漫談數(shù)學學習馬緒明

教科研中心“讀詩使人靈秀，讀歷史使人明智，學邏輯使人周密，學哲學使人善辯，學數(shù)學使人聰明…”—培根漫談數(shù)學學習馬緒明“讀詩使人靈秀，讀歷史使人明智，學1

高中在一個人的學習生涯中占有相當重要的位置，它是承上啟下的關鍵時期，高中學習對同學們的未來的影響之大是難以估量的，他決定你考上什么樣的大學，決定你將來從事何種職業(yè)，決定你對國家貢獻的大小，決定你的生活方式和質量。而數(shù)學這一科尤為重要，它是所有學科中拉分最大的科目。高中學習的重要性高中在一個人的學習生涯中占有相當重要的位置，它2四個問題2.提到數(shù)學這門課你有什么感受？1.就你目前學習經歷，那門課最難學？4.數(shù)學應該怎么學？3.你是怎么進行數(shù)學學習的？碰到難題時，你是怎么做的？四個問題2.提到數(shù)學這門課你有什么感受？1.就你目前學習經歷3“數(shù)學在各門課程中是最不得人心的一門功課，其名聲不佳……”。

——美國G·波利亞

難我太笨了，學不了數(shù)學無用無趣討厭變態(tài)基礎差，數(shù)學是沒指望了“數(shù)學在各門課程中是最不得人心難無用無趣討厭4學生對學科課程的具體感受學生對學科課程的具體感受5高一的同學們，請不要輕易討厭數(shù)學，因為多半是由于你不了解數(shù)學，其實它很善良，也很有魅力。高一的同學們，請不要輕易討厭數(shù)學，因為多半是由于你不6莫比烏斯帶數(shù)學是有趣的莫比烏斯帶數(shù)學是有趣的7數(shù)學是美的最完美的身體：肚臍到腳底的距離/頭頂?shù)侥_底的距離=0.618

0.618數(shù)學是美的最完美的身體：0.6188最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂?shù)讲弊拥木嚯x=0.618

0.618最漂亮的臉龐：0.6189最高雅的建筑：巴黎圣母院的正立面的寬度和高度之比為0.6180.618最高雅的建筑：0.61810螺線螺線11現(xiàn)實中的數(shù)學之美現(xiàn)實中的數(shù)學之美12剖開海螺，我們可以看到貝殼里的螺軸和螺紋，數(shù)學上稱這個清晰完美的螺線為對數(shù)螺線。發(fā)現(xiàn)和定義螺線之后，對螺線進行了系統(tǒng)的分析，包括螺線的畫法，角度，雙螺旋的問題。剖開海螺，我們可以看到貝殼里的螺軸和螺紋，數(shù)學13“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在?！薄A羅庚數(shù)學是有用的“一種科學只有在成功運用數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步?！?/p>

——馬克思“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，14數(shù)學無處不在螺線應用數(shù)學無處不在螺線應用15記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)課件16盟軍艦艇編隊

1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊。當時，英美兩國實力受限，又無力增派更多的護航艦艇。一時間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。為此，一位美國海軍將領專門去請教了幾位數(shù)學家。數(shù)學家們運用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件。從數(shù)學角度來看這一問題，它具有一定的規(guī)律：一定數(shù)量的船編隊規(guī)模越小，編次就越多；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。美國海軍接受了數(shù)學家的建議，命令艦隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向預定港口，結果盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25%下降為1%，大大減少了損失。盟軍艦艇編隊1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常17你知道怎么做嗎？你知道怎么做嗎？18記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)課件19數(shù)學是有用的學生們在初中或高中所學到的數(shù)學知識，在進入了社會之后，如果沒有什么機會應用，那么這種作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而他們不管從事什么工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期的在他們的工作和生活中發(fā)揮著重要作用。——日本·米山國藏數(shù)學是有用的學生們在初中或高中所學到的數(shù)20“數(shù)學教育不僅可以培養(yǎng)人正直與誠實的品質，也能鍛煉人頑強的意志與勇氣。”——前蘇聯(lián)·辛欽數(shù)學是有用的“數(shù)學教育不僅可以培養(yǎng)人正直與誠實的品質21高中數(shù)學與初中數(shù)學的差異1.內容數(shù)量的差異2.知識差異3.數(shù)學語言的差異4.思維方法的差異5.學生學習方法的差異

高中數(shù)學與初中數(shù)學的差異1.內容數(shù)221.內容數(shù)量的差異高中數(shù)學比初中數(shù)學的知識內容在“量”上急劇增加了，單位時間內接受知識信息比初中增加了許多，但課外練習，消化的時間卻相應地減少了，現(xiàn)在高中數(shù)學的教學安排是：用兩年的時間學完三年的課程，高三全年搞總復習，教學進度排得很緊。

1.內容數(shù)量的差異23

初中數(shù)學知識淺、知識面窄，相對系統(tǒng)，高中數(shù)學知識多、深，有的是對初中數(shù)學知識推廣和引伸，如：初中學習的角的概念只是00—1800范圍內的，而高中是把角的概念推廣到任意角，包括正角、負角、零角。另外，還將學習到和初中沒有任何聯(lián)系的知識，如：數(shù)列、導數(shù)、圓錐曲線等，知識量非常大，所涉及的范圍也非常廣。并且高中每個模塊由幾塊相對獨立的知識拼合而成（如高一有集合、函數(shù)的性質、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)方程、幾何初步、直線與方程、圓的方程等），經常是一個知識點剛學得有點入門，馬上又有新的知識出現(xiàn)。2.知識差異初中數(shù)學知識淺、知識面窄，相對系統(tǒng)，高中數(shù)學知識243.數(shù)學語言的差異

初、高中的數(shù)學語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數(shù)學一下子就觸及非常抽象的集合語言、邏輯運算語言、函數(shù)語言、圖象語言等。高一年級的學生一開始的思維梯度太大，以至集合、映射、函數(shù)等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄”。

3.數(shù)學語言的差異

初、高中的數(shù)學語言有著顯著254.思維方法的差異

初中階段，教師將各種題型歸納了統(tǒng)一的思維模式，因此，初中生在數(shù)學學習中習慣于這種機械的，便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學在思維形式上發(fā)生了很大的變化，特別是數(shù)學語言的抽象化對學生思維能力提出了更高的要求。例如，當f（x－l）＝f（1-x）時，函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱，而y＝f（x－l）與y＝f（1-x）的圖象卻關于直線x＝1對稱，這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應,故而成績導致下降。

4.思維方法的差異

初中階段，教師將各種題型265.學生學習方法的差異

初中由于內容少，課堂容量小，大凡考試中所用的解題方法和數(shù)學思想，教師基本上已反復講解，學生模仿老師推理較多，較少自學；但高中的知識面廣，對高考的相關題型，老師不可能都講完。對某一題型教師只可能講一兩道較典型的例題，而所有這類相關題型學生只有通過自學才能融會貫通。高中模仿做題、思維學生有，但隨著知識的難度大和知識面廣泛，學生不能全部模仿。5.學生學習方法的差異

初中由于內271.學習習慣因依賴心理而滯后。

初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。升入高中后，教師的教學方法變了，套用的“模子”沒有了。許多學生進入高中后，還像初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。表現(xiàn)在不制定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：1.學習習慣因依賴心理而滯后。高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)28高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：2.思想松懈。

有些學生把初中的那一套思想移植到高中來。他們認為自己在初一、二時并沒有用功學習，只是在初三臨考時才發(fā)奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，而且有的可能還是重點班，因而認為讀高中也不過如此，高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發(fā)奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有這種思想的學生是大錯特錯的。中考的題目并不具有很明顯的選拔性，但高考就不同了，目前我國還不可能普及高等教育，高等教育可以說還是屬于一種精英教育，只能選拔一些成績好的學生去讀大學，因此高考的題目具有很強的選拔性，如果心存僥幸，想在高三時再發(fā)奮一、二個月就考上大學，那到頭來就會后悔莫及。高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：2.思想松懈。29高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：3.學不得法。

老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分學生上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背，還有些學生晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：3.學不得法。30高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：4.不重視基礎。

一些“自我感覺良好”的學生，常輕視基本知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”，出現(xiàn)計算失誤和審題不清等低級錯誤。高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：4.不重視基礎。31高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：5.進一步學習條件不具備。

高中數(shù)學與初中數(shù)學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數(shù)學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法，實根分布與參數(shù)變量的討論，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排列組合應用題及實際應用問題等。有的內容還是初中教材都不講的脫節(jié)內容，如不采取措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習的要求。高一數(shù)學學習的常見不良學習狀態(tài)：5.進一步學習條件不具備。32怎樣進行數(shù)學學習？一、積極的心理定向二、濃厚的學習興趣

三、科學的學習方法

怎樣進行數(shù)學學習？一、積極的心理定向二、濃厚的學習興趣33學生對學科課程的具體感受學生對學科課程的具體感受34一、積極的心理定向怎樣進行數(shù)學學習？破除迷信，解放思想，端正態(tài)度，樹立信心。我能行！我一定行！impossible=I'mpossible誰也不承認自己是一個笨蛋！一、積極的心理定向怎樣進行數(shù)學學習？破除迷信，解放思想35每天進步一點點，

進步就是好學生。苦不苦，想想紅軍兩萬五，累不累，想想雷鋒董存瑞不要動不動就夸大自己的痛苦或困難風雨中這點痛算是什么每天進步一點點，

進步就是好學生?？嗖豢啵胂爰t軍兩萬五，36怎樣進行數(shù)學學習？二、濃厚的的學習興趣加強聯(lián)系，培養(yǎng)興趣，準確定位，強化責任。怎樣進行數(shù)學學習？二、濃厚的的學習興趣37怎樣進行數(shù)學學習？三、科學的學習方法正確方法，良好習慣，循序漸進，持之以恒。怎樣進行數(shù)學學習？三、科學的學習方法381.學會預習是學好數(shù)學的關鍵3.記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)2.上好課是學好數(shù)學的基礎5.做好作業(yè)是學好數(shù)學的必要步驟4.及時復習是學好數(shù)學的保障6.解決疑難是學好數(shù)學的必經之路常規(guī)學習方法1.學會預習是學好數(shù)學的關鍵3.記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)39預習的基本方法：1.“讀”——先將教材粗讀一遍，以領會教材大意。然后根據(jù)學科特點，在反復細讀，如：數(shù)學概念、例題等逐條閱讀。2.“劃”——即劃大意、劃重點。將一節(jié)內容的重點、規(guī)律、概念等劃下來分別標上記號，以幫助上課聽講時記憶。3.“寫”——即將自己的看法或體會寫在書邊。4.“查”——即自我檢查預習的效果。合上書本思考剛才看的內容，哪些是一看就懂，哪些是模糊不懂和做課后習題，檢查預習的效果。1.學會預習是學好數(shù)學的關鍵預習的基本方法：1.學會預習是學好數(shù)學的關鍵40

就是要把全部精力投入到課堂中來，專心聽預習中發(fā)現(xiàn)的重難點，爭取做到五到：既耳到、眼到、心到、口到、手到。還要想在老師前面，不斷思考：面對這個問題我會怎么想？當老師講解時，又要思考：老師為什么這樣想？這里用了什么思想方法？這樣做的目的是什么？這個題有沒有更好的方法？問題多了，思路自然就開闊了，這就是積極的思考。

2.上好課是學好數(shù)學的基礎就是要把全部精力投入到課堂中來，專心聽預習41學好高中數(shù)學,在學習方法上要有所轉變和改進.而做好數(shù)學筆記無疑是非常有效的環(huán)節(jié).善于做數(shù)學筆記,是一個學生善于學習的反映.那么,數(shù)學筆記究竟該記些什么呢?

（1）記內容提綱

老師講課大多有提綱，并且講課時老師會將一堂課的線索脈絡、重點難點等,簡明清晰地呈現(xiàn)在黑板上,同時,教師會使之富有條理性和直觀性.記下這些內容提綱,便于課后復習回顧,整體把握知識框架,對所學知識做到胸有成竹,清晰完整。3.記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)學好高中數(shù)學,在學習方法上要有所轉變和改進.而42（2）記疑難問題

將課堂上未聽懂的問題及時記下來，便于課后請教同學或老師，把問題弄懂弄通。教師在組織課堂教學時,受到時空的限制,不可能做到顧及每一位同學.相應的,一些問題對部分學生來說,是屬于疑難問題,由于課堂上來不及思考成熟,記下疑難問題,可在課后繼續(xù)加以思考和探究,加以理解和掌握,不致出現(xiàn)知識的斷層、方法的缺陷.3.記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)（2）記疑難問題

將課堂上未聽懂的問題及時43（4）記歸納總結

注意記下老師的課后總結，這對于濃縮一堂課的內容，找出重點及各部分之間的聯(lián)系，掌握基本概念、公式、定理，尋找規(guī)律，融會貫通課堂內容都很有作用。同時,很多有經驗的老師在課后小結時,一方面是承上歸納所學內容,另一方面又是啟下布置預習任務或點明后面所要學的內容,做好筆記可以把握學習的主動權,提前作準備,做到目標任務明確.3.記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)（4）記歸納總結

注意記下老師的課后總結，這44（5）記體會感悟

解題過程中，關鍵步驟的來龍去脈、其中蘊含的知識的用法、數(shù)學思想以及自己對這些問題的理解與感悟，是記筆記時，最容易忽視的內容。但這是自己對知識與方法的感悟，應是筆記中非常重要的內容，必須記下，同時也便于日后復習，這其實是衡量一個人會不會記筆記的標志。3.記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)（5）記體會感悟

解題過程中，關鍵45（6）記錯誤反思

學習過程中不可避免地會犯這樣或那樣的錯誤,“聰明人不犯或少犯相同的錯誤”,記下自己所犯的錯誤,并用紅筆醒目地加以標注,以警示自己,同時也應注明錯誤成因,正確思路及方法,在反思中成熟,在反思中提高.3.記好筆記是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)（6）記錯誤反思

學習過程中不可避免地會犯46

必須用好你的數(shù)學筆記記下的筆記只停留在紙上，要成為你自己的東西，必須用心去獨立體會筆記里的每一個典型例題，每一個經典方法，每一個想法思路，完全理解并且會熟練運用才是根本。千萬不要把辛辛苦苦記載的課堂筆記棄之不用。必須用好你的數(shù)學筆記47及時復習是高效率學習的重要一環(huán)，通過回憶老師講課內容，反復閱讀教材，多方查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關的舊知識聯(lián)系起來，進行分析比較，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記上，才能使所學的新知識由“懂”到“會”。4.及時復習是學好數(shù)學的保障及時復習是高效率學習的重要一環(huán)，通過回憶48(1)做好單元小結

單元小結內容一般包括以下部分，（1）構建本單元（章）的知識網絡；使知識系統(tǒng)化，便于記憶（2）歸納本章的基本思想與方法（應以典型例題形式將其表達出來）；（3）整理典型題：即把本章的典型例題、自己做錯的典型題、錯因及正確答案整理下來。

(1)做好單元小結單元小結內容一般包括以下部49

(2)建立數(shù)學糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再

犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴密。

(2)建立數(shù)學糾錯本。50先復習后作業(yè)；獨立作業(yè)、限時完成；千萬不要抄襲作業(yè)！5.做好作業(yè)是學好數(shù)學的必要步驟先復習后作業(yè)；5.做好作業(yè)是學好數(shù)學的必要步驟51

對上課聽不明白的地方，或課下獨立完成作業(yè)過程中暴露出來的問題,（例如，對知識理解的錯誤，或由于思維受阻解答不出來），通過同學間相互探討或老師點撥把疑難問題徹底解決掉，但解決疑難一定要有鍥而不舍的精神，把請教老師和問同學獲得的東西消化變成自己的知識。6.解決疑難是學好數(shù)學的必經之路對上課聽不明白的地方，或課下獨立完成作業(yè)過程52學好數(shù)學其實很簡單一、你只要記住一些重要的概念、公式、定理就行了。實質是抓好基礎學好數(shù)學其實很簡單一、你只要記住一些重要的概念、公式、定理就53學習數(shù)學概念，要善于抓住它的本質屬性，也就是區(qū)別于這個概念和其他概念的屬性；

學習定理公式，要緊緊抓住定理方向的內在聯(lián)系，抓住定理公式適用的范圍（什么時候用？用來干什么？怎么用？）及題型，做到得心應手地應用這些定理公式，數(shù)學解題實際上是在熟練掌握概念與定理公式的基礎上解決矛盾，完成從“未知”向“已知”的轉化。要著重學習各種轉化方式，培養(yǎng)轉化的能力。

學習數(shù)學概念，要善于抓住它的本質屬性，也就是區(qū)別于這個概念和54總而言之，在學習數(shù)學基礎知識中，要注意把握知識的整體精髓，悟其中的規(guī)律和實質，形成一個緊密聯(lián)系的整體認識體系，以促進各種形式間的相互遷移和轉化。同時，還要注意知識形成過程無處不隱含著人們在教學活動中解決問題的途徑、手段和策略，無處不以數(shù)學思想、方法為指南，而這也是我們學習知識時最希望要學到的東西?？偠灾?，在學習數(shù)學基礎知識中，要注意把握知識的整體精髓，55數(shù)學思想方法是知識、技能轉化為能力的橋粱，是數(shù)學結構中強有力的支柱，在中學數(shù)學課本里滲透了函數(shù)的思想，方程的思想，數(shù)形結合的思想，邏輯劃分的思想，等價轉化