含球關(guān)節(jié)間隙的xmlr機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與仿真

目前，在機(jī)器人、航空航天工程和器械領(lǐng)域，機(jī)械系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求日益提高，實(shí)現(xiàn)了更好的定位精度和良好的動(dòng)態(tài)性能。在設(shè)計(jì)、制造和調(diào)試過(guò)程中，有必要考慮到許多因素，其設(shè)計(jì)理念也越來(lái)越全面。在含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究中,對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確且可解的動(dòng)力學(xué)建模至關(guān)重要,諸多學(xué)者對(duì)此做出了大量的工作.當(dāng)前,含間隙關(guān)節(jié)副動(dòng)力學(xué)建模主要基于三種方法:無(wú)質(zhì)量桿間隙模型,兩狀態(tài)非連續(xù)接觸模型以及多狀態(tài)非連續(xù)接觸模型空間RSSR機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性比平面四桿機(jī)構(gòu)復(fù)雜,結(jié)構(gòu)緊湊,運(yùn)動(dòng)多樣,靈活可靠,可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)的傳遞,在工程上有許多特殊的用途,在各種工作機(jī)械、發(fā)動(dòng)機(jī)以及儀表機(jī)構(gòu)中得到大量的應(yīng)用.本文對(duì)含球關(guān)節(jié)間隙的RSSR機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與動(dòng)力學(xué)建模,并通過(guò)編程對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行仿真研究,分析不同接觸力碰撞模型下,間隙量、輸入轉(zhuǎn)速等關(guān)鍵參數(shù)對(duì)RSSR機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響.1含間隙球關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立如圖1所示,該圖描述了含間隙的球關(guān)節(jié)副元素處于分離狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).其中下腳標(biāo)i代表第i號(hào)構(gòu)件,下腳標(biāo)j代表第j號(hào)構(gòu)件.現(xiàn)將圖中各標(biāo)注含義說(shuō)明如下:x、y、z為全局坐標(biāo)系;ξ為方便說(shuō)明與理解,此處將關(guān)節(jié)間隙量放大.在實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)中,關(guān)節(jié)間隙量遠(yuǎn)小于球頭與球窩半徑.球窩與球頭中心點(diǎn)的偏心矢量e可表示為式(1)中,r式(2)中,A上式可以進(jìn)一步寫(xiě)為圖2描述了處于接觸狀態(tài)的含間隙球關(guān)節(jié).當(dāng)球頭接觸碰撞球窩時(shí),運(yùn)動(dòng)副材料可視為彈性體,會(huì)產(chǎn)生接觸嵌入,球窩和球頭上的接觸點(diǎn)分別為Q球窩與球頭的接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的向量描述可由下式給出:球頭與球窩接觸點(diǎn)的矢量差可表示為同時(shí)為便于后續(xù)計(jì)算,δ的模長(zhǎng)δ表示嵌入深度,也可以用式(5)表示:式中,c=R式(6)中矢量接觸點(diǎn)的法向相對(duì)速度以及切向相對(duì)速度分別由V式中,t表示接觸碰撞面的切線方向,并假定球頭與球窩開(kāi)口處沒(méi)有接觸.碰撞過(guò)程中所產(chǎn)生接觸力包括法向力和切向力,分別由f式中,s式中,s2crssr機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模圖3所示為典型的空間單自由度RSSR機(jī)構(gòu),各構(gòu)件從基座開(kāi)始編號(hào)依次為1~4,其中為l圖3中RSSR機(jī)構(gòu)各點(diǎn)坐標(biāo)如下:根據(jù)封閉矢量法,建立幾何關(guān)系方程,可求出輸入轉(zhuǎn)角θ求解該方程可得式中,p當(dāng)RSSR機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)不含間隙,所受運(yùn)動(dòng)約束為完整約束.通過(guò)機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件質(zhì)心位置的坐標(biāo)(x,y,z)以及表示構(gòu)件旋轉(zhuǎn)姿態(tài)的歐拉角(α,β,γ)來(lái)定義機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)矢量.圖3中,CRSSR機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為運(yùn)動(dòng)約束方程組可以寫(xiě)為式中:cθ在理想情況下,不考慮間隙作用,根據(jù)拉格朗日乘子法,機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程如下式所示:式中:Baumgarte約束穩(wěn)定是一個(gè)簡(jiǎn)單易用的動(dòng)力學(xué)修正方法,以消除和改善常規(guī)拉格朗日乘子法在應(yīng)用于特殊場(chǎng)合時(shí)算法上的缺陷,方法中添加了兩個(gè)位置和速度約束的反饋控制常數(shù)α、β.此時(shí)拉格朗日乘子法公式中的γ將被擴(kuò)展,并重新寫(xiě)作3包括球關(guān)節(jié)間隙的動(dòng)態(tài)ri系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模擬3.1接觸剛度變化的仿真結(jié)果含間隙關(guān)節(jié)研究中,接觸力模型的建立也是重要的研究?jī)?nèi)容,對(duì)于含間隙的球關(guān)節(jié),球窩與球頭之間的接觸可以用經(jīng)典的Hertz接觸模型來(lái)描述為式中,K為接觸剛度系數(shù),δ為嵌入深度,n設(shè)定為1.5.K依賴于接觸的材料與接觸面的幾何特性.對(duì)于球面接觸,接觸剛度系數(shù)一般給定為式中,與材料有關(guān)的參數(shù)σ式中,νD的表達(dá)式為式中:c在圖3中,在C點(diǎn)處,假設(shè)構(gòu)件3與構(gòu)件4聯(lián)接的球關(guān)節(jié)含有間隙,不考慮摩擦的影響.由于間隙的存在,使得關(guān)節(jié)對(duì)構(gòu)件的約束由運(yùn)動(dòng)約束轉(zhuǎn)變?yōu)榱s束,系統(tǒng)受到了額外的附加力,接觸碰撞力為f式中,下角標(biāo)c表示為含間隙系統(tǒng)下的參數(shù).F當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)速度為1200r/min時(shí),球關(guān)節(jié)含間隙情況下,機(jī)構(gòu)搖桿的角位移、速度加速度輸出如圖4,圖5所示.由以上仿真結(jié)果可以得知,當(dāng)間隙存在時(shí),對(duì)輸出的角位移影響較弱,對(duì)速度的影響較大,影響尤其顯著的是角加速度,可以從圖中間接知道,關(guān)節(jié)副元素之間存在高頻的沖擊力.3.2接觸力模型影響分析轉(zhuǎn)速12000r/min,間隙量0.5mm(其他參數(shù)同表1~3)時(shí),Hertz模型與L-N模型的動(dòng)力學(xué)輸出曲線仿真對(duì)比,仿真時(shí)長(zhǎng)為0.025s.從圖6中可以看出,L-N模型的加速度仿真結(jié)果其峰值要大于Hertz模型.在圖7中,由于L-N模型考慮了碰撞過(guò)程中能量損失的存在,在嵌入深度的對(duì)比中,在Hertz模型中出現(xiàn)了大量嵌入深度峰值極高的尖點(diǎn),L-N模型中考慮了碰撞體的材料特性,局部變形和碰撞速度等信息,其模擬出的嵌入深度要小于Hertz模型,關(guān)節(jié)接觸力峰值大于Hertz模型.因此,可以得出在含球關(guān)節(jié)間隙的RSSR機(jī)構(gòu)中,兩種模型將對(duì)仿真的部分輸出結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的影響.3.3不同轉(zhuǎn)速條件下c點(diǎn)部位關(guān)節(jié)力模型分析在RSSR等諸多含曲柄機(jī)構(gòu)中,曲柄輸入轉(zhuǎn)速的設(shè)置對(duì)機(jī)構(gòu)的慣性力分布情況產(chǎn)生直接影響,進(jìn)而對(duì)機(jī)構(gòu)的輸出單元,連接構(gòu)件等動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響.對(duì)不同曲柄輸入轉(zhuǎn)速下動(dòng)力學(xué)輸出曲線進(jìn)行對(duì)比分析,關(guān)節(jié)力采用Hertz接觸模型.參數(shù)選取為:關(guān)節(jié)間隙量為0.5mm,轉(zhuǎn)速分別選取為1200r/min,12000r/min.圖8反映了C點(diǎn)處球關(guān)節(jié)球頭中心相對(duì)于球窩中心的運(yùn)動(dòng)軌跡,在間隙量為0.5mm狀態(tài)下,轉(zhuǎn)速無(wú)論1200r/min亦或是12000r/min,球頭相對(duì)球窩仍是分離狀態(tài)占大多數(shù)時(shí)間.球頭中心運(yùn)動(dòng)軌跡多在間隙空間內(nèi),碰撞點(diǎn)集中在間隙圓附近,在間隙球的兩個(gè)區(qū)域分布較為密集,與RSSR機(jī)構(gòu)連桿和搖桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的約束相關(guān).3.4間隙量影響因素的變化間隙尺寸的出現(xiàn)是造成含關(guān)節(jié)間隙多體系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)特殊規(guī)律的直接原因,本小節(jié)將對(duì)含不同球關(guān)節(jié)間隙量的RSSR空間機(jī)構(gòu)輸出動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行對(duì)比分析,探究間隙量的變化對(duì)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)輸出特性的影響規(guī)律.首先選取間隙量為0.5和0.1mm進(jìn)行對(duì)比.如圖9,間隙量的調(diào)整可以顯著地改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)輸出特性.比較球關(guān)節(jié)間隙0.5mm和0.1mm時(shí)搖桿的輸出加速度,通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),曲柄幾個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期后,0.5mm間隙量時(shí)的搖桿輸出加速度曲線毛刺現(xiàn)象變得極為劇烈,且呈現(xiàn)放大的趨勢(shì),而間隙量為0.1mm時(shí)加速度的變化較為穩(wěn)定,可見(jiàn)間隙量的大小深刻影響著機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性.圖10所示球頭相對(duì)球窩嵌入深度可以發(fā)現(xiàn),間隙量的大小同樣能夠影響間隙運(yùn)動(dòng)副之間的碰撞劇烈程度,間隙量減小,嵌入深度減小.圖10所示接觸力的變化趨勢(shì)同樣符合預(yù)期,間隙量由0.5mm減小到0.1mm后,顯著改善了關(guān)節(jié)受到高頻劇烈撞擊力的情況.進(jìn)一步仿真可以發(fā)現(xiàn),雖然隨著間隙量的減小,加速度曲線的毛刺現(xiàn)象得到了進(jìn)一步抑制,但間隙量同樣減小5倍,由0.1mm減少到0.02mm時(shí),間隙量對(duì)加速度曲線震蕩峰值抑制效果沒(méi)有0.5mm減少到0.1mm時(shí)明顯.間隙量為0.1~0.02mm對(duì)比時(shí),球頭球窩之間的嵌入深度、接觸力同樣沒(méi)有0.5~0.1mm對(duì)比時(shí)明顯.間隙量為0.02mm時(shí),球頭與球窩之間的嵌入深度峰值僅比間隙量為0.1mm時(shí)的嵌入深度減少約10%~20%.當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定后,0.1mm間隙所產(chǎn)生的接觸力相比于0.02mm間隙產(chǎn)生的接觸力約大1倍.同時(shí),隨著間隙量的進(jìn)一步減小,球頭球窩嵌入深度與接觸力曲線呈現(xiàn)出了更明顯的規(guī)律性.通過(guò)間隙量對(duì)系統(tǒng)輸出影響的分析,我們得到了相當(dāng)多的信息.在其他條件不變的情況下,間隙量在最初的減小過(guò)程中可以顯著抑制由間隙帶來(lái)的種種不利.但當(dāng)間隙量繼續(xù)減少時(shí),通過(guò)調(diào)整間隙量起到的穩(wěn)定系統(tǒng)的作用將有所下降.間隙量的減小有助于更加系統(tǒng)地分析關(guān)節(jié)間碰撞力的變化規(guī)律.4仿真結(jié)果分析本文采用拉格朗日乘子法,建立了理想的RSSR空間機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,在PD控制方法驅(qū)動(dòng)下,正動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果與運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)果比較,驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)建模的正確性;進(jìn)一步建立了含單個(gè)球關(guān)節(jié)間隙的RSSR空間機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型,采用R-K數(shù)值方法,得出在含間隙情況下RSSR機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性規(guī)律;對(duì)Hertz和L-N碰撞接觸模型、曲柄輸入轉(zhuǎn)速以及關(guān)節(jié)間隙尺寸因素對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)輸出產(chǎn)生的影響進(jìn)行了深入的分析.得出如下結(jié)論:1)L-N接觸力模型相對(duì)于Hertz模型,由于考慮接觸碰撞過(guò)程中能量的損失,在仿真計(jì)算過(guò)程中的計(jì)算得出嵌入深度小于Hertz模型下的嵌入深度;關(guān)節(jié)接觸力峰值大于Hertz模型下的接觸力峰值.2)曲柄轉(zhuǎn)速的增大,球關(guān)節(jié)接觸力加