第10課實數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.知識精講知識精講知識點01平方根和立方根算術(shù)平方根平方根立方根定義若正數(shù)x，SKIPIF1<0，正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。若數(shù)x，SKIPIF1<0，數(shù)x叫做a的平方根，SKIPIF1<0SKIPIF1<0若數(shù)x，SKIPIF1<0，數(shù)x叫做a的立方根，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。a的范圍SKIPIF1<0SKIPIF1<0a是任意數(shù)表示SKIPIF1<0(根號a)SKIPIF1<0(正負根號a)SKIPIF1<0(三次根號a)正數(shù)有一個算術(shù)平方根，是正數(shù)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)正數(shù)有一個立方根，是正數(shù)0的算術(shù)平方根是00的平方根是00的立方根是0負數(shù)沒有算術(shù)平方根負數(shù)沒有平方根負數(shù)有一個立方根，是負數(shù)性質(zhì)SKIPIF1<0雙重非負性SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）每移動兩位，算術(shù)平方根的小數(shù)點向右（左）移動一位。被開方數(shù)小數(shù)點向右（左）每移動三位，立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位。知識點02實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)SKIPIF1<0注意：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.（4）實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應(yīng)的.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；

（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即().

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而?。环▌t3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.考法01平方根與算數(shù)平方根的定義【典例1】下列說法錯誤的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．5是25的算術(shù)平方根 B．1的立方根是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0沒有平方根 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方根及立方根的定義逐一求解可得．【詳解】解：SKIPIF1<0是25的算術(shù)平方根，此選項說法正確；B.1的立方根是1，此選項說法錯誤；C.SKIPIF1<0沒有平方根，此選項說法正確；D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0，此選項說法正確；故選B．【點睛】本題主要考查立方根、平方根與算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根和平方根及立方根的定義．【即學(xué)即練】16的平方根是_________，算術(shù)平方根是__________.【答案】±44【解析】【詳解】∵42=16，(?4)2=16，∴16的平方根為±4；算術(shù)平方根為4.故答案為±4，4.【即學(xué)即練】若SKIPIF1<0的平方根是±4，則a＝___．【答案】256【解析】【分析】根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的定義即可求解．【詳解】解：∵SKIPIF1<0的平方根是±4，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：256．【點睛】此題主要考查實數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平方根與算術(shù)平方根的定義：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0就叫做b的平方根，如果對于兩個正數(shù)有SKIPIF1<0，則a是b的算術(shù)平方根．【即學(xué)即練】（1）SKIPIF1<0的平方根是________；（2）SKIPIF1<0的平方根是________，算術(shù)平方根是________；（3）SKIPIF1<0的平方根是________，算術(shù)平方根是________；（4）SKIPIF1<0的平方根是________，算術(shù)平方根是________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<05SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】【分析】分別利用平方根、算術(shù)平方根的定義計算即可．平方根的定義：一個數(shù)x的平方等于a，這個數(shù)x叫a的平方根；算術(shù)平方根的定義：一個非負數(shù)的正的平方根，即為這個數(shù)的算術(shù)平方根．【詳解】（1）SKIPIF1<0的平方根是____SKIPIF1<0____；（2）SKIPIF1<0的平方根是____SKIPIF1<0____，算術(shù)平方根是____5____；（3）SKIPIF1<0的平方根是____SKIPIF1<0____，算術(shù)平方根是__SKIPIF1<0___；（4）SKIPIF1<0的平方根是__SKIPIF1<0__，算術(shù)平方根是_SKIPIF1<0__．故答案為：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，5（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查了平方根、算術(shù)平方根的定義，解題注意：一個正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)，正值為算術(shù)平方根．【即學(xué)即練】填空：（1）一個數(shù)的平方等于它本身，這個數(shù)是________；一個數(shù)的平方根等于它本身，這個數(shù)是________；一個數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身，這個數(shù)是________．（2）一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是________；一個數(shù)的立方根等于它本身，這個數(shù)是________．【答案】0或100或10或SKIPIF1<00或SKIPIF1<0【解析】【分析】平方表示兩個相同因數(shù)的相乘；平方根，又叫二次方根，一個正數(shù)有兩個實數(shù)平方根，它們互為相反數(shù)，負數(shù)沒有平方根；正數(shù)的平方根有兩個，它們?yōu)橄喾磾?shù)，其中非負的平方根，就是這個數(shù)的算術(shù)平方根；立方表示指數(shù)為3的乘方運算即表示三個相同數(shù)的乘積；如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫a的立方根，也稱為三次方根．也就是說，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．根據(jù)特殊數(shù)的平方、平方根、算術(shù)平方根、立方、立方根，對各空填寫即可．【詳解】解：（1）一個數(shù)的平方等于它本身，這個數(shù)是0或1；一個數(shù)的平方根等于它本身，這個數(shù)是0；一個數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身，這個數(shù)是0或1；（2）一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是0或SKIPIF1<0；一個數(shù)的立方根等于它本身，這個數(shù)是0或SKIPIF1<0．故答案為：0，1；0；0或1；0或SKIPIF1<0；0或SKIPIF1<0．【點睛】本題是對平方，平方根，算術(shù)平方根，立方根的考查，熟記一些特殊數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考法02平方根的性質(zhì)【典例2】已知一個正數(shù)的平方根是3x－2和-5x＋6，則這個數(shù)是____【答案】16【解析】【分析】根據(jù)平方根的概念可得SKIPIF1<0，然后求解即可．【詳解】解：∵一個正數(shù)的平方根是3x－2和-5x＋6，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴這個數(shù)是SKIPIF1<0；故答案為16．【點睛】本題主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟練掌握平方根及一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】若2a+1和a﹣7是數(shù)m的平方根，則m的值為___．【答案】25或225【解析】【分析】由題意易知2a+1+a-7=0，然后求解a的值，進而問題可求解．【詳解】解：∵2a+1和a﹣7是數(shù)m的平方根，∴2a+1+a-7=0或2a+1=a-7，解得：a=2或a=-8，∴SKIPIF1<0或m=225；故答案為25或225．【點睛】本題主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟練掌握平方根及一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】若4a＋1的平方根是±5，則SKIPIF1<0的算術(shù)平方根是_________．【答案】6【解析】【詳解】略考法03算數(shù)平方根的性質(zhì)【典例3】|x+2|+SKIPIF1<0+（2y﹣8）2＝0，則x+y+z＝_____．【答案】3【解析】【分析】由絕對值與算術(shù)平方根、平方的非負性解得x=-2，z=1，y=4，即可計算x+y+z的值．【詳解】解：根據(jù)題意得，x+2=0，SKIPIF1<0=0，2y﹣8=0解得x=-2，z=1，y=4，所以x+y+z=-2+4+1=3故答案為：3．【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及絕對值與算術(shù)平方根、平方的非負性，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【典例4】被開方數(shù)每擴大100倍，其算術(shù)平方根就擴大_________倍．【答案】10【解析】略考法04解方程【典例5】解方程：SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)平方根的定義解方程即可．【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】本題考查了根據(jù)平方根解方程，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于SKIPIF1<0，那么這個數(shù)就叫SKIPIF1<0的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．【即學(xué)即練】求方程中x的值（x﹣1）2﹣16=0【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)平方根的定義解方程即可，平方根：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“±SKIPIF1<0”(a稱為被開方數(shù))【詳解】解：（x﹣1）2﹣16=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【點睛】本題考查了根據(jù)平方根的定義解方程，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】求下列式子中的x值：4（1+x）2＝49．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】【分析】利用平方根解方程即可得．【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根是解題關(guān)鍵．考法05立方根【典例6】（1）一般地，如果___________，那么這個數(shù)叫做a的立方根或___________；數(shù)a的立方根記為___________：在“SKIPIF1<0”中，a是___________，3是___________；（2）正數(shù)的立方根是___________；負數(shù)的立方根是___________；0的立方根是___________．___________都有立方根．【答案】（1）一個數(shù)的立方等于a，三次方根，SKIPIF1<0，被開方數(shù)，根指數(shù)；（2）正數(shù)，負數(shù)，0；任何一個數(shù)【解析】【分析】根據(jù)立方根的概念可得答案．【詳解】⑴一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根；數(shù)a的立方根記為SKIPIF1<0：在SKIPIF1<0中，a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)；⑵正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；0的立方根是0．任何一個數(shù)都有立方根．故答案為：①一個數(shù)的立方等于a，②三次方根，③SKIPIF1<0，④被開方數(shù)，⑤根指數(shù)；⑥正數(shù)，⑦負數(shù)，⑧0，⑨任何一個數(shù)．【點睛】本題考察了立方根的概念，牢記概念填空即可．【即學(xué)即練】計算：SKIPIF1<0______．【答案】-5【解析】【分析】由題意直接根據(jù)立方根的性質(zhì)即可進行分析求值.【詳解】解：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】本題考查立方根求值，熟練掌握立方根的性質(zhì)SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練】計算：（1）SKIPIF1<0______；（2）SKIPIF1<0_______；（3）SKIPIF1<0_______；（4）SKIPIF1<0______；（5）SKIPIF1<0______；（6）SKIPIF1<0______；（7）SKIPIF1<0______．【答案】3SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<030SKIPIF1<02.3【解析】【分析】（1）直接利用立方根的定義即可求解；（2）直接利用立方根的定義即可求解；（3）直接利用立方根的定義即可求解；（4）直接利用立方根的定義即可求解；（5）直接利用立方根的定義即可求解；（6）利用算術(shù)平方根和立方根的定義即可求解；（7）利用算術(shù)平方根和立方根的定義即可求解．【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0．故答案為：3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，30，SKIPIF1<0，2.3．【點睛】本題考查立方根和算術(shù)平方根．熟練掌握立方根和算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵．【典例7】已知SKIPIF1<0≈1.558，SKIPIF1<0≈﹣15.58，則y＝________．【答案】﹣3780【解析】【分析】由題意依據(jù)當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點每移動3位，則開方的結(jié)果小數(shù)點向相同方向移動一位，因為15.58是1.558的小數(shù)點向右移動了1位，由此求出y．【詳解】解：∵SKIPIF1<0≈1.558，SKIPIF1<0≈﹣15.58，∴y＝﹣3780．故答案為：﹣3780．【點睛】本題主要考查立方根中小數(shù)點的移動數(shù)位與被開方數(shù)之間的關(guān)系．注意掌握開立方時，被開方數(shù)的小數(shù)點每移動3位，則開方的結(jié)果小數(shù)點移動一位．【即學(xué)即練】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0_______．【答案】5.848，12.60【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)小數(shù)點向右每移3位，立方根的小數(shù)點向右移1位，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：5.848，12.60．【點睛】本題主要考查立方根，解題的關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)小數(shù)點向右每移3位，立方根的小數(shù)點向右移1位．【典例8】求下列各式中SKIPIF1<0的值：SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0；【解析】【分析】把原方程化為SKIPIF1<0，再利用立方根的含義解方程即可；【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0【點睛】本題考查的是利用立方根的含義與平方根的含義解方程，掌握“立方根與平方根的含義”是解本題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練】求下列各式中的x的值SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)立方根解方程即可．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】本題考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于SKIPIF1<0，那么這個數(shù)就叫SKIPIF1<0的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個數(shù)的立方等于SKIPIF1<0，那么這個數(shù)叫做SKIPIF1<0的立方根．【即學(xué)即練】求下列各式中的x，SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】方程變形后，利用立方根定義開立方即可求出x的值.解：方程變形得：SKIPIF1<0，開立方得：1-2x＝?3，解得：x＝2.【點睛】此題考查了平方根和立方根的定義，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】求下列各式中的SKIPIF1<0：SKIPIF1<0【答案】x=-3．【解析】【分析】先求得（x+1）3的值，然后依據(jù)立方根的定義列方程求解即可．解：∵2（x+1）3=-16，∴（x+1）3=-8．∴x+1=-2，解得x=-3．【點睛】本題主要考查的是立方根、平方根，熟記立方根及平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】已知2a﹣1的算術(shù)平方根是3，3a+b-4的立方根是2，求3a-b的值．【答案】18【解析】【分析】利用平方根，立方根定義求出a與b的值，即可求出所求．【詳解】解：∵2a﹣1的算術(shù)平方根是3，3a+b-4的立方根