湖南省衡陽市祁東縣金玉盆中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知兩曲線都經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），且在點(diǎn)P處有公切線，則=

（

）

A．0

B．2

C．3

D．4參考答案：B2.定義在上的函數(shù)，且在上恒成立，則關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)敘述正確的是(

)A．有兩個(gè)

B．有一個(gè)

C．沒有

D．上述情況都有可能參考答案：A顯然是偶函數(shù)，且在遞增.在上恒成立，所以的圖象至少向左平移2個(gè)單位，即，所以，方程的根有2個(gè).3.設(shè)函數(shù)是二次函數(shù),,若函數(shù)的值域是,則函數(shù)的值域是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B4.若向量，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．

B．向量與向量的夾角為

C．D．對同一平面內(nèi)的任意向量，都存在一對實(shí)數(shù)，使得參考答案：D試題分析：，A正確；，B正確；，C正確；因此D錯(cuò)誤，故選D．考點(diǎn)：向量的垂直，向量的共線，平面向量基本定理．5.設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則ab的最大值為（）A．1 B．2 C． D．4參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得B（）．化z=ax+by為，由圖可知，當(dāng)直線過B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z最大．此時(shí)z=，即3a+14b=20．∵a＞0，b＞0，∴，即．∴ab的最大值為．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．6.判斷下列各命題,其中假命題的個(gè)數(shù)為（）（1）向量的長度與向量的長度相等；（2）向量與向量平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個(gè)有共同起點(diǎn)的而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（4）兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5）向量和向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上；(6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.

A、2個(gè)

B、3個(gè)

C、4個(gè)

D、5個(gè)參考答案：C略7.盒中裝有形狀，大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)，若從中隨機(jī)取出2個(gè)球，已知其中一個(gè)為紅色，則另一個(gè)為黃色的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：C8.定義在上的函數(shù)滿足，，則等于（

）A．2

B．3

C．6

D．9參考答案：C略9.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小?！驹斀狻?；；。故。故選A?！军c(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待。10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)，設(shè)，（），則的最大值為（

）A．

-1

B．1

C.

2

D．3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若一條直線與一個(gè)正四棱柱各個(gè)面所成的角都為,則=______參考答案：略12..在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________.(用數(shù)字作答)參考答案：20【分析】的展開式的通項(xiàng)為，取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.13.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，則實(shí)數(shù)m的最大值為．參考答案：6【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃；平行向量與共線向量．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式得到2x﹣y+m=0，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用m的幾何意義，即可求出m的最大值．【解答】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，∴2x﹣y+m=0，即y=2x+m，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：平移直線y=2x+m，由圖象可知當(dāng)直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，y=2x+m的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．即m的最大值為6．故答案為：6【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用m的幾何意義結(jié)合數(shù)形結(jié)合，即可求出m的最大值．根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式是解決本題的關(guān)鍵．14.從長度分別為1、2、3、4的四條線段中任意取三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是

．參考答案：15.已知直線l過點(diǎn)（1，1），過點(diǎn)P（-1，3）作直線m⊥l，垂足為M，則點(diǎn)M到點(diǎn)Q（2，4）距離的取值范圍為______．參考答案：【分析】先根據(jù)垂直關(guān)系得到點(diǎn)M的軌跡為一個(gè)圓，然后用|CQ|減去圓的半徑得|MQ|的最小值，加上半徑得|MQ|的最大值．【詳解】直線過定點(diǎn)設(shè)為A，則有A（1,1），設(shè)M（x，y），因?yàn)橹本€，則，所以，，即，化簡為：，所以，點(diǎn)M的軌跡為以C（0,2）為圓心為半徑的圓，∵|CQ|2，∴|CQ||MQ|≤|CQ|，即|MQ|≤3．故答案為：［，3］.【點(diǎn)睛】一般和圓有關(guān)的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理。

16.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線與圓于A，B，C，D四點(diǎn)，則|AB|．|CD|=________參考答案：417.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是_____.參考答案：2【分析】本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，令實(shí)部為0即得a的值.【詳解】，令得.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，虛部的定義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2015秋?大理州校級月考）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：（Ⅰ）；（Ⅱ）．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明．

【專題】推理和證明．【分析】（Ⅰ）利用綜合法以及基本不等式直接證明；（Ⅱ）通過a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，結(jié)合基本不等式證明．【解答】證明：（Ⅰ）∵a，b，c為正實(shí)數(shù)∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號．∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號…（5分）（Ⅱ）∵a，b，c為正實(shí)數(shù)∴a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，同理

，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號．…（10分）【點(diǎn)評】本題考查綜合法以及基本不等式的應(yīng)用，考查不等式的證明，考查邏輯推理能力．19.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ2﹣4．（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程化為普通方程；（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）在圓C上，求x+y的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）先展開，再根據(jù)ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可將極坐標(biāo)方程化為普通方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓的參數(shù)方程為，α為參數(shù)，即可求x+y的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由有，即，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式有圓C的普通方程為：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓的參數(shù)方程為，α為參數(shù)∴∴的取值范圍為．【點(diǎn)評】本題考查極坐標(biāo)方程化為普通方程，考查利用參數(shù)方程求x+y的取值范圍，屬于中檔題．20.在數(shù)列中，，若函數(shù)，在點(diǎn)處切線過點(diǎn)(1） 求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.參考答案：（1）因?yàn)?，所以切線的斜率為，切點(diǎn)（1，2），切線方程為又因?yàn)檫^點(diǎn)（），所以，即①所以，即數(shù)列為一等比數(shù)列，公比.(2）由（1）得為一公比為的等比數(shù)列，則

∴，21.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求證：a，c，b成等差數(shù)列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面積為4，求c．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得sinA+sinB=2sinC，從而可求a+b=2c，即a，c，b成等差數(shù)列；（Ⅱ）由已知利用三角形面積公式可求ab=16，進(jìn)而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，結(jié)合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差數(shù)列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面積為4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．22.如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求異面直線AD與BE所成角的大小．

參考答案：證明：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，∵四邊形ABCD為矩形，∴O為AC的中點(diǎn)．∴OE為△PAC