三、數(shù)列——三年（2021-2023）高考數(shù)學創(chuàng)新真題精編1.【2023年天津卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.(1)求的通項公式和；(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則.(i)當時，求證：；(ii)求的通項公式及其前n項和.2.【2023年上海卷】國內生產總值(GDP)是衡量一個國家或地區(qū)經濟狀況和發(fā)展水平的重要指標.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年間經濟高質量增長，GDP穩(wěn)定增長，第一季度和第四季度的GDP分別為232億元和241億元，且四個季度的GDP逐季度增長，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則該市2020年的GDP總額為________億元.3.【2023年新課標Ⅱ卷】已知為等差數(shù)列，.記，分別為數(shù)列，的前n項和，若，.(1)求的通項公式；(2)證明：當時，.4.【2022年北京卷】設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.【2022年北京卷】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和滿足.給出下列四個結論：

①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；

③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項.

其中所有正確結論的序號是______.6.【2022年浙江卷】已知數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.7.【2022年上海卷】已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項和，若，則中不同的數(shù)值有__________個.8.【2022年上海卷】已知無窮數(shù)列中，，，若對于任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得.（1）求的所有可能值.（2）已知命題p：若，，，…，成等差數(shù)列，則.證明命題p為真命題，同時寫出命題p的逆命題q，若命題q是真命題，則證明之；若命題q是假命題，請舉反例.（3）若對于任意的正整數(shù)m，都有成立，求數(shù)列的通項公式.9.【2021年天津卷】已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64.是公比大于0的等比數(shù)列，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記，.（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明.10.【2021年上海卷】已知，對任意的，或中有且僅有一個成立，且，，則的最小值為___________.

答案以及解析1.答案：(1)(2)(i)證明見解析(ii)通項公式，前n項和為解析：(1)設的公差為d，由，得，解得，所以的通項公式為.，.從到共有(項).所以.(或).(2)(i)因為當時，，所以當時，，可得.因為為遞增數(shù)列，所以若，則，得.同理可得.故可得，所以.綜上，當時，.(ii)由題意知是的正項等比數(shù)列，設的通項公式為(，且)，由(i)知，，即，則有.①當，即時，，使得，與矛盾；②當，，即且時，，使得，與矛盾.故.因為，所以.設的前n項和為，則.2.答案：946解析：依題意，將2020年四個季度的GDP數(shù)據(jù)分別記為，，，，則，，四個季度GDP數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為，則，，故該市2020年的GDP總額為(億元).3.答案：(1)(2)證明見解析解析：(1)設等差數(shù)列的公差為d.因為，所以，，.因為，，所以，整理，得，解得，所以的通項公式為.(2)由(1)知，所以.當n為奇數(shù)時，.當時，，所以.當n為偶數(shù)時，.當時，，所以.綜上.可知，當時，.4.答案：C解析：設無窮等差數(shù)列的公差為，則，若為遞增數(shù)列，則，則存在正整數(shù)，使得當時，，所以充分性成立；若存在正整數(shù)，使得當時，，即，對任意的，均成立，由于時，，且，所以，為遞增數(shù)列，必要性成立.故選C.5.答案：①③④解析：因為，所以，又，所以，，即，得，所以①正確；當時，由，得，兩式作差可得，即，整理得，若數(shù)列為等比數(shù)列，則當時，為常數(shù)，即數(shù)列從第2項起各項均為同一個常數(shù)，易知當時不成立，以②不正確；因為，所以，由數(shù)列的各項均為正數(shù)，得，所以，所以③正確；對于④，若數(shù)列的所有項均大于等于，取，由且，得，所以，與已知矛盾，所以④正確.綜上，所有正確結論的序號是①③④.6.答案：B解析：因為，，所以，易知，所以有，所以可得.由，可得，即.一方面，由，累加可得（*），所以，從而.另一方面，由（*）式可得，所以，又，所以，由，累加可得，所以，所以.綜上可知，.故選B.7.答案：98解析：設等差數(shù)列的公差為，則，，即，.列舉的前幾項，，，，，，，，則，，，，，，.，，.當，時，易知單調遞增；當，時，易知單調遞減.中不同的數(shù)值有(個).8、（1）答案：或9解析：當時，，當時，，或.或9.（2）答案：見解析解析：若，，，…，成等差數(shù)列，則，（，）.，，因此命題p為真命題.命題p的逆命題q：若，則，，，…，成等差數(shù)列.命題q為假命題，反例：，，，，，，，，.（，）（3）答案：解析：若對于任意的正整數(shù)m，都有成立，則，，，，，.猜想：（，），（，），（，）.下面用數(shù)學歸納法證明：(Ⅰ)當時，，成立，成立；(Ⅱ)假設時均成立，即，，，…，，，，，.（，），（，，），，，中至少有一個大于或等于.先證為遞增數(shù)列：①時，；②假設當（，）時，，則時，（，），，，為遞增數(shù)列.(ⅰ)若，則，該不等式不成立；(ⅱ)若，則，，，該不等式不可能成立..由數(shù)學歸納法得證..9.答案：（I）由題可知數(shù)列中，得

解得，故通項公式為

設數(shù)列的公比為q，則

解得或（舍去），故通項公式為（Ⅱ）（i）證明：

所以是以8為首項，以4為公比的等比數(shù)列.

（ii）證明：

設