第第頁(yè)2022-2023學(xué)年四川省眉山市冠城重點(diǎn)學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年四川省眉山市冠城重點(diǎn)學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則()

A.B.C.D.

2.已知，，則()

A.B.C.D.

3.已知扇形的半徑為，圓心角為，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為()

A.B.C.D.

4.化簡(jiǎn)：()

A.B.C.D.

5.將正弦函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，最后得到函數(shù)的圖象，則()

A.B.

C.D.

6.已知函數(shù)，，則的值域是()

A.B.C.D.

7.設(shè)，，，則有()

A.B.C.D.

8.設(shè)，，且，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.若，都是非零向量，且，則()

A.，方向相同B.，方向相反C.D.

10.已知，則可能是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

11.已知，則()

A.是偶函數(shù)B.的最小正周期是

C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是D.在上單調(diào)遞增

12.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，，則()

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知，，且，則的值是______．

14.已知，則______．

15.已知奇函數(shù)又是周期函數(shù)，且的最小正周期是，當(dāng)時(shí)，，則的值是______．

16.如圖，已知直線，是，之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)到，的距離分別是，，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)則的面積的最小值是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

已知，，與的夾角求：

；

．

18.本小題分

已知，，，．

求的值；

求的值．

19.本小題分

已知、不共線．

若，，，求證：，，三點(diǎn)共線；

若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值．

20.本小題分

已知函數(shù)

求函數(shù)的最大值，以及相應(yīng)的集合；

求函數(shù)的增區(qū)間．

21.本小題分

海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：

時(shí)刻：：：：：：：

水深米

經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)來(lái)描述．

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達(dá)式；

一條貨船的吃水深度船底與水面的距離為米，安全條例規(guī)定至少要有米的安全間隙船底與洋底的距離，該貨船在一天內(nèi)：：什么時(shí)間段能安全進(jìn)出港口？

22.本小題分

已知向量，，且．

當(dāng)時(shí)，求的值；

當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；

若，，且的最小值為求實(shí)數(shù)的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

由三角函數(shù)的定義知，．

故選：．

由三角函數(shù)的定義直接可得．

本題考查三角函數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：，，

．

故選：．

由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可．

本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：由題意可得扇形的半徑為，圓心角為，

則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)．

故選：．

由題意利用扇形的弧長(zhǎng)公式即可求解．

本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：．

故選：．

由平面向量的運(yùn)算直接計(jì)算即可．

本題考查平面向量的加減混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：將正弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到的圖象，

再將得到的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，

最后得到函數(shù)的圖象，則

故選：．

直接根據(jù)平移變換規(guī)律即可得．

本題考查平移變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

故．

故選：．

由已知結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：，

，

，

在上單調(diào)遞增，

，

．

故選：．

由三角恒等變換化簡(jiǎn)，，，再由三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可．

本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)值的大小比較，屬于中檔題．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合角的范圍可求得，即可得解．

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

可得，即，

又因?yàn)?，?/p>

可得，即．

故本題選D．

9.【答案】

【解析】解：由向量相等的概念可知，若，

則與長(zhǎng)度相等，方向相同，故A，C正確．

故選：．

根據(jù)相等向量的概念直接判斷即可．

本題考查向量相等的概念，屬基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以可能是第二或第三象限角．

故選：．

根據(jù)余弦值的符號(hào)，判斷可能是第幾象限角．

本題考查了三角函數(shù)值的符號(hào)判斷問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：，則是偶函數(shù)，故A正確，

的最小正周期，故B正確，

當(dāng)時(shí)，，即圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，故C正確，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．

故選：．

利用倍角公式求出，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用倍角公式求出的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

則，故A正確，

，

，

，故B錯(cuò)誤，

，

，

，

故C正確，

，

，

，

故D錯(cuò)誤，

故選：．

利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可．

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：，，且，

則，解得．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以．

故答案為：．

由已知利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．

本題考查了誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：的最小正周期是，，

是定義在上的奇函數(shù)，

，．

故答案為：．

根據(jù)函數(shù)的周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)即可求值．

本題考查函數(shù)的周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，

由于，則有，

在中，，而，則，

在中，，而，則，

故的面積，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)的面積取得最小值．

故答案為：．

根據(jù)題意，設(shè)，由三角函數(shù)的定義可得和，結(jié)合三角形面積公式可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

本題考查三角形中的幾何計(jì)算，涉及三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．

17.【答案】解：，，與的夾角，

；

，

．

【解析】由已知直接利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式求解；

求出，開(kāi)方得答案．

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的求法，是基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：，，，

又，，

則，，

；

，

由，，得，

．

【解析】由已知分別求得，的值，由，展開(kāi)兩角差的正弦得答案；

由，展開(kāi)兩角和的余弦求得，結(jié)合角的范圍可得的值．

本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查兩角和與差的正弦、余弦，訓(xùn)練了利用已知角的三角函數(shù)值求角，是中檔題．

19.【答案】證明：因?yàn)?、不共線，且，，

所以，

又因?yàn)椋?/p>

所以，

即、共線，且有公共點(diǎn)，

所以，，三點(diǎn)共線；

解：因?yàn)橄蛄颗c共線，

所以，；

即，解得，，

所以實(shí)數(shù)的值為．

【解析】根據(jù)平面向量的共線定理證明、共線，即可得出，，三點(diǎn)共線；

根據(jù)平面向量的共線定理列方程組求出的值．

本題考查了平面向量的共線定理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

20.【答案】解：

．

當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，

此時(shí)有，故有

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

由，解得，

故函數(shù)的增區(qū)間為．

【解析】利用二倍角公式，輔助角公式，將函數(shù)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用二倍角公式，輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．

21.【答案】解：水深和時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，周期．

，

由，解得，，

，

當(dāng)時(shí)，即，

可得，可得，，

，，

，

，

函數(shù)表達(dá)式為，．

船底與水面的距離為米，船底與洋底的距離米，

可得，

即，

可得，

則有，

解得，，

又，

故時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故貨船可以在時(shí)進(jìn)港，早晨時(shí)出港；或在中午時(shí)進(jìn)港，下午時(shí)出港，每次可以在港口停留個(gè)小時(shí)左右．

【解析】利用已知的數(shù)據(jù)求出和，再利用周期求出，由此能求出函數(shù)的解析式；

利用貨船需要的安全水深，構(gòu)建不等式，然后求解三角不等式，再考慮的取值范圍求解即可．

本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，需對(duì)題目的理解，屬于中檔題．

22.【答案】解：已知向量，，且，

所以，

若，

此時(shí)，

即，

又，

所以，

解得；

因?yàn)椋?/p>

所以，，

當(dāng)時(shí)，

即，

解得，

又，

所以，

則的取值范圍為；

易知，

不妨令，，

此時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值，

若的最小值為，

此時(shí)，

解得或舍去；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值，

若的最小值為，

此時(shí)