§4.2洛必達(dá)法則一、未定式五、其他類型未定式的極限二、“

”型未定式的極限三、“

”型未定式的極限四、洛必達(dá)法則失效的情況§4.2洛必達(dá)法則一、未定式五、其他類型未定式的極限二、一、未定式例如

下列極限都是未定式

如果在某一過(guò)程中

函數(shù)f(x)與F(x)同是無(wú)窮小量或同是無(wú)窮大一、未定式例如下列極限都是未定式如果對(duì)于型極限有沒(méi)有更簡(jiǎn)單、更一般的求解方法？?因式分解復(fù)雜二、“

”型未定式的極限對(duì)于型極限有沒(méi)有更簡(jiǎn)單、更一般的求解方法？?因式分解復(fù)雜定理4

1(洛必達(dá)法則I)說(shuō)明

當(dāng)定理中x

a改為x

時(shí)

洛必達(dá)法則同樣有效

(L’Hospital，1661-1704，法國(guó)數(shù)學(xué)家)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件

定理41(洛必達(dá)法則I)說(shuō)明(L’Hospital，1

令f(a)

g(a)

0

于是f(x)及g(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)連續(xù)

在該鄰域內(nèi)應(yīng)用柯西中值定理

有

簡(jiǎn)要證明

定理4

1(洛必達(dá)法則I)如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足

(1)當(dāng)x

a時(shí)

f(x)0

g(x)0

(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)

且g

(x)

0

令f(

解

原式

解

例2.解原式解例2.

解

驗(yàn)型

解

例3.例4.例5.解驗(yàn)型解例3.例4.解：原式=

存在非零因子化簡(jiǎn)例7.解：原式=存在非零因子化簡(jiǎn)例7.例8.例8.

因ex

1~x(x

0)

故有ex

sinx

1~x

sinx(x

0)

因arcsinx~x(x

0)

故有arcsinx3~x3(x

0)

例9.因ex1~x(x0)故有exsi

注：

洛必達(dá)法則是求解未定式極限的有效方法,但是要結(jié)合各種方法，以求最捷方式.1）等價(jià)無(wú)窮小替換法2）將極限存在的非零因子分離出來(lái)不參與洛必達(dá)法則的運(yùn)算.3）過(guò)程中注意化簡(jiǎn).2.只要滿足條件，可多次使用洛必達(dá)法則.但每次使用前都必須檢驗(yàn)極限類型是否為型.

注：洛必達(dá)法則是求解未定式極限的有效方法,1）等價(jià)無(wú)窮定理4

2(洛必達(dá)法則II)

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足

說(shuō)明

當(dāng)定理中x

a改為x

時(shí)

洛必達(dá)法則同樣有效

三、“

”型未定式的極限定理42(洛必達(dá)法則II)說(shuō)明三、“”型未定

解

例10.解例10.例11.例12.結(jié)論：都是無(wú)窮大量，但是它們的階數(shù)不相同，即有：例11.例12.結(jié)論：都是無(wú)窮大量，但是它們的階數(shù)不相同，即極限不存在出現(xiàn)循環(huán)四、洛必達(dá)法則失效的情況

注：

使用洛必達(dá)法則時(shí),若不存在，也不為

，這不能說(shuō)明原極限不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則“失效”，應(yīng)改用其它方法計(jì)算.極限不存在出現(xiàn)循環(huán)四、洛必達(dá)法則失效的情況注：五、其他類型未定式的極限

對(duì)于未定式0

、

、00、1

、

0

都可以轉(zhuǎn)化為例13.五、其他類型未定式的極限對(duì)于未定式0、

解

例14.解例14.

解

因?yàn)槔?5.解因?yàn)槔?5.