二次函數(shù)與線段最值【例題精講】如圖二次函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得最短？若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由；（3）連接、、求四邊形的面積．【解答】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)拋物線的解析式為拋物線經(jīng)過點(diǎn)解得拋物線的函數(shù)解析式為；（2）存在求解過程如下：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線當(dāng)時(shí)有解得或點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為由對(duì)稱性得：則由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)最短設(shè)直線的函數(shù)解析式為把代入得：解得取則；（3）由（1）得如圖過點(diǎn)作平行軸交于點(diǎn)設(shè)的解析式為把點(diǎn)和代入得：解得：取則解得四邊形的面積為30．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)且．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)那么在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得的周長最??？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把點(diǎn)分別代入得：．解得．拋物線的解析式為；（2）連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)則為所求的點(diǎn)設(shè)直線的解析式為．．解得．直線的解析式為．對(duì)稱軸為直線：．當(dāng)時(shí)．點(diǎn)的坐標(biāo)為．【題組訓(xùn)練】2．如圖二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)和與軸交于點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)使的長度最短求出的坐標(biāo)．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)解得二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）拋物線的對(duì)稱軸是直線與軸交點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)使的長度最短如圖：設(shè)直線的解析式為將代入得：解得直線的解析式為當(dāng)時(shí)；3．如圖已知點(diǎn)的坐標(biāo)為直線與軸軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)連接頂點(diǎn)為的拋物線過三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上當(dāng)最短時(shí)求點(diǎn)坐標(biāo)；【解答】解：（1）直線與軸軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)拋物線經(jīng)過點(diǎn)拋物線的解析式為把代入得到拋物線的解析式為即頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）如圖1中連接交對(duì)稱軸于此時(shí)的值最小直線的解析式為對(duì)稱軸．4．如圖頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于點(diǎn)與軸交于、兩點(diǎn)．（1）求拋物線解析式及、兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在拋物線對(duì)稱軸上有一點(diǎn)使到、兩點(diǎn)的距離和最短求點(diǎn)坐標(biāo)；【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為：拋物線頂點(diǎn)為拋物線解析式為：拋物線與軸交于點(diǎn)；當(dāng)時(shí)即：解得：；（2）拋物線頂點(diǎn)為對(duì)稱軸是直線點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱連接交對(duì)稱軸與點(diǎn)就是到、兩點(diǎn)的距離和最短的點(diǎn)設(shè)直線解析式為解得：當(dāng)時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；5．如圖拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)與軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為連接．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)使得最短求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)連接．當(dāng)最大時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)解得：拋物線解析式為：；（2）拋物線的對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)即由對(duì)稱性可知?jiǎng)t由兩點(diǎn)之間線段最短可知點(diǎn)即為所求設(shè)直線的解析式為將點(diǎn)代入得：解得則直線的解析式為當(dāng)時(shí)最短時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）如圖：連接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)可得關(guān)于的二次函數(shù)利用二次函數(shù)的最值求解即可得．時(shí)最大故當(dāng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．6．如圖二次函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是且經(jīng)過．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的面積；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得最短？若存在求出的坐標(biāo)．若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)拋物線的解析式為拋物線經(jīng)過點(diǎn)解得拋物線的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時(shí)有解得或當(dāng)時(shí)有的面積；（3）存在理由如下：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為由對(duì)稱性得：則由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)最短設(shè)直線的函數(shù)解析式為把代入得解得取則．7．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)于軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為．（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)計(jì)算以、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最短若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：解得故拋物線的表達(dá)式為拋物線的對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由點(diǎn)、、的坐標(biāo)知?jiǎng)t則為直角三角形四邊形的面積；（3）存在理由：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)連接交軸于點(diǎn)則點(diǎn)為所求點(diǎn)設(shè)直線的表達(dá)式為則解得故直線的表達(dá)式為令解得故點(diǎn)的坐標(biāo)為．8．已知拋物線與軸相交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右邊）與軸相交于點(diǎn)該拋物線的頂點(diǎn)為且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點(diǎn)使得最短？若點(diǎn)存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)所以解得．所以即（2）當(dāng)時(shí)即解得：所以點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)時(shí)所以點(diǎn)所以所以的面積為3；（3）在軸上存在一點(diǎn)使得最短．點(diǎn)．關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)連接交軸于點(diǎn)點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)．設(shè)直線的解析式為所以解得所以當(dāng)時(shí)所以所以點(diǎn)9．如圖拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線上存在一點(diǎn)使的面積為8請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得最短？若點(diǎn)存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）二次函數(shù)過點(diǎn)、、解得二次函數(shù)的解析式為；（2）設(shè)的高為的面積為8解得：當(dāng)時(shí)解得：；當(dāng)時(shí)解得：即點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）存在理由是：即拋物線的對(duì)稱軸是直線作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)正好在拋物線上）連接交直線與此時(shí)最短點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為把、的坐標(biāo)代入得：解得：即直線的解析式為把代入得：即點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）該拋物線與軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）軸上是否存在一點(diǎn)使得最短？若點(diǎn)存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把點(diǎn)代入得：解得：或（不合題意舍去）二次函數(shù)的解析式為；（2）令得點(diǎn)坐標(biāo)為．將配方得：點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為．理由如下：由兩點(diǎn)之間線段最短知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最短．設(shè)直線的解析式為根據(jù)題意得：解得：直線的解析式為：當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．如圖已知二次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于點(diǎn)和其頂點(diǎn)為．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若該二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為求的面積；（3）請(qǐng)判斷：在該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使得的周長最短．若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和解得拋物線解析式為；（2）當(dāng)時(shí)解得則拋物線點(diǎn)坐標(biāo)為而；（3）存在．連接交直線于點(diǎn)如圖由對(duì)稱性知此時(shí)的值最小的周長最短易得直線的解析式為當(dāng)時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．13．如圖已知拋物線的對(duì)稱軸為直線．拋物線與軸相交于兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)．（1）求和的值；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)使最短請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)使的面積等于的面積的4倍？若存在．求出點(diǎn)所有的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線解得把代入得：；（2）由（1）知拋物線為令則解得或連接交直線于如圖：關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是而、、共線故此時(shí)最小最小值為的長度設(shè)直線為將代入得：解得直線為令得；（3）存在點(diǎn)使的面積等于的面積的4倍如圖：設(shè)的面積等于的面積的4倍即當(dāng)時(shí)解得或或當(dāng)時(shí)解得綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．14．如圖已知拋物線的圖象與軸交于和與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)使得的周長最小請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將、代入拋物線的解析式得：解得：該拋物線的解析式為；（2）由（1）知拋物線的對(duì)稱軸為直線點(diǎn)連接交直線于如圖則此時(shí)的值最小的周長最?。O(shè)直線的解析式為把代入得解得．直線的解析式為．當(dāng)時(shí)此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)的周長最?。?5．如圖拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)且．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)那么在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得的周長最短？若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)與代入；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為連接與對(duì)稱軸交于點(diǎn)即為所求點(diǎn)；易求直線的解析式為當(dāng)時(shí)的周長最短；16．如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）若該二次函數(shù)圖象與軸交于、兩點(diǎn)求的面積；（3）若點(diǎn)在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上當(dāng)周長最短時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把代入得解得拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)解得、點(diǎn)的坐標(biāo)為而的面積；（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)連接交直線于則此時(shí)的值最小則周長最短設(shè)直線的解析式為把代入得解得直線的解析式為當(dāng)時(shí)．17．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)連接和．（1）求拋物線的解析式；（直接寫出解析式不寫過程）（2）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解答】解：（1）將代入得解得：拋物線得解析式為：．（2）在中對(duì)稱軸為直線點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱如圖1可設(shè)交對(duì)稱軸于點(diǎn)由兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)有最小值而的長度是定值故此時(shí)的周長取最小值在中當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為將點(diǎn)代入得直線的解析式為當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：．18．如圖拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)交軸于、兩點(diǎn)與軸交于若拋物線上有一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)連結(jié)、、求周長最短時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為將點(diǎn)代入得：解得拋物線表達(dá)式為：即；（2）如圖1點(diǎn)、關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱取直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)周長的最小拋物線的解析式為當(dāng)時(shí)解得：或設(shè)直線的解析式為直線的解析式為拋物線的對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)；②如圖2過作交于點(diǎn)作軸于點(diǎn)設(shè)直線的解析式為直線的解析式為聯(lián)立解得（舍去）或．19．如圖拋物線與軸交于兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若拋物線交軸于點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使得的周長最小？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將代入得：解得則該拋物線的解析式為：；（2）拋物線的對(duì)稱軸是直線頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（3）存在理由：如圖1點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)設(shè)直線的解析式為：將點(diǎn)、