最值問題【例題精講】如圖在矩形中已知點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合）連接作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)則線段的最小值為A．2 B． C．3 D．【解答】解：連接點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱在以圓心3為半徑的圓上當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最短故選：．如圖已知點(diǎn)是上一點(diǎn)直線過點(diǎn)點(diǎn)是上的另一點(diǎn)點(diǎn)是的中點(diǎn)若點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且時(shí)求的面積的最大值．【解答】解：連接；是的中點(diǎn)且又；過點(diǎn)作于延長交圓于點(diǎn)則是的邊上的最大的高；在中的面積的最大值為．【題組訓(xùn)練】一．選擇題（共8小題）1．如圖的半徑為2圓心的坐標(biāo)為點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)且、與軸分別交于、兩點(diǎn)若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱則的最小值為A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：若要使取得最小值則需取得最小值連接交于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)取得最小值過點(diǎn)作軸于點(diǎn)則、又故選：．3．如圖點(diǎn)半徑為2點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)是的中點(diǎn)則的最小值是A．1.4 B． C． D．2.6【解答】解：如圖連接交于連接由勾股定理得：當(dāng)最小時(shí)最小當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)最小此時(shí)的最小值故選：．4．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)連接則線段的最大值是A．3 B． C． D．4【解答】解：連接如圖當(dāng)時(shí)解得則是線段的中點(diǎn)為的中位線當(dāng)最大時(shí)最大而過圓心時(shí)最大如圖點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)最大線段的最大值是．故選：．5．如圖是的弦點(diǎn)是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)不與、重合）垂足為點(diǎn)是的中點(diǎn)．若的半徑是3則長的最大值是A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：垂足為點(diǎn)是的中點(diǎn)．的最大值是直徑的長的半徑是3的最大值為3故選：．6．如圖點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)連接則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：如圖點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)在上且半徑為1取連接是的中位線當(dāng)最大時(shí)即最大而三點(diǎn)共線時(shí)當(dāng)在的延長線上時(shí)最大即的最大值為；故選：．7．如圖中是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足則線段長的最小值為A． B．2 C． D．【解答】解：（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）點(diǎn)在以為直徑的上連接交于點(diǎn)此時(shí)最小在中．最小值為2．故選：．8．如圖在平面直角坐標(biāo)系中半徑為2為上任意一點(diǎn)是的中點(diǎn)則的最小值是A．1 B． C．2 D．【解答】解：如圖連接取的中點(diǎn)連接．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心半徑為1的圓的最小值故選：．二．填空題（共12小題）9．如圖在直角坐標(biāo)系中⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（﹣10）半徑為1點(diǎn)P為直線y＝﹣x+3上的動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)P作⊙A的切線切點(diǎn)為Q則切線長PQ的最小值是2．【解答】解：如圖作AP⊥直線y＝﹣x+3垂足為P作⊙A的切線PQ切點(diǎn)為Q此時(shí)切線長PQ最小∵A的坐標(biāo)為（﹣10）設(shè)直線與x軸y軸分別交于CB∴B（03）C（40）∴OB＝3AC＝5∴BC＝＝5∴AC＝BC在△APC與△BOC中∴△APC≌△BOC（AAS）∴AP＝OB＝3∴PQ＝＝2．∵PQ2＝PA2﹣1此時(shí)PA最小所以此時(shí)切線長PQ也最小最小值為2．10．如圖在平面直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)且滿足為直線上的動(dòng)點(diǎn)則線段長的最小值為．【解答】解：取的中點(diǎn)過點(diǎn)作直線的垂線垂足為點(diǎn)點(diǎn)在以為直徑的圓上線段長的最小值為．故答案為：．11．在中若為邊的中點(diǎn)則必有：成立．依據(jù)以上結(jié)論解決如下問題：如圖在矩形中已知點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)則的最小值為10．【解答】解：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)點(diǎn)為的中點(diǎn)連接交半圓于點(diǎn)此時(shí)取最小值．四邊形為矩形．故答案為：10．12．如圖中是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足則線段的最小值為2．【解答】解：點(diǎn)在以為直徑的上當(dāng)、、共線時(shí)最小在中．最小值為2．故答案為：2．13．如圖是半圓的直徑點(diǎn)在半圓上是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接過點(diǎn)作于連接在點(diǎn)移動(dòng)的過程中的最小值是．【解答】解：連接取的中點(diǎn)連接點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最小是直徑在中故答案為：．14．在中若．則的面積的最大值為．【解答】解：作的外接圓過作于弦已確定要使的面積最大只要取最大值即可如圖所示當(dāng)過圓心時(shí)最大過（垂徑定理）．故答案為：．15．如圖等邊三角形的邊長為4的半徑為為邊上一動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)作的切線切點(diǎn)為則的最小值為3．【解答】解：連接、作于如圖等邊三角形的邊長為4為的切線在中點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)最小即的最小值為的最小值為故答案為：3．16．如圖、是半徑為5的的兩條弦是直徑于點(diǎn)于點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)則的最小值為．【解答】解：連接作垂直于．根據(jù)垂徑定理得到在直角中根據(jù)勾股定理得到則的最小值為．故答案為：17．如圖已知點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)的度數(shù)為點(diǎn)為上任意一點(diǎn)交于點(diǎn)連接若則的最小值是．【解答】解：如圖的度數(shù)是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是連接．是直徑的最小值為．18．如圖在中弦點(diǎn)在上移動(dòng)連接過點(diǎn)作交于點(diǎn)則的最大值為．【解答】解：連接如圖當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)的值最大而時(shí)最小此時(shí)、兩點(diǎn)重合即的最大值為故答案為：．19．如圖是的弦點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且若點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)則的最大值是．【解答】解：點(diǎn)分別是的中點(diǎn)當(dāng)取得最大值時(shí)就取得最大值當(dāng)是直徑時(shí)最大連接并延長交于點(diǎn)連接是的直徑．．故答案為：．20．如圖以為圓心半徑為2的圓與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于兩點(diǎn)點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)于當(dāng)點(diǎn)在圓的運(yùn)動(dòng)過程中線段的長度的最小值為．【解答】解：作于連接．在中點(diǎn)在以為直徑的上當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)的長最小最小值．故答案為：．三．解答題（共10小題）21．在中直徑是弦點(diǎn)在上點(diǎn)在上且．（1）如圖1當(dāng)時(shí)求的長度；（2）如圖2當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)求長的最大值．【解答】解：（1）連接如圖1在中在中；（2）連接如圖2在中當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)的長最大此時(shí)則長的最大值為．22．如圖是的直徑點(diǎn)、是上的點(diǎn)且分別與、相交于點(diǎn)、．（1）求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）若求的長；（3）若的半徑為5點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)試求出的最小值．【解答】（1）是的直徑即點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）解：而為的中位線；（3）解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)交于連接如圖此時(shí)的值最小點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱作于如圖則則在中的最小值為．23．已知是的直徑點(diǎn)在的半徑上運(yùn)動(dòng)垂足為為的切線切點(diǎn)為．（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)求的長；（2）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)連接、求證：；（3）如圖（3）設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式及的最小值．【解答】（1）解：連接由勾股定理得；（2）證明：連接為的切線平分劣?。唬?）解：設(shè)交于點(diǎn)延長線交于點(diǎn)由相交弦定理得由切割線定理得．24．如圖的直徑半徑為弧上一動(dòng)點(diǎn)（不包括、兩點(diǎn)）垂足分別為．．（1）求的長．（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)①求弧的度數(shù)．②若點(diǎn)為直徑上一動(dòng)點(diǎn)直接寫出的最小值．【解答】解：（1）連接的直徑圓的半徑為四邊形是矩形；（2）①點(diǎn)為的中點(diǎn)弧的度數(shù)為；②延長交于連接交于則的最小值的最小值為．25．如圖、、、是上的四個(gè)點(diǎn)．（1）求證：；（2）若點(diǎn)是劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（異于、、是關(guān)于的一元二次方程的兩根求的最大值．【解答】證明：（1）在上截取如圖又是等邊三角形即．又在和中又（2）由（1）可知、是方程的兩根要使有最大值則最大即為的直徑連并延長交于點(diǎn)連接則的最大值為4．26．如圖平面直角坐標(biāo)系中矩形如圖放置點(diǎn)分別為邊上的中點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．連接、且與相交于點(diǎn)連接．（1）求線段的長度；（2）過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)連接求線段長度的最小值．【解答】解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．則．四邊形是矩形．．在中．（2）由題意點(diǎn)在以為直徑的的圓上運(yùn)動(dòng)連接．的最小值為．27．如圖在中于點(diǎn)于點(diǎn)以點(diǎn)為圓心為半徑作半圓交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)取最小值時(shí)直接寫出的長．【解答】（1）證明：作于如圖于點(diǎn)平分是的切線；（2）解：點(diǎn)是的中點(diǎn)而圖中陰影部分的面積；（3）解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)連接交于如圖此時(shí)最小而即最小值為在中在中即當(dāng)取最小值時(shí)的長為．28．在中直徑是弦點(diǎn)在上點(diǎn)在上且．（1）如圖當(dāng)時(shí)求的長；（2）當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)線段長的最大值為；此時(shí)的度數(shù)為．【解答】解：（1）解：（1）連接如圖1在中在中；（2）連接如圖2在中當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)的長最大此時(shí)則