第第頁(yè)【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)17.2一元二次方程的解法同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)登錄二一教育在線(xiàn)組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂(yōu)

2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)17.2一元二次方程的解法同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2022八下·樂(lè)清月考）用配方法將方程x2﹣4x﹣1＝0變形為（x﹣2）2＝m，則m的值是（）

A．4B．5C．6D．7

2．（2022八上·閔行期中）下列選項(xiàng)中的數(shù)是一元二次方程的根的是（）

A．B．5C．D．4

3．（2023八上·奉賢期中）用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023八上·青羊期中）一元二次方程配方后可化為（）

A．B．C．D．

5．（2023八上·浦東月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可變形為()

A．(x-2)2=9B．(x-2)2=13C．(x+2)2=9D．(x+2)2=13

6．（2023八上·松江月考）在使用“配方法”解一元二次方程x2+3x=1時(shí)，方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上（）

A．B．C．D．-

7．（2023八上·徐匯期中）方程的根為（）

A．B．

C．，D．，

8．（2023八上·長(zhǎng)寧期中）方程的解是（）

A．B．

C．D．

二、填空題

9．（2023八上·浦東期中）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值等于．

10．（2022八上·青浦期中）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為2，另外兩邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，則此三角形的周長(zhǎng)為．

11．（2023九上·簡(jiǎn)陽(yáng)月考）閱讀理解：對(duì)于這類(lèi)特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：

理解運(yùn)用：如果，那么，

即有或，

因此，方程和的所有解就是方程的解.

解決問(wèn)題：求方程的解為.

12．（2023八下·柯橋期末）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，則的值為.

13．（2023八上·平邑期末）若分式的值為0，則x的值為.

三、計(jì)算題

14．（2023八上·西湖期末）解方程或求值:

（1）

（2）

四、解答題

15．（2022八上·嘉定期中）用配方法解方程：3x2＋5x﹣1＝0

16．（2022八上·蒼南月考）設(shè)關(guān)于x的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿(mǎn)足條件的所有實(shí)數(shù)k的值.

五、綜合題

17．（2022八上·萊州期中）化簡(jiǎn)：

（1）

（2）化簡(jiǎn)代數(shù)式：，再?gòu)模?，3，中選取一個(gè)喜歡的數(shù)值代入，并求出代數(shù)式的值．

18．（2023八下·鼓樓期末）

（1）用配方法解一元二次方程除了課本的方法，也可以用下面的配方方式：

將兩邊同時(shí)乘以并移項(xiàng)，得到，兩邊再同時(shí)加上，得（▲）2.請(qǐng)用這樣的方法解方程：；

（2）華裔數(shù)學(xué)家羅博深在2023年提出了一種全新的一元二次方程解法，對(duì)于，將等式左邊進(jìn)行因式分解，得到以下形式：

（從這里可以看出方程的解為，）

即

因?yàn)椋?、的平均?shù)為，不妨設(shè)，，

利用，得，所以，即能求出的值.

舉例如下：解一元二次方程，由于，所以方程的兩個(gè)根為，而，解得，所以方程的解為，.

請(qǐng)運(yùn)用以上方法解如下方程①；②

答案解析部分

1．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，

x2﹣4x=1，

x2﹣4x+4=1+4，

∴（x-2）2=5.

∴m=5

故答案為：B.

【分析】利用配方法，先移項(xiàng)，再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程左邊轉(zhuǎn)化為平方形式，即可求出m的值.

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

移項(xiàng)得，

因式分解得，

所以或，

解得或．

故答案為：C．

【分析】利用十字相乘法解出方程，即可判斷.

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴，

故答案為：C．

【分析】利用配方法的計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)求解并判斷即可。

4．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

移項(xiàng)得：

故答案為：A.

【分析】首先將常數(shù)項(xiàng)移至右邊，然后給兩邊同時(shí)加上9，再對(duì)左邊的式子利用完全平方公式分解即可.

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：x2-4x-9=0，

∴x2-4x=9，

∴x2-4x+4=9+4，

∴（x-2）2=13.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)配方法的步驟，先把方程化成x2-4x=9的形式，兩邊同時(shí)加上4，把左邊寫(xiě)成完全平方的形式，即可求解.

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：用配方法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)當(dāng)在方程的兩邊同時(shí)加上，即．

故答案為：．

【分析】方程兩邊加上一次項(xiàng)一半的平方，計(jì)算即可得到結(jié)果．

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直接開(kāi)平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵（4x-1）2=1，

∴4x-1=1或4x-1=-1，

解得：，,

故答案為：C．

【分析】?jī)蛇呏苯娱_(kāi)平方法求解可得．

8．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

整理得：x2-x-2=0，

（x+1）（x-2）=0，

∴x+1=0或x-2=0，

即x1=-1，x2=2

故答案為：D．

【分析】觀察方程的特點(diǎn)：應(yīng)用因式分解法解這個(gè)一元二次方程．

9．【答案】-1或-3

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：，

，

配方得：，即，

開(kāi)方得：，

解得：，．

故答案為：-1或-3．

【分析】根據(jù)題意列出方程，再利用十字相乘法求解即可。

10．【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，

方程有一根等于2，

則，

解得：，

即原方程為，

解得，，

∵不能構(gòu)成三角形不符合題意；

當(dāng)?shù)妊切蔚牡诪?時(shí)，

方程的兩個(gè)根相等，

∴，

解得：，

當(dāng)時(shí)，原方程為，

解得，

則等腰三角形的周長(zhǎng)為，

當(dāng)時(shí)，原方程為，

解得，不符合題意；

綜上所述：等腰三角形的周長(zhǎng)為，

故答案為：10．

【分析】①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，可知方程有一根等于2；②當(dāng)?shù)妊切蔚牡诪?時(shí)，可知方程的兩個(gè)根相等，可得△=0，據(jù)此分別解答即可.

11．【答案】x=2或或

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵

，

∴方程可化為=0，

∴x－2=0或，

解得：或或，

∴方程的解為或或，

故答案為：或或.

【分析】利用閱讀材料直接進(jìn)行解方程即可.

12．【答案】4或1

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，

∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，

∴[﹣（m+n）]2﹣mn＝0，

∴m2﹣mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，

∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，

∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，

∴m＝n或m＝2n，

∴的值為4或1.

故答案為：4或1.

【分析】將方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根據(jù)“倍根方程”的定義，找出[﹣（m+n）]2﹣mn＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，進(jìn)而求得的值為4或1.

13．【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】分式的值為零的條件；解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：，解得x=-2．故答案為：-2．

【分析】根據(jù)題意由分式的值為0，得到分子=0，分母≠0，即-2=0和x25x+6≠0，求出它們的公共解.

14．【答案】（1）解：，

=0或=0

解得：

（2）解：原式====1

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程，左邊利用十字相乘法，將方程分解為兩個(gè)因式的乘積，根據(jù)兩個(gè)因式的乘積為0，則這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)為0，從而將方程降次為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可；

（2）先將第二個(gè)因式分母的被開(kāi)方數(shù)改寫(xiě)成一個(gè)完全平方式，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，接著將第二個(gè)因式進(jìn)行分母有理化、最后根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可.

15．【答案】解：3x2+5x﹣1＝0，

3x2+5x＝1，

x2+x＝

∴

∴x1＝，x2＝．

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。

16．【答案】解：原方程化為，即，

，

即，兩式相減得

，

整理后可得，

即.

當(dāng)，即時(shí)，k不存在；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程的兩根都是整數(shù).

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】原方程化為[(k-2)x+k+2][(k-4)x+k-2]=0，表示出x，將兩式相減并整理可得x2(x1+3)=-2=(-1)×2=(-2)×1，然后分別令x2=-1、x1+3=2；x2=2、x1+3=-1；x2=-2、x1+3=1；x2=1、x1+3=-2，求出x1、x2、k的值，結(jié)合兩根均為整數(shù)可得k的值.

17．【答案】（1）解：

；

（2）解：

=

，

要使分式有意義，則且且，

不能為2，，3，

當(dāng)時(shí)，原式．

【知識(shí)點(diǎn)】分式的乘除法；分式的化簡(jiǎn)求值

【解析】【分析】（1）利用分式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可；

（2）先利用分式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法化簡(jiǎn)，再將x的值代入計(jì)算即可。

18．【答案】（1）解：2ax+b；，

兩邊同時(shí)乘以12再加25，移項(xiàng)得：

.

.

，

（2）解：①.

.

方程的兩個(gè)根為，

而，解得，

，.

②.

兩邊同時(shí)除以3得：，

.

方程的兩個(gè)根為，

而解得，

，.

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：（1）∵，

∴，

故答案為：

【分析】（1）利用完全平方公式將等號(hào)左邊因式分解即可得出結(jié)論；將方程兩邊同時(shí)乘以12再加25，然后移項(xiàng)，再將方程左邊寫(xiě)成完全平方式，然后利用直接開(kāi)平方法解方程即可；

（2）①模仿例題解方程即可；②先將方程兩邊同時(shí)除以3，再仿照例題解方程即可.

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一、選擇題

1．（2022八下·樂(lè)清月考）用配方法將方程x2﹣4x﹣1＝0變形為（x﹣2）2＝m，則m的值是（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，

x2﹣4x=1，

x2﹣4x+4=1+4，

∴（x-2）2=5.

∴m=5

故答案為：B.

【分析】利用配方法，先移項(xiàng)，再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程左邊轉(zhuǎn)化為平方形式，即可求出m的值.

2．（2022八上·閔行期中）下列選項(xiàng)中的數(shù)是一元二次方程的根的是（）

A．B．5C．D．4

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

移項(xiàng)得，

因式分解得，

所以或，

解得或．

故答案為：C．

【分析】利用十字相乘法解出方程，即可判斷.

3．（2023八上·奉賢期中）用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴，

故答案為：C．

【分析】利用配方法的計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)求解并判斷即可。

4．（2023八上·青羊期中）一元二次方程配方后可化為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

移項(xiàng)得：

故答案為：A.

【分析】首先將常數(shù)項(xiàng)移至右邊，然后給兩邊同時(shí)加上9，再對(duì)左邊的式子利用完全平方公式分解即可.

5．（2023八上·浦東月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可變形為()

A．(x-2)2=9B．(x-2)2=13C．(x+2)2=9D．(x+2)2=13

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：x2-4x-9=0，

∴x2-4x=9，

∴x2-4x+4=9+4，

∴（x-2）2=13.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)配方法的步驟，先把方程化成x2-4x=9的形式，兩邊同時(shí)加上4，把左邊寫(xiě)成完全平方的形式，即可求解.

6．（2023八上·松江月考）在使用“配方法”解一元二次方程x2+3x=1時(shí)，方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上（）

A．B．C．D．-

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：用配方法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)當(dāng)在方程的兩邊同時(shí)加上，即．

故答案為：．

【分析】方程兩邊加上一次項(xiàng)一半的平方，計(jì)算即可得到結(jié)果．

7．（2023八上·徐匯期中）方程的根為（）

A．B．

C．，D．，

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直接開(kāi)平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵（4x-1）2=1，

∴4x-1=1或4x-1=-1，

解得：，,

故答案為：C．

【分析】?jī)蛇呏苯娱_(kāi)平方法求解可得．

8．（2023八上·長(zhǎng)寧期中）方程的解是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

整理得：x2-x-2=0，

（x+1）（x-2）=0，

∴x+1=0或x-2=0，

即x1=-1，x2=2

故答案為：D．

【分析】觀察方程的特點(diǎn)：應(yīng)用因式分解法解這個(gè)一元二次方程．

二、填空題

9．（2023八上·浦東期中）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值等于．

【答案】-1或-3

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：，

，

配方得：，即，

開(kāi)方得：，

解得：，．

故答案為：-1或-3．

【分析】根據(jù)題意列出方程，再利用十字相乘法求解即可。

10．（2022八上·青浦期中）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為2，另外兩邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，則此三角形的周長(zhǎng)為．

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，

方程有一根等于2，

則，

解得：，

即原方程為，

解得，，

∵不能構(gòu)成三角形不符合題意；

當(dāng)?shù)妊切蔚牡诪?時(shí)，

方程的兩個(gè)根相等，

∴，

解得：，

當(dāng)時(shí)，原方程為，

解得，

則等腰三角形的周長(zhǎng)為，

當(dāng)時(shí)，原方程為，

解得，不符合題意；

綜上所述：等腰三角形的周長(zhǎng)為，

故答案為：10．

【分析】①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，可知方程有一根等于2；②當(dāng)?shù)妊切蔚牡诪?時(shí)，可知方程的兩個(gè)根相等，可得△=0，據(jù)此分別解答即可.

11．（2023九上·簡(jiǎn)陽(yáng)月考）閱讀理解：對(duì)于這類(lèi)特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：

理解運(yùn)用：如果，那么，

即有或，

因此，方程和的所有解就是方程的解.

解決問(wèn)題：求方程的解為.

【答案】x=2或或

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵

，

∴方程可化為=0，

∴x－2=0或，

解得：或或，

∴方程的解為或或，

故答案為：或或.

【分析】利用閱讀材料直接進(jìn)行解方程即可.

12．（2023八下·柯橋期末）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，則的值為.

【答案】4或1

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，

∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，

∴[﹣（m+n）]2﹣mn＝0，

∴m2﹣mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，

∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，

∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，

∴m＝n或m＝2n，

∴的值為4或1.

故答案為：4或1.

【分析】將方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根據(jù)“倍根方程”的定義，找出[﹣（m+n）]2﹣mn＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，進(jìn)而求得的值為4或1.

13．（2023八上·平邑期末）若分式的值為0，則x的值為.

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】分式的值為零的條件；解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：，解得x=-2．故答案為：-2．

【分析】根據(jù)題意由分式的值為0，得到分子=0，分母≠0，即-2=0和x25x+6≠0，求出它們的公共解.

三、計(jì)算題

14．（2023八上·西湖期末）解方程或求值:

（1）

（2）

【答案】（1）解：，

=0或=0

解得：

（2）解：原式====1

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程，左邊利用十字相乘法，將方程分解為兩個(gè)因式的乘積，根據(jù)兩個(gè)因式的乘積為0，則這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)為0，從而將方程降次為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可；

（2）先將第二個(gè)因式分母的被開(kāi)方數(shù)改寫(xiě)成一個(gè)完全平方式，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，接著將第二個(gè)因式進(jìn)行分母有理化、最后根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可.

四、解答題

15．（2022八上·嘉定期中）用配方法解方程：3x2＋5x﹣1＝0

【答案】解：3x2+5x﹣1＝0，

3x2+5x＝1，

x2+x＝

∴

∴x1＝，x2＝．

【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程

【解析】【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。

16．（2022八上·蒼南月考）設(shè)關(guān)于x的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿(mǎn)足條件的所有實(shí)數(shù)k的值.

【答案】解：原方程化為，即，

，

即，兩式相減得

，

整理后可得，

即.

當(dāng)，即時(shí)，k不存在；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程的兩根都是整數(shù).

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】原方程化為[(k-2)x+k+2][(k-4)x+k-2]=0，表示出x，將兩式相減并整理可得x2(x1+3)=-2=(-1)×2=(-2)×1，然后分別令x2=-1、x1+3=2；x2=2、x1+3=-1；x2=-2、