數(shù)量當(dāng)a與b同向時，a·b＝︱a︱︱b︱；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.問題：設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？

a⊥ba·b＝0問題：當(dāng)a與b同向時，a·b等于什么？當(dāng)a與b反向時，a·b等于什么？特別地，a·a等于什么？

問題：向量的數(shù)量積運算與實數(shù)同向量積的線性運算的結(jié)果有什么不9問題：︱a·b︱與︱a︱︱b︱的大小關(guān)系如何？為什么？

︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

問題：對于向量a，b，如何求它們的夾角θ？問題：︱a·b︱與︱a︱︱b︱的大小關(guān)系如何？為什么？︱a10向量數(shù)量積的性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì)11例、在△ABC中，求練習(xí):例、已知|a|=5，|b|=4，求a·b①a與b的夾角θ=120°②ａ∥ｂ③ａ⊥ｂ例、在△ABC中，12平面向量數(shù)量積的幾何意義向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正數(shù)嗎？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．OABab，過點B作垂直于直線OA，垂足為，則|b|cosθ︱a︱cosθ平面向量數(shù)量積的幾何意義向量a在b方向上的投影是什么？投影13說明：（2）投影也是一個數(shù)量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ為銳角時，|b|cosθ＞0θ為鈍角時，|b|cosθ＜0θ為直角時，|b|cosθ=0當(dāng)=0時投影為|b|當(dāng)=180時投影為-|b|.說明：（2）投影也是一個數(shù)量，不是向量。（1）OABabBO14問題：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾何意義是什么？

數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘積.問題：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾15練一練：練一練：16⑴交換律：⑵對數(shù)乘的結(jié)合律：⑶分配律：數(shù)量積的運算律下面我們證明運算律（3）：⑴交換律：⑵對數(shù)乘的結(jié)合律：⑶分配律：數(shù)量積的運算律下面我們17⑶分配律：.OCAA1BB1⑶分配律：.OCAA1BB118想一想：∴向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？說明：即：成立嗎？想一想：∴向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律19應(yīng)用舉例××××××√√應(yīng)用舉例××××××√√20⑶、⑸、⑺⑶、⑸、⑺21常用公式常用公式22例、練習(xí)1、練習(xí)1、例、練習(xí)1、練習(xí)1、23利用平面向量數(shù)量積求解長度問題利用平面向量數(shù)量積求解長度問題24變式：變式：25利用平面向量數(shù)量積求解夾角問題例：已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a

5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角利用平面向量數(shù)量積求解夾角問題例：已知a、b都是非零向量26課堂小結(jié)：1、向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量

與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量（或內(nèi)積,點乘），即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．2、向量數(shù)量積的幾何意義3、數(shù)量積運算律（交換律）（數(shù)乘結(jié)合律）（分配律）課堂小結(jié)：1、向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與27課堂小結(jié)：4、向量數(shù)量積的性質(zhì)5.常用︱a︱＝求向量的模.

常用求向量的夾角.課堂小結(jié)：4、向量數(shù)量積的性質(zhì)5.常用︱a︱＝281、有四個式子：⑴⑵⑶⑷其中正確的個數(shù)為（）

A、4個B、3個C、2個D、1個2、已知、都是單位向量，下列結(jié)論正確的是（）

A、B、C、∥D、3、有下列四個關(guān)系式：⑴⑵⑶⑷，其中正確的個數(shù)是（）

A、1B、2C、3D、4DBA作業(yè)1、有四個式子：⑴⑵⑶DBA294.判斷下列命題正確與否：（1）若

a=0，則對任一向量b，有a·b=0。（2）若

a

≠0，則對任一非零向量b，有a·b≠0。（3）若

a≠0

，a·b=0，則b=0。（4）若

a·b=0，則a、b中