高中數(shù)學(xué)充分條件、必要條件與命題的四種形式例題解析本文講解了邏輯關(guān)系中的充分條件、必要條件和充要條件的概念。當(dāng)命題“如果p，則q”經(jīng)過推理證明判定為真命題時，p是q的充分條件，q是p的必要條件。如果p?q，但q?p，則p是q的充分不必要條件；如果q?p，但p?q，則p是q的必要不充分條件。當(dāng)p?q時，p是q的充要條件。從集合的角度判斷，若A?B，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的充分不必要條件；若B?A，則p是q的必要條件；若BA，則p是q的必要不充分條件。當(dāng)A＝B時，p，q互為充要條件。最后，給出了例題，幫助讀者理解充分條件、必要條件和充要條件的判斷。一元二次方程ax^2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac<0。下面分別證明其充分性和必要性。充分性證明：假設(shè)ac<0，則方程的判別式Δ=b^2-4ac>0，因此方程有兩個不等實根x1和x2。設(shè)x1>x2，則有c/a=x1x2<0，即x1和x2異號，因此方程有一正根和一負根。必要性證明：假設(shè)方程ax^2+bx+c=0有一正根和一負根，則設(shè)其為x1和x2，不妨設(shè)x1>0，x2<0。由于x1和x2是方程的根，則有a(x-x1)(x-x2)=ax^2+bx+c。將x=0代入上式得到c=a*x1*x2<0，因此ac<0。綜上所述，一元二次方程ax^2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac<0?！舅仞B(yǎng)評析】(1)在證明“p成立的充要條件為q”時，要分別證明其充分性和必要性。證明充分性時應(yīng)以q為“已知條件”，證明必要性時則是以p為“已知條件”。(2)通過論證數(shù)學(xué)命題，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高其素養(yǎng)水平。根據(jù)不等式x^2+x-6<0的解集為A，函數(shù)y=lg(x-a)的定義域為集合B，“x∈A”是“x∈B”的充分條件。因為x∈A表示x的取值范圍滿足-3≤x<2，而x∈B表示x-a>0，即x>a。因此，當(dāng)a取值范圍為(－∞，－3]時，“x∈A”是“x∈B”的充分條件。>0且b12－4a1c1<0，a2b2c2>0且b22－4a2c2<0，那么a1c2＋a2c1<0的充要條件是()A．a(chǎn)1a2<0C．a(chǎn)1a2>0答案AB．b1b2<0D．b1b2>0解析將a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0分別化為一元二次不等式即可得出a1b1c1>0，a2b2c2>0，b12－4a1c1<0，b22－4a2c2<0．將a1c2＋a2c1<0帶入得a1a2<0，故選A.1.解得$1\leqa\leq3$或$a=-1$。因此，$a$的取值范圍是$\{a|1\leqa\leq3\text{或}a=-1\}$。2.要證明$a^2=b(b+c)$的充要條件是$A=2B$。證明充分性：由$A=2B$，得$A-B=B$，因此$\sin(A-B)=\sinB$。將其代入$\sinA\cosB-\cosA\sinB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$中，得$a\cosB=b$。結(jié)合正弦、余弦定理，可得$a^2=b(b+c)$。證明必要性：由余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，又已知$a^2=b(b+c)$，代入得$b^2+bc=b^2+c^2-2bc\cosA$，整理可得$\cosA=\dfrac{2c}-\dfrac{1}{2}$。同時，由正弦定理$\dfrac{a}{\sinA}=\dfrac{\sinB}$，代入$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}$，得$\dfrac{a}{\sqrt{1-\left(\dfrac{2c}-\dfrac{1}{2}\right)^2}}=\dfrac{\sinB}$，整理可得$\cosA=\dfrac{2c}-\dfrac{1}{2}\geq0$，即$b\geq0$且$b+c\geqa$，又因為$a>0$，所以$b\geq0$且$c\geq-b$。因此，$b\geq0$且$c\geq-b$的充要條件是$xy\geq0$。3.實數(shù)$a$的取值范圍是$[1,+\infty)$。由$x^2+2x-3>0$可得$x>1$或$x<-3$，因此不等式$-3\leqx\leq1$，即$x\leqa$的充分不必要條件是$a\geq1$。4.要證明$|x+y|=|x|+|y|$成立的充要條件是$xy\geq0$。證明充分性：當(dāng)$xy=0$時，不妨設(shè)$x=0$，則$|x+y|=|y|=|x|+|y|$；當(dāng)$xy>0$時，不妨設(shè)$x>0$，$y>0$，則$|x+y|=x+y=|x|+|y|$。同理可得當(dāng)$x<0$，$y<0$時，$|x+y|=-(x+y)=|x|+|y|$。因此，當(dāng)$xy\geq0$時，$|x+y|=|x|+|y|$成立。證明必要性：由$|x+y|=|x|+|y|$，可得$2xy+2|x||y|=0$，即$xy=-|x||y