2017-2018學(xué)年重慶一中八年級(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷2017-2018學(xué)年重慶一中八年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題4分，共48分）1.現(xiàn)有3cm，4cm，7cm，9cm長的四根木棒，任取其中三根組成一個(gè)三角形，那么可以組成的三角形的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.下列判斷：下列命題中不正確的是（）A.全等三角形的對應(yīng)邊相等B.全等三角形的面積相等C.全等三角形的周長相等D.周長相等的兩個(gè)三角形全等3.圖中能表示△ABC的BC邊上的高的是（）A.B.C.D.4.下列條件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（）A.∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′B.∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′C.∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′D.∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′5.已知△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，若△DEF的周長為偶數(shù)，則EF的取值為（）A.3B.4C.5D.3或4或56.等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm．則該等腰三角形的底長為（）A.3cm或5cmB.3cm或7cmC.3cmD.5cm7.八邊形的內(nèi)角和為（）A.180°B.360°C.1080°D.1440°8.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°9.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于其外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A.3B.4C.5D.610.如圖所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，則∠BCA′：∠BCB′等于（）A.1：2B.1：3C.2：3D.1：411.已知△ABC的兩條邊長分別為3和5，且第三邊的長c為整數(shù)，則c的取值可以為（）A.7B.11C.1D.1012.如果兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（）A.相等二．填空題（每空4分，共24分）13.如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性。14.若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為4:3:2，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角為120度。15.在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC邊上的高，則BD的長度為60/13cm。16.已知△ABD≌△AEC，且AB=8，BD=7，AD=6，則BC=15。17.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720度。18.正確的結(jié)論有①BD=CE和③BD⊥CE。19.在△ABC中，CD是角A的平分線，DE∥BC，∠AED=70°，求∠EDC的度數(shù)。答案為110度。20.在圖中，已知點(diǎn)E，C在線段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F，證明△ABC≌△DEF。21.在等腰三角形ABC中，AB=AC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分為18和15兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底邊長。答案為12。22.四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4。證明：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO=DO。23.在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC。求∠4的度數(shù)。答案為50度。24.在圖中，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。證明：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF。25.一個(gè)三位正整數(shù)M，其各位數(shù)字均不為零且互不相等。若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的三位數(shù)，稱為M的“友誼數(shù)”；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字中任選兩個(gè)組成一個(gè)新的兩位數(shù)，并將得到的所有兩位數(shù)求和，稱為M的“團(tuán)結(jié)數(shù)”。證明：M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除。2．（4分）判斷下列命題中不正確的是（）A．全等三角形的對應(yīng)邊相等B．全等三角形的面積相等C．全等三角形的周長相等D．周長相等的兩個(gè)三角形全等【解析】根據(jù)全等三角形的判定（SAS，ASA，AAS，SSS）和性質(zhì)（全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）判斷即可?！靖膶憽恳韵旅}中哪個(gè)不正確？A．全等三角形的對應(yīng)邊相等B．全等三角形的面積相等C．全等三角形的周長相等D．周長相等的兩個(gè)三角形全等【答案】D。周長相等的兩個(gè)三角形不一定全等?！军c(diǎn)評】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)。【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，即兩邊相等，以及周長的計(jì)算方法．注意：等腰三角形的底邊是指與兩個(gè)等邊不相鄰的一條邊．【解答】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為x，則有：2x+3=132x=10x=5故該等腰三角形的底長為5cm．故選：C．3cm和5cm是等腰三角形的腰長，根據(jù)題目要求，需要求出底邊的長度。當(dāng)腰長為3cm時(shí)，根據(jù)勾股定理可以求出底邊的長度為7cm，但是三角形的三條邊分別為3cm、3cm、7cm，無法組成三角形。當(dāng)?shù)走厼?cm時(shí)，根據(jù)勾股定理可以求出腰長為5cm，此時(shí)三角形的三條邊分別為5cm、5cm、3cm，可以組成三角形。因此，等腰三角形的底邊長為3cm，選項(xiàng)C正確。八邊形的內(nèi)角和公式為（8-2）×180°=1080°，因此選項(xiàng)C正確。要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能。因此，選項(xiàng)C是無法判定的。本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。同時(shí)，需要注意AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。9.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于其外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是幾？解析：由于任何一個(gè)多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意知此多邊形的內(nèi)角和小于360°。又根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可知任何一個(gè)多邊形的內(nèi)角和必定是180°的整數(shù)倍，則此多邊形的內(nèi)角和等于180°。由此可以得出這個(gè)多邊形的邊數(shù)。解答：設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)題意得(n-2)×180°<360°，解之得n<4。因?yàn)閚為正整數(shù)，且n≥3，所以n=3。故選A。點(diǎn)評：本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想。關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，還需要懂得挖掘此題隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件。本題既可用整式方程求解，也可用不等式確定范圍后求解。10.如圖所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，則∠BCA′：∠BCB′等于幾？解析：設(shè)∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A′CB′=∠ACB=10k，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BCB′=8k，然后求出∠A′CB=2k，求出比值即可。解答：因?yàn)椤螦：∠B：∠C=3：5：10，所以設(shè)∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k。根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A′CB′=∠ACB=10k。在△ABC中，∠B′CB=∠A+∠B=3k+5k=8k，所以∠BCB′=180°-∠B′CB=180°-8k。因?yàn)椤螦′CB=∠A′CB′-∠B′CB′=10k-8k=2k，所以∠BCA′：∠BCB′=∠BCA′:(180°-∠BCB′-∠BCB′)=∠BCA′:(180°-16k)?；喌谩螧CA′：∠BCB′=2k：8k=1：4。故選D。點(diǎn)評：本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出各角更簡便。11.已知△ABC的兩條邊長分別為3和5，且第三邊的長c為整數(shù)，則c的取值可以是幾？解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得5-3<c<5+3，即2<c<8，又因?yàn)榈谌呴L為整數(shù)，所以第三邊長是3，4，5，6，7。問題可求。解答：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得5-3<c<5+3，即2<c<8。又因?yàn)榈谌呴L為整數(shù)，所以第三邊長是3，4，5，6，7。故選A。點(diǎn)評：此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵。12.如果兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是什么？解：第三邊所對的角即為前兩邊的夾角。分兩種情況，一種是兩個(gè)銳角或兩個(gè)鈍角三角形，另一種是一個(gè)鈍角三角形和一個(gè)銳角三角形。第一種情況，當(dāng)兩個(gè)三角形全等時(shí)，是相等關(guān)系。第二種情況，如圖，AC=AC′，高CD=C′D′，∴∠ADC=∠AD′C′。在Rt△ACD和Rt△AC′D′中，Rt△ACD≌Rt△AC′D′（HL），∴∠CAD=∠C′AD′。此時(shí)，∠CAB+∠C′AB=180°，是互補(bǔ)關(guān)系，所以選“互補(bǔ)或相等”。13.如圖，為什么生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架？解：生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性。14.若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為4：3：2，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角為多少度？解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為4x、3x、2x，則有4x+3x+2x=180°，解得x=20°。最大角即為所占份數(shù)最多的角，為4x=80°。15.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC邊上的高，則BD的長為多少cm？解：根據(jù)三角形的面積公式S△ABC=1/2?AB?BC=1/2?AC?BD，得到12×5=13?BD，解得BD=60/13cm?！唷螧AE=∠CAD，又∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE+∠CAD=2∠BAD=180°，∴∠ACE+∠DBC=45°，本選項(xiàng)正確；③同①，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD⊥CE，本選項(xiàng)正確；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE=180°﹣∠BAC﹣∠DAE=180°﹣90°﹣90°=0°，∴∠BAE+∠DAC=∠DAC=180°，本選項(xiàng)正確．故選項(xiàng)①②③④均正確．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)，以及角的計(jì)算方法，需要熟練掌握這些知識點(diǎn)。同時(shí)，注意在解題過程中要注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。則AB=12，BD=6，BC=2BD=12，所以底邊長為BC=12；②當(dāng)15是腰長與腰長一半時(shí)，AC+AC/2=15，解得AC=10，則AB=10，BD=3，BC=2BD=6，所以底邊長為BC=6；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的底邊長為6或12．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和周長的計(jì)算，需要注意分情況討論，細(xì)心認(rèn)真．∴△AEB≌△AFC（直角三角形的性質(zhì)），∴AE=AF，AB=AC，∴EC=AC-AE=AB=BF，∴EC=BF；（2）設(shè)AC交BF于O，∵AE=AB，AF=AC，∴∠AEB=∠AFC，∴∠AEO=∠AFO，∴AEFO是平行四邊形，∴OE=AF，OF=AE，又∠OAF=∠OEC（∵∠EAB=∠FAC=90°），∴△OAF≌△OEC（ASA），∴EC=OF=BF，∴EC⊥BF．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的相似性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)平行四邊形和三角形的相似性質(zhì)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．∴∠EAC=∠BAF，因?yàn)閮蓚€(gè)角都是等腰直角三角形的頂角，且頂角相等。在△EAC和△BAF中，根據(jù)共有的角和兩邊比例相等，可以得到兩個(gè)三角形全等?！唷鱁AC≌△BAF，因?yàn)樗鼈冇邢嗟鹊娜吅腿切蝺?nèi)角?！郋C=BF，因?yàn)樵谌鹊娜切沃校瑢?yīng)的邊相等。（2）設(shè)AC交BF于O。因?yàn)椤鱁AC≌△BAF，所以∠AFO=∠OCM，根據(jù)對應(yīng)角相等。又因?yàn)椤螦OF=∠MOC=90°，所以∠OMC=∠OAF=90°。因此，EC⊥BF，即EC與BF垂直?！军c(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用這些性質(zhì)，正確推導(dǎo)出結(jié)論。25．（12分）一個(gè)三位正整數(shù)M，其各位數(shù)字均不為零且互不相等。若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的三位數(shù)，我們稱這個(gè)三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，如：168的“友誼數(shù)”為“618”；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字中任選兩個(gè)組成一個(gè)新的兩位數(shù)，并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個(gè)和為M的“團(tuán)結(jié)數(shù)”，如：123的“團(tuán)結(jié)數(shù)”為12+13+21+23+31+32=132。（1）求證：M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；（2）若一個(gè)三位正整數(shù)N，其百位數(shù)字為2，十位數(shù)字為a、個(gè)位數(shù)字為b，且各位數(shù)字互不相等（a≠b≠2），若N的“團(tuán)結(jié)數(shù)”與N之差為24，求N的值。【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出M和其友誼數(shù)的表達(dá)式，然后進(jìn)行差的運(yùn)算，證明差是15的倍數(shù)。（2）根據(jù)題意，可以列出N和其團(tuán)結(jié)數(shù)的表達(dá)式，然后進(jìn)行差的運(yùn)算，解出N的值?！窘獯稹浚?）由題意可得，設(shè)M為100a+10b+c，則它的友誼數(shù)為：100b+10a+c。（100a+10b+c）-（100b+10a+c）=100a+10b+c-100b-10a-c=100(a-b)+10(b-a)=90(a-b)因?yàn)閍和b都是整數(shù)且不相等，所以a-b必為整數(shù)，且能被15整除?！郙與其“友誼數(shù)”的差能被15整除。（2）由題意可得，N=2×100+10a+b=200+10a+b。N的團(tuán)結(jié)數(shù)是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44。所以，22a+22b+44-(200+10a+b)=24，解得，a=8，b=4，N=284或a=1，b=6，N=216。因?yàn)镹的百位數(shù)字為2，所以N=284。【點(diǎn)評】本題考查數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題方法和思路，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題。同時(shí)，還需要注意細(xì)節(jié)，避免計(jì)算錯(cuò)誤。（1）在圖1中，角∠MAN=90°