積分學定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間平面域空間域曲線積分曲線弧曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分積分學定積分二重積分三重積分積分域區(qū)第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的一、問題的提出引例1:(平面)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和近似值取極限精確值取點一、問題的提出引例1:(平面)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“分割、取點、求和、取極限”

可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,引例2:

(空間)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“分割二、對弧長的曲線積分的概念1.定義二、對弧長的曲線積分的概念1.定義積分弧段被積函數(shù)積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量因為ds>0.所以對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān)：

積分弧段被積函數(shù)積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量因為ds>0.所以2.存在條件：3.推廣2.存在條件：3.推廣注意：注意：4.性質(zhì)

(l為曲線弧L

的長度)4.性質(zhì)(l為曲線弧L的長度)三、對弧長曲線積分的計算定理注意:基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分三、對弧長曲線積分的計算定理注意:基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化例1.計算其中L:x2+y2=a2.L:x=acost,y=asint,0≤t≤2

解例1.計算其中L:x2+y2=a2.L:x=acos推論1:空間R3中的曲線

：x=

(t),y=

(t),z=

(t),

≤t≤

xyzO(<)推論1:空間R3中的曲線：x=(t),y=(t),例2.計算其中

：從點A(3,2,1)到點O(0,0,0)的直線段.解：直線段AO方程：化成參數(shù)方程：x=3t,y=2t,z=t,0≤t≤1.例2.計算其中：從點A(3,2,1)到點O(0,0例3.計算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線例3.計算曲線積分其中為螺旋的一段弧.解:線練習.計算其中

為球面解:化為參數(shù)方程則練習.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則推論2:口訣:“一代、二換、三定限”代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：換弧微元定限：定積分限，下限—小參數(shù)，上限—大參數(shù)推論2:口訣:“一代、二換、三定限”代：將積分曲線的參數(shù)方程例4.

計算其中L是拋物線與點B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)例4.計算其中L是拋物線與點B(1,1)之間的一例5.計算其中L為y2=2x自點(0,0)到點(2,2)的一段弧.解1：0≤x≤2y2=2x022yx例5.計算其中L為y2=2x自點(0,0)到點(2,解2：0≤y≤2022yx解2：0≤y≤2022yx例6.計算L:連接O(0,0),A(1,0),B(0,2)的閉折線OABO.解：L分段光滑ds=dxOA:y=0,0≤x≤1O2AByx1例6.計算L:連接O(0,0),A(1,0),BAB:y=22x,0≤x≤1BO:x=0,0≤y≤2ds=dy=2O2AByx1AB:y=22x,0≤x≤1BO:x=0,如果方程為極坐標形式:則推論3：如果方程為極坐標形式:則推論3：例7.計算其中L為雙紐線解:在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得例7.計算其中L為雙紐線解:在極坐標系下它在第一象限部分練習.設(shè)C是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:分段積分練習.設(shè)C是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示注關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性①若L關(guān)于y軸對稱其中L1是L的關(guān)于y軸對稱的部分弧段注關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性①若L關(guān)于②若L關(guān)于x軸對稱其中L2是L的關(guān)于x軸對稱的部分弧段“你對稱，我奇偶”②若L關(guān)于x軸對稱其中L2是L的關(guān)于x軸③若L關(guān)于原點對稱其中L3是L的對稱的部分弧段③若L關(guān)于原點對稱其中L3是L的對稱的部曲線積分與曲面積分ppt課件曲線積分與曲面積分ppt課件例8：已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性例8：已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性思考題解由輪換對稱性,知思考題解由輪換對稱性,知四、幾何與物理應(yīng)用四、幾何與物理應(yīng)用曲線積分與曲面積分ppt課件曲線積分與曲面積分ppt課件曲線積分與曲面積分ppt課件五、小結(jié)1、對弧長曲線積分的概念2、對弧長曲線積分的計算3、對弧長曲線積分的應(yīng)用五、小結(jié)1、對弧長曲線積分的概念2、對弧長曲線積分的計算3、第二節(jié)一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對坐標的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系對坐標的曲線積分第二節(jié)一、對坐標的曲線積分的概念二、對坐標的曲線積分的計算一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用在xOy平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L移動到點B,求移“分割”“取點”“求和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)1.引例:變力沿曲線所1)“分割”.2)“取點”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F沿則用有向線段上任取一點在1)“分割”.2)“取點”把L分成n個小弧段,有向小3)“求和”4)“取極限”(其中

為n個小弧段的最大長度)3)“求和”4)“取極限”(其中為n個小弧段的2.定義.設(shè)L為xOy平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作2.定義.設(shè)L為xOy平面內(nèi)從A到B的一條有向若

為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對3.性質(zhì)(2)用L－

表示L的反向弧,則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!3.性質(zhì)(2)用L－表示L的反向弧,則定二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義一代、二換、三定限曲線積分化成參變量的定積分代將L的參數(shù)方程代入被積函數(shù)換定限下限——起點參數(shù)值上限——終點參數(shù)值一代、二換、三定限曲線積分化成參變量的定積分代將L的參數(shù)特殊情形特殊情形曲線積分與曲面積分ppt課件例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解法2取y為參數(shù),則從點的一段.例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3例4.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿

移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點所作的功.其中

為例4.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿移動到解:(1)(2例5.求其中從z軸正向看為順時針方向.解:取

的參數(shù)方程例5.求其中從z軸正向看為順時針方向.解:取三兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有平面曲線C，考慮組合曲線積分由于C有方向，我們用曲線的方向來規(guī)定切線的方向，于是切線也成為有方向的了。設(shè)有向切線的方向角(即切線與x軸及y軸的交角)為α和β(如圖)，則由及得三兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有平面曲線C，考慮組合曲線積故這就是兩類曲線積分之間的關(guān)系式對于空間曲線段L，兩類曲線積分之間的關(guān)系為其中α、β、γ為有向曲線的切線的三個方向角故這就是兩類曲線積分之間的關(guān)系式其中α、β、γ為有向曲線的切二者夾角為

推論.設(shè)曲線段L的長度為s,則續(xù),證:設(shè)說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連二者夾角為推論.設(shè)曲線段L的長度為s,則續(xù),證:例6.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周例6.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周1.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:思考與練習1.已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:思考與練習原點O的距離成正比,思考與練習2.設(shè)一個質(zhì)點在處受恒指向原點,沿橢圓此質(zhì)點由點沿逆時針移動到提示:F的大小與M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若題中F的方向改為與OM垂直且與y軸夾銳角,則原點O的距離成正比,思考與練習2.設(shè)一個質(zhì)點在處受恒指3.

設(shè)曲線C為曲面與曲面從Ox軸正向看去為逆時針方向,(1)寫出曲線C的參數(shù)方程;(2)計算曲線積分解:(1)3.設(shè)曲線C為曲面與曲面從Ox軸正向看去為逆時針方向(2)原式=令利用“偶倍奇零”(2)原式=令利用“偶倍奇零”第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件格林公式及其應(yīng)用*三、全微分方程第三節(jié)一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的格林公區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理1.設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、格林公式區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:令則利用格林公式,得例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:令則利例2.

計算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:令,則利用格林公式,有例2.計算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),例3.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:令設(shè)L所圍區(qū)域為D,由格林公式知例3.計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和lˉ

所圍的區(qū)域為林公式,得在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和l二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.設(shè)D是單說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域D內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域D內(nèi)則2)求曲線積分時,例4.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域為D,

則例4.計算其中L為上半從O(0,0)到A(4例5.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使例5.驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這