常微分方程線性方程與常數(shù)變易法2023/8/12常微分方程第1頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程一階線性微分方程第2頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法第3頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)第4頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程例1

求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫(xiě)為首先,求齊次方程的通解從分離變量得兩邊積分得第5頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即積分得故通解為第6頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程例2

求方程通解.解:但將它改寫(xiě)為即故其通解為第7頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程例3

求值問(wèn)題的解.解:先求原方程的通解第8頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程故所給初值問(wèn)題的通解為第9頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程形如的方程,稱為伯努利方程.解法:第10頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程例4

求方程的通解.解:解以上線性方程得第11頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動(dòng)勢(shì)E均為常數(shù),試求當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.

二線性微分方程的應(yīng)用舉例電路的Kirchhoff第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.

第12頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程則電流經(jīng)過(guò)電感L,電阻R的電壓降分別為

解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到設(shè)當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t),取開(kāi)關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻為0,得通解為:第13頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/8/12常微分方程故當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為第14頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月202