專(zhuān)題10幾何問(wèn)題例1．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)中任取兩條作為一對(duì)．其中所成的角為SKIPIF1<0的共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．24對(duì) B．30對(duì) C．48對(duì) D．60對(duì)【解析】正方體的面對(duì)角線(xiàn)共有12條，兩條為一對(duì)，共有SKIPIF1<0對(duì)，同一面上的對(duì)角線(xiàn)不滿(mǎn)足題意，對(duì)面的面對(duì)角線(xiàn)也不滿(mǎn)足題意，一組平行平面共有6對(duì)不滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)對(duì)數(shù)，不滿(mǎn)足題意的共有：SKIPIF1<0．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)中任取兩條作為一對(duì)．其中所成的角為SKIPIF1<0的共有：SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．例2．四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)SKIPIF1<0在同一平面上，不同的取法有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．30種 B．33種 C．36種 D．39種【解析】根據(jù)題意，如圖，分析可得，①所取的3點(diǎn)在3個(gè)側(cè)面上時(shí)，每個(gè)側(cè)面有SKIPIF1<0種取法，共SKIPIF1<0種情況；②所取的3點(diǎn)不在側(cè)面上時(shí)，含頂點(diǎn)SKIPIF1<0的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法；綜合可得，共SKIPIF1<0種，故選：SKIPIF1<0．例3．從四面體的頂點(diǎn)及各棱的中點(diǎn)這十個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，則不同平面?zhèn)€數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．17 B．23 C．25 D．29【解析】考慮點(diǎn)的選擇：（1）三個(gè)點(diǎn)都是頂點(diǎn)：一共有4種，就是四面體的四個(gè)表面；（2）兩個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)棱中點(diǎn)：為了不和上面的四個(gè)面重合，當(dāng)兩個(gè)頂點(diǎn)確定時(shí)，只有一個(gè)選擇（此時(shí)的面就是一條棱和它的對(duì)棱的中點(diǎn)確定的面），所以這種情況一共有6種；（3）一個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)棱中點(diǎn)：為了不和上面重合，確定一個(gè)頂點(diǎn)后，則只能選取它的對(duì)面的三個(gè)中點(diǎn)了，有3種情況，共有SKIPIF1<0種；（4）三個(gè)都是棱中點(diǎn)：可以在正四面體中想，這樣的面要么和外表面平行要么和一對(duì)對(duì)棱平行，所以有SKIPIF1<0種，綜上，共有SKIPIF1<0種．故選：SKIPIF1<0．例4．四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．150種 B．147種 C．144種 D．141種【解析】從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有SKIPIF1<0種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi)．第一類(lèi)，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有SKIPIF1<0種；第二類(lèi)，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類(lèi)，由中位線(xiàn)構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4頂點(diǎn)共面，有3種．以上三類(lèi)情況不合要求應(yīng)減掉，SKIPIF1<0不同的取法共有SKIPIF1<0種．故選：SKIPIF1<0．例5．如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么稱(chēng)此直線(xiàn)與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線(xiàn)面組”，在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線(xiàn)與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線(xiàn)面組”的個(gè)數(shù)是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．60 B．48 C．36 D．24【解析】由題意知本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，一個(gè)長(zhǎng)方體的面可以和它相對(duì)的面上的4條棱和兩條對(duì)角線(xiàn)組成6個(gè)，一共有6個(gè)面，共有SKIPIF1<0種結(jié)果，長(zhǎng)方體的對(duì)角面組成兩組，共有6個(gè)對(duì)角面，共有12種結(jié)果，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有SKIPIF1<0種結(jié)果，故選：SKIPIF1<0．例6．正八邊形SKIPIF1<0的8個(gè)頂點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的不同位置的直角三角形共有個(gè)．【解析】正八邊形SKIPIF1<0的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，8個(gè)等分點(diǎn)可得4條直徑，可構(gòu)成直角三角形有SKIPIF1<0個(gè)，故答案為：24例7．如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有多少個(gè)．【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類(lèi)：第一類(lèi)，有一條公共邊的三角形共有SKIPIF1<0（個(gè)SKIPIF1<0；第二類(lèi)，有兩條公共邊的三角形共有8（個(gè)SKIPIF1<0．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有SKIPIF1<0（個(gè)SKIPIF1<0．例8.不共面的四點(diǎn)確定四面體(記得易除共面的情況）(I)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)四面體?（II）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),可以確定多少個(gè)四棱錐?【解析】（I）正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成SKIPIF1<0個(gè)四點(diǎn)組,其中共面的四點(diǎn)組有正方體的6個(gè)表面及正方體6組相對(duì)棱分別所在的6個(gè)平面的四個(gè)頂點(diǎn),故可以確定四面體的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0(II)由(I)知，正方體共面的四點(diǎn)組有12個(gè),以這每一個(gè)四點(diǎn)組構(gòu)成的四邊形為底面,以其余的四個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)都可以確定一個(gè)四棱錐,故可以確定四棱錐的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0例9.考慮SKIPIF1<0的正方形方格表中的25個(gè)格點(diǎn),則通過(guò)至少3個(gè)格點(diǎn)有不同直線(xiàn)的數(shù)目為【解析】水平和豎直的直線(xiàn)共有10條,兩條對(duì)角線(xiàn)和與兩條對(duì)角線(xiàn)平行的直線(xiàn)共有10條,在SKIPIF1<0的正方形中有6個(gè)SKIPIF1<0的長(zhǎng)方形,每個(gè)SKIPIF1<0的長(zhǎng)方形有2條對(duì)角線(xiàn)，即SKIPIF1<0條,因此共有32條.例10.如圖，給定由10個(gè)點(diǎn)(任意相鄰兩點(diǎn)距離為1)組成的正三角