山東省青島市私立東方中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，點(diǎn)為正方體的中心，點(diǎn)為面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則空間四邊形在該正方體的面上的正投影可能是(

)A．①③④

B．②③④

C．①②④

D．①②③參考答案：D略2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）時(shí)，第二步由k到k+1時(shí)不等式左端的變化是（）A．增加了這一項(xiàng)B．增加了和兩項(xiàng)C．增加了和兩項(xiàng)，同時(shí)減少了這一項(xiàng)D．以上都不對(duì)參考答案：C【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】當(dāng)n=k時(shí)，寫(xiě)出左端，并當(dāng)n=k+1時(shí)，寫(xiě)出左端，兩者比較，關(guān)鍵是最后一項(xiàng)和增加的第一項(xiàng)的關(guān)系．【解答】解：當(dāng)n=k時(shí)，左端=+++…+，那么當(dāng)n=k+1時(shí)

左端=++…+++，故第二步由k到k+1時(shí)不等式左端的變化是增加了和兩項(xiàng)，同時(shí)減少了這一項(xiàng)，故選：C．3.參考答案：C4.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原理得：不同選法的種數(shù)是56，得解．【詳解】每一位同學(xué)有5種不同的選擇，則6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是56.故選：B．5.若，則的定義域?yàn)?

)A.

B.

C.

D.參考答案：C6.若z=4+3i，則=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i參考答案：D【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的?；?jiǎn)求解即可．【解答】解：z=4+3i，則===﹣i．故選：D．7.已知復(fù)數(shù)則，復(fù)數(shù)Z的虛部為（

）

A．-3i

B．3i

C．3

D．-3參考答案：D略8.在△ABC中，△ABC的面積夾角的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：B略9.點(diǎn)（-1，2）關(guān)于直線y=x-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是

（

）A．(3,2)

B．(-3,-2)

C．(-3,2)

D．(3,-2)參考答案：D略10.已知（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.“嫦娥奔月，舉國(guó)歡慶”，據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神六”的“長(zhǎng)征二號(hào)”系列火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為2km，以后每秒鐘通過(guò)的路程都增加2km，在達(dá)到離地面210km的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過(guò)程大約需要的時(shí)間是______秒．參考答案：1412.已知P為拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），則|PA|+|PM|的最小值為．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線與P到A點(diǎn)距離之和最小，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，利用兩點(diǎn)間距離公式求得|FA|，則|PA|+|PM|可求．【解答】解：依題意可知，拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F為（0，1），準(zhǔn)線方程為y=﹣1，只需直接考慮P到準(zhǔn)線與P到A點(diǎn)距離之和最小即可，（因?yàn)閤軸與準(zhǔn)線間距離為定值1不會(huì)影響討論結(jié)果），由于在拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)F的距離，此時(shí)問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為|PF|+|PA|距離之和最小即可，顯然當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，為|FA|，由兩點(diǎn)間距離公式得|FA|==，那么P到A的距離與P到x軸距離之和的最小值為|FA|﹣1=﹣1．故答案為：﹣1．13.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，P為BC中點(diǎn)，Q為線段CC1上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得截面記為S．當(dāng)CQ=時(shí)，S的面積為_(kāi)_________；若S為五邊形，則此時(shí)CQ取值范圍__________．參考答案：解：如圖：當(dāng)CQ=時(shí)，即Q為CC1中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1為等腰梯形，∴S=（+）?=；當(dāng)CQ=時(shí)，如下圖，，延長(zhǎng)DD1至N，使D1N=，連結(jié)AN交A1D1于S，連結(jié)QN交C1D1于R，連結(jié)SR，則AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴當(dāng)＜CQ＜1時(shí)，此時(shí)的截面形狀是上圖所示的APQRS，為五邊形．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．分析：由題意作出滿(mǎn)足條件的圖形，由線面位置關(guān)系找出截面即可求出答案．解答：解：如圖：當(dāng)CQ=時(shí)，即Q為CC1中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1為等腰梯形，∴S=（+）?=；當(dāng)CQ=時(shí)，如下圖，，延長(zhǎng)DD1至N，使D1N=，連結(jié)AN交A1D1于S，連結(jié)QN交C1D1于R，連結(jié)SR，則AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴當(dāng)＜CQ＜1時(shí)，此時(shí)的截面形狀是上圖所示的APQRS，為五邊形．點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，借助于特殊點(diǎn)分析問(wèn)題是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．14.若隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝k)＝，k＝1，2，3，則P(X≤2)＝

．參考答案：15.橢圓的焦點(diǎn)分別是F1和F2，過(guò)原點(diǎn)O作直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).若的面積是20，則直線AB的方程是_______________________.參考答案：略16.已知F1，F(xiàn)2為橢圓+=1（3＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若存在過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的圓與直線x+y+2=0相切，則橢圓離心率的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】通過(guò)題意可過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的圓的方程為：x2+（y﹣m）2=m2+c2，利用該圓與直線x+y+2=0相切、二次函數(shù)的性質(zhì)及離心率公式，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：由題可知過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的圓的圓心在y軸上，設(shè)方程為：x2+（y﹣m）2=m2+c2，∵過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的圓與直線x+y+2=0相切，∴d=r，即=，解得：c2=﹣+2m+2，∴當(dāng)c最大時(shí)e最大，而﹣+2m+2=﹣（m﹣2）2+4≤4，∴c的最大值為2，∴e的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的離心率、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．17.曲線在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為_(kāi)_______．參考答案：y＝ex－三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線C2的方程為x2+（y﹣4）2=16．（Ⅰ）求曲線C1的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線θ=（ρ＞0）與曲線C1．C2交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；對(duì)應(yīng)思想；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1可把曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得極坐標(biāo)方程．（II）把曲線C2的方程x2+（y﹣4）2=16化為極坐標(biāo)方程為：ρ=8sinθ，可得曲線θ=（ρ＞0）與曲線C1交于A：ρ1，與曲線C2交于B點(diǎn)：ρ2．利用|AB|=|ρ2﹣ρ1|即可得出．【解答】解：（I）曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），消去參數(shù)α化為普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得極坐標(biāo)方程：ρ=4sinθ．（II）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．把曲線C2的方程x2+（y﹣4）2=16化為極坐標(biāo)方程為：ρ=8sinθ，曲線θ=（ρ＞0）與曲線C1交于A：ρ1==2，與曲線C2交于B點(diǎn)：ρ2==4．∴|AB|=|ρ2﹣ρ1|=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的相交問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.哈三中學(xué)生食堂出售甲、乙兩種食品，甲每份售價(jià)0.55元、乙每份售價(jià)0.40元，經(jīng)檢測(cè)，食品中含有三種學(xué)生所需的營(yíng)養(yǎng)物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分別為10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分別為2、3、9毫克，而營(yíng)養(yǎng)師認(rèn)為學(xué)生每餐至少需此三種營(yíng)養(yǎng)物A、B、C分別為20、18、36毫克.問(wèn)一學(xué)生進(jìn)餐應(yīng)對(duì)甲、乙食品各買(mǎi)幾份，能保證足夠的營(yíng)養(yǎng)要求，又花錢(qián)最少？參考答案：當(dāng)時(shí)，最小值為2.55元20.（本大題12分）已知拋物線y=x2－4及直線y＝x＋2，求：（1）直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線在交點(diǎn)處的切線方程；參考答案：解：（1）聯(lián)立得：略21.已知是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為M的焦點(diǎn)．（1）若，是M上的兩點(diǎn)，證明：，，依次成等比數(shù)列．（2）若直線與M交于，兩點(diǎn)，且，求線段PQ的垂直平分線在x軸上的截距．參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）4【分析】（1）由B在拋物線上，求出拋物線方程；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得，，的長(zhǎng)度，從而證得依次成等比數(shù)列；（2）將直線代入拋物線方程，消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求解出k，從而可得PQ中點(diǎn)坐標(biāo)和垂直平分線斜率，從而求得PQ垂直平分線所在直線方程，代入求得結(jié)果.【詳解】（1）是拋物線上一點(diǎn)

根據(jù)題意可得：，，，，依次成等比數(shù)列（2）由，消可得，

設(shè)的中點(diǎn)，線段垂直平分線的斜率為故其直線方程為當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線綜合問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠通過(guò)直線與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形式，從而準(zhǔn)確求解出斜率