含稱重載荷下桁架重量分配的最優(yōu)分配

對于航空推進器結(jié)構(gòu)、精密天線結(jié)構(gòu)、高速運行設備等，重量負荷或柔性負荷占很大比例。結(jié)構(gòu)優(yōu)化的影響不能忽視重量負荷或柔性負荷對結(jié)構(gòu)優(yōu)化效果的影響。在尺寸優(yōu)化中，。在設計變量空間,含自重載荷的功函數(shù)Hessian矩陣為不定矩陣,而在位移狀態(tài)空間,含自重載荷的功是凸函數(shù)。位移狀態(tài)空間的全局最優(yōu)解對應于設計變量空間的全局最優(yōu)解,它們有相同的穩(wěn)定點現(xiàn)有結(jié)構(gòu)優(yōu)化的準則法和數(shù)學規(guī)劃法只是利用了各單元剛度矩陣與總體剛度矩陣之間的線性關系本文針對含自重載荷作用的功約束下桁架結(jié)構(gòu)重量最小化問題,依據(jù)功準則方程導出含自重載荷作用下的功-重量分配準則,并討論該準則的物理意義。依據(jù)Kuhn-Tucker極值條件以及射線步對功函數(shù)一階偏導數(shù)的影響,構(gòu)造含自重載荷的功射極法;利用反變仿射變換法,證明功射極法所用不動點迭代求解式的全局收斂性。討論功約束與應力約束的不相容性,以及應力比法在拓撲優(yōu)化后的適用性。文末,以三桿和十桿桁架結(jié)構(gòu)為例,驗證算法的有效性。1功-重量分配準則含自重載荷的功和應力約束下結(jié)構(gòu)重量最小化的數(shù)學模型可表示為:式中:A=[A對于線彈性材料,結(jié)構(gòu)所承擔的總功等于各桿的應變能之和,即:式中,E對式(1)邊界條件進行松弛式中:λ用各桿橫截面積A功函數(shù)的一階偏導數(shù)可表示為:式中:K式中:P式(8)的推導,利用了以下關系:將式(8)的結(jié)果代入式(5),并利用式(4),可得功-重量分配準則:式中:W若用結(jié)構(gòu)的應變能替換式(10)中的功,可得:優(yōu)化實踐反映,功-重量分配準則使需保留各桿內(nèi)應力的絕對值趨向一致的最大化,而使需刪除各桿內(nèi)應力的絕對值變?yōu)檩^小,可用該結(jié)果識別最緊應力約束。2算法保證解析確定為實現(xiàn)不等式約束的Kuhn-Tucker極值條件,在解析確定當前乘子之前先做一次射線步,以滿足約束臨界與乘子非負的要求,然后求解功準則方程組至收斂,設計變量非負的要求由算法來保證;重復以上步驟至獲得最優(yōu)解。2.1最佳射線步長的確定射線步對功函數(shù)各部分的影響是不同的,具體影響如下:根據(jù)式(1)的功約束,并利用式(12),可得射線步的解析求解式:式中:?能同時滿足以上兩式的射線步步長才是最佳步長。當式(13)等號右端開方號內(nèi)的項為正值時,若開方號外的符號取正號,則式(13)等號右端的平方大于式(14)不等號右端的平方,說明式(14)不能滿足。因此,式(13)等號右端開方號外的符號應取負號?？稍谑?13)等號右端開方號外的符號取負號的基礎上,將其改寫為如下的解析求解式:2.2乘法子的分析在當前設計點不是功函數(shù)的極值點時,可由式(10)的第一等式解析求出乘子,即:式(16)乘子的正值要求已由式(15)保證。2.3極值點算法用其中,b對于式(20),因式(21)的導出,利用了式(9)的關系。由式(21)可知,b因K2.4等比的反變仿射不變量對式(17)的Φ(A對式(18)關于A對式(19)關于A式中的δ將以上3式以及式(18)~式(20)代入式(23),就可得?Φ(A由式(23)可知,式(17)的Jacobi矩陣J式(27)與式(18)~式(20)及其關于A將式(28)的關系代入式(18)~式(20),可知它們都具有等比的反變仿射不變性。因此,式(17)也就具有等比的反變仿射不變性。將式(28)關系代入式(24)~式(26),可知其值均變?yōu)樵瓉淼?/a倍。將上述關系代入式(23),并由式(27)可知,經(jīng)等比反變仿射變換后,J式(29)說明,等比的反變仿射變換,使不動點迭代求解式(17)的Jacobi矩陣的行范數(shù)變?yōu)樵瓉淼?/a倍。由于原式(27)的值為有限的數(shù),解析確定的乘子為不變時,若對設計變量做等比的反變仿射變換,總可以找到某一尺度,使式(29)的值變?yōu)樾∮?的數(shù),從而使式(17)滿足收斂條件。若在某一尺度下式(17)滿足收斂條件,由于式(17)具有等比的反變仿射不變性,等比的反變仿射變換均不會使該式的結(jié)果發(fā)生改變,也就不會影響式(17)的收斂性。故,在某一尺度下式(17)滿足收斂條件,式(17)在任一尺度下必然收斂。綜合以上論證可知,含自重載荷作用的功準則方程求解式(17)具有全局收斂性。3不隨桿橫截面積變化而改變的許用應力在拓撲優(yōu)化完成之后,可用應力比法求解應力約束問題。應力比法的本質(zhì)為:對于拉桿和短粗的壓桿,許用應力不隨桿橫截面積的變化而改變,將應力的定義式代入式(30),有:對于細長的壓桿,根據(jù)設計規(guī)范,其許用壓應力為:式中:[σ式中,系數(shù)ξ和系數(shù)η與材料、截面類型、細長比等有關。將應力的定義式和式(33)代入式(30),可得:若選用的是圓鋼管,其Euler穩(wěn)定性條件為式中,α4計算和分析4.1桿桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化圖1為三桿平面桁架結(jié)構(gòu),假定桿3的長度為L設各桿橫截面積的初始值均為0.01m按拓撲優(yōu)化結(jié)果,以桿1和桿2構(gòu)成二桿桁架結(jié)構(gòu),并保留工況3的優(yōu)化參數(shù)。在各種工況中,工況1下桿1的壓應力為最大,采用式(36)的應力比公式對其優(yōu)化。工況3下節(jié)點2沿x向的位移為最大,大于許用位移。由位移的虛功表達式可得如下的位移比公式:式中:u4.2靜定桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化圖2為十桿桁架結(jié)構(gòu),節(jié)點5和節(jié)點6處于完全固定狀態(tài)。假定水平與垂直桿的長度均為9.144m,彈性模量為E=69GPa,材料比重為γ=2768kg/m設作用有節(jié)點外力載荷的各節(jié)點位移均達到許用位移時的功為許用功,收斂精度及單元刪除準則與前例相同。采用功射極法進行優(yōu)化,3種工況的計算結(jié)果列于表3中。對于工況1,經(jīng)10次迭代可達到收斂精度,圖2中的桿1、桿3~桿4、桿7~桿9為需保留的單元,優(yōu)化結(jié)果為圖3所示的六桿靜定桁架結(jié)構(gòu)。對于工況2,經(jīng)13次迭代收斂,圖2中的桿3和桿7為需保留的單元。對于工況3,經(jīng)14次迭代收斂,圖2中的桿1、桿3~桿4、桿8~桿9為需保留的單元。此時,各桿內(nèi)應力均小于未考慮壓桿穩(wěn)定性的許用值。需指出的是:對于工況3,在缺少桿7的情況下,桿1、桿3~桿4、桿8~桿9所組成的結(jié)構(gòu)為可變結(jié)構(gòu),可將桿3和桿4合并為一個單元,則保留的單元構(gòu)成靜定四桿桁架結(jié)構(gòu)。綜合3種工況的拓撲優(yōu)化結(jié)果可知,工況2和工況3的結(jié)果均為工況1結(jié)果的子集,因此,工況1下圖3的六桿靜定桁架結(jié)構(gòu)為最優(yōu)拓撲。按拓撲優(yōu)化結(jié)果,以圖2中的桿1、桿3~桿4和桿7~桿9構(gòu)成圖3的六桿桁架結(jié)構(gòu),并保留工況1的優(yōu)化參數(shù)。在各種工況中,工況1為最惡劣工況,圖3中的桿2、桿3和桿5不滿足壓桿穩(wěn)定性要求,采用式(36)的應力比公式對其優(yōu)化2次,可獲得滿足應力與位移要求的表4優(yōu)化結(jié)果,優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)重量為3339.73kg。5功射極法求解本文以含自重載荷作用的功約束下桁架結(jié)構(gòu)重量最小化問題為基礎,依據(jù)功準則方程導出含自重載荷作用下的功-重量分配準則,該準則反映:桁架結(jié)構(gòu)應按功當量,即各桿所承擔的節(jié)點外力載荷所做的功與節(jié)點自重載荷所做功之差的大小來正比分配其重量。依據(jù)不等式約束的Kuhn-Tucker極值條件以及射線步對功函數(shù)一階偏導數(shù)的影響,構(gòu)造直接在設計變量空間尋優(yōu)的功射極法,即:解析確定最佳射線步步長與乘子、求解功準則方程組。其中,乘子的正值要求由射線步的算法保證,各桿橫截面積的非負要求由不動點迭代