6.4求和方法（精講）一．公式法：直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和．1.等差數列的前n項和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等比數列的前n項和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))二．裂項相消法（1）分式：分為可拆成偶數個同類因式相乘（2）根式：利用平方差公式進行有理化三．錯位相減法或四．分組轉化求和法(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．(2)若an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數，,cn，n為偶數，))且數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和．五．并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．五．倒序相加法如果一個數列{an}的前n項中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解1．并項求和時不能準確分組；2．用錯位相減法求和時易出現符號錯誤，不能準確“錯項對齊”；3．在應用裂項相消法求和時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前面剩多少項，后面就剩多少項，且前后對應項的符號相反．考法一裂項相消求和【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）已知等差數列的公差為正數，且，若分別是等比數列的前三項．(1)分別求數列、的通項公式；(2)求數列的前項之和．【例1-2】（2023·廣東廣州·統考三模）已知數列的前項和為，且，，．(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前項和，求證：．【例1-3】（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式;(2)若，求數列的前項和.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）定義：對于任意一個有窮數列，第一次在其每相鄰的兩項間都插人這兩項的和，得到的新數列稱之為一階和數列，如果在一階和數列的基礎上再在其相鄰的兩項間插入這兩項的和稱之為二階和數列，以此類推可以得到n階和數列，如的一階和數列是，設它的n階和數列各項和為．(1)試求的二階和數列各項和與三階和數列各項和，并猜想的通項公式（無需證明）；(2)若，求的前n項和，并證明：．2．（2023·福建廈門·廈門外國語學校?？寄M預測）已知數列滿足．(1)證明為等差數列，并的通項公式；(2)設，求數列的前項和．3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）數列中，(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前項和為，證明.4．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）設為數列的前項和，已知，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的前項和，當時，．若對于任意，有，求的取值范圍．考法二錯位相減求和【例2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學校考模擬預測）已知數列滿足，（）.記(1)求證：是等比數列；(2)設，求數列的前項和.【一隅三反】1．（2023·河北滄州·滄縣中學?？寄M預測）已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知正項數列的前項和為，滿足，數列的前項積為!.(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前項和.3．（2023·廣東佛山·校聯考模擬預測）記正項數列的前項和為，已知點在函數的圖象上，且，數列滿足，．(1)求數列，的通項公式；(2)設，求數列的前項和．考法三分組轉化求和【例3-1】（2023秋·寧夏銀川·高三?？计谀┮阎獢盗惺堑炔顢盗?，，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【例3-2】（2023·廣東深圳·統考模擬預測）已知等差數列滿足，．(1)求；(2)數列滿足，為數列的前項和，求．【一隅三反】1．（2023·湖北咸寧·校考模擬預測）設為公差不為0的等差數列的前項和，若成等比數列，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.2．（2023·廣東深圳·校考二模）已知是等差數列，，，且，，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)令，記，求.3．（2023·河南開封·?？寄M預測）已知數列的前項和滿足，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．考法四并項求和【例4-1】（2023·廣東韶關·統考模擬預測）設等比數列的前項和為，已知，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）在數列中，，當時，(1)求證：數列是等差數列；(2)設，數列的前n項和為，求【例4-3】（2023·江蘇蘇州·校聯考三模）已知數列是公差不為0的等差數列，，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前2023項和.【一隅三反】1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學?？寄M預測）已知數列的前項和，其中，且.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前2023項和.2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知的面積為1，點D，E，F分別為線段，，的中點，記的面積為；點G，H，I分別為線段，，的中點，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點后，得到的三角形面積記為．(1)求，，并求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．3．（2023·河南南陽·南陽中學校考三模）記為數列的前項和，已知，且滿足.(1)證明：數列為等差數列；(2)設，求數列的前項和.考法五倒序相加求和【例5】（2023春·廣西防城港·高三統考階段練習）高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱．小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數列前n項和的方法正是借助了高斯算法．已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試根據以上提示探求：若，則（

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