一類(lèi)常微分方程的精確解

1對(duì)稱(chēng)守守律關(guān)系的再設(shè)計(jì)其中：x=（x）。定義1Lie-B?cklund或者廣義算子有如下定義其中:得到.這里,W定義2歐拉算子定義為其中,是x定義3對(duì)于(1)所有的解滿足守恒向量T=(T定義4在(2)中給出的一個(gè)Lie-B?cklund算子是和守恒律T相關(guān)的,如果它滿足下列條件則(7)式被稱(chēng)作對(duì)稱(chēng)守恒律關(guān)系定理5假設(shè)X是(1)式的任意Lie-B?cklund生成子,T得到(1)式的守恒向量的一部分,因此定理6假設(shè)D是標(biāo)準(zhǔn)歐拉算子并可以從(5)式中計(jì)算得出.根據(jù)u的不同衍生形式對(duì)(19)式進(jìn)行拓展然后拆分就可以得到下列的乘子的超定系統(tǒng):系統(tǒng)(20)式的解可以表示為其中:C從(21)式和(22)式中,我們可以得到兩個(gè)守恒向量:接下來(lái),我們要給予Lie對(duì)稱(chēng)和守恒律應(yīng)用雙約化理論來(lái)找到約化和精確解.令T方程(24)式是用于找到守恒向量相關(guān)的對(duì)稱(chēng).3基于廣義雙約化理論的二元對(duì)稱(chēng)本文利用Lie群方法對(duì)(2+1)維BBM方程進(jìn)行了研究.因該方程中無(wú)法直接構(gòu)造出L函數(shù),故采用乘子方法得到兩組對(duì)稱(chēng).并在每一種情況下,利用廣義雙約化理論對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn),最后求出方程的精確解.此方法可適用于更高階的偏微分方程最近幾十年,守恒律與Noether點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的關(guān)系Naz等人其中:定理7假設(shè)D其中:2生成lie對(duì)稱(chēng)(2+1)維BBM方程其中:a,b,c,d是任意常數(shù).首先我們生成(14)式的Lie對(duì)稱(chēng).Lie對(duì)稱(chēng)的生成子由生成.其中,X把(17)式帶入(15)式,得到因此,Lie對(duì)稱(chēng)為:(14)式的守恒律將由乘子方法得到.乘子的判斷方程為2.1算法的約化形式守恒向量TX這個(gè)對(duì)稱(chēng)可以用來(lái)得到約化守恒形式,當(dāng)成立時(shí),生成子X(jué)有規(guī)范形式根據(jù)變量(t,x,y)和(r,s,q)的約化守恒形式可以表示為其中A將守恒向量(22)式帶入方程(27)式和(28)式中得到其約化形式為守恒向量(30)式有下面兩個(gè)對(duì)稱(chēng):因?yàn)樗缘玫?生成子Y的標(biāo)準(zhǔn)形式是在這種情況下,約化守恒形式公式(10)寫(xiě)出其中:把方程(29)式帶入守恒向量(35)式和(36)式得到:公式(37)關(guān)于變量n的表示為約化形式是由(39)式可知,D當(dāng)C情形1當(dāng)r=γd,a=α,b=β,k=0時(shí),(42)式變?yōu)橛肕aple解出精確解為情形2當(dāng)-βγ用Maple解出精確解為2.2約化類(lèi)形式的使用守恒向量T這個(gè)對(duì)稱(chēng)可以用來(lái)得到約化守恒形式.當(dāng)成立時(shí),生成子X(jué)有規(guī)范形式根據(jù)變了(t,x,y)和(r,s,q)的約化守恒形式可以表示為其中A將守恒向量(22)式帶入方程(50)式和(51)式中得到其約化形式為守恒向量(53)式有下面兩個(gè)對(duì)稱(chēng):因?yàn)樗缘玫?生成子Y的標(biāo)準(zhǔn)形式是在這種情況下,約化守恒形式公式(10)寫(xiě)出其中:把方程(52)帶入守恒向量(58)和(59)得到公式(37)關(guān)于變量n的表示為′約化形式是由()式可知,D接下來(lái)我們用Sine-Cosine方法其中:ν,κ≠0;ω是需要求出來(lái)的參數(shù).把(65)